• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: античность (список заголовков)
14:41 

Фигурные числа III

Amicus Plato
Простыми словами
Пятиугольные числа
Пятиугольные числа — числа, которые составляют пятиугольники.
По-моему, это образование уже менее естественное, чем все предыдущие, но если вспомнить, какое внимание пифагорейцы уделяли пятиконечной звезде, вписанной в правильный пятиугольник, то удивляться тут нечему.
Вот как они выглядят:
(Знаю, что они даже кривее, чем треугольники... Но что поделать...)


читать дальше

@темы: Натуральные числа, Люди, Amicus Plato, античность

23:25 

Фигурные числа II

Amicus Plato
Простыми словами
Квадратные и прямоугольные числа

Как нетрудно догадаться, квадратные числа — это такие количества камушков, из которых можно выложить квадраты.
То есть, числа, которые можно представить в виде: n*n.


Первые десять квадратов мы все отлично помним со школьных времен. Достаточно представить себе главную диагональ таблицы всё того же Пифагора.
На самом деле почти каждый из нас легко воспроизведет в среднем до двадцати первых квадратов. Дальше уже всё зависит от индивидуальных особенностей памяти, и от того, насколько эти знания для нас актуальны.

читать дальше

@темы: Amicus Plato, Люди, Натуральные числа, античность

21:19 

Фигурные числа I

Amicus Plato
Простыми словами
Пифагор.
Про Пифагора я уже писала: вот здесь.
Речь шла о несоизмеримости гипотенузы и катетов прямоугольного равнобедренного треугольника.
Но это была только самая малость из того, что я хочу рассказать об этом поистине великом человеке.


А сейчас рассказ пойдет о фигурных числах.

Пифагорейцы наделяли числа магическими свойствами. И действительно, в их руках, под их взором, математика обращалась в магию.
Сейчас мы увидим, что самые, казалось бы, "элементарные" — обычные и знакомые нам с детства — натуральные числа — можно увидеть совсем в ином свете.
Сам Пифагор говорил об этом: "Все вещи суть числа". И для пифагорейской школы это был мотто, девиз, которым они руководствовались всегда и везде.

Главной особенностью античной математики был полу-арифметический - полу-геометрический подход к числам.
Пифагорейцы различали треугольные, квадратные, прямоугольные, пятиугольные числа (это, так сказать, двумерные числа, — числа на плоскости). Как производные от них получались кубические и пирамидальные числа.
Не уверена, что перечислила все, но давайте разберемся сначала с этими.

Треугольные числа
Треугольные числа — это такие числа, из которых (имея столько камушков) можно выложить правильные треугольники.
Вот первые четыре числа:

Их значения равны:
Т1=1, Т2=3, Т3=6 и Т4=10.

Нетрудно продолжить ряд и получить значения следующих треугольных чисел:
Еще парочка...
Т5=15, Т6=21, Т7=27, Т8=36...

Теперь давайте посмотрим, как они получаются.
Ясно, что геометрически следующее треугольное число получается из предыдущего добавлением "строки", содержащей на один камушек больше, чем самая нижняя "строка" этого предыдущего числа. (Каждая новая строка выделена красным). (Знаю, что картинки малость косоваты, но зато можно не ставить копирайт))) Рисовала сама)))
Таким образом, имеем:

Тn = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n

С давних времен известно (еще даже до того как девятилетний Карл Фридрих Гаусс открыл сумму первых n членов арифметической прогрессии))), что сумма первых n чисел может быть посчитана следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = 1/2 • n(n+1)

Таким образом, треугольное число с номером n вычисляется по этой формуле:
Тn = 1/2 • n(n+1)

Треугольные числа кроме всего прочего являются биномиальными коэффициентами при второй степени икса (в разложении (1 + x)n по степеням x).

"Число зверя" 666 также является треугольным.

Сумма двух последовательных треугольных чисел даст нам число квадратное.
Формула такова:
Tn + Tn − 1 = n2.
Но об этом — продолжение следует.

@темы: Amicus Plato, Люди, Натуральные числа, античность

12:28 

Еще немного об античности

Amicus Plato
Простыми словами
Пожалуй, открытия античных ученых впечатляют меня гораздо больше открытий ученых нынешних.
Как, не имея в руках никаких инструментов, не имея за спиной никакого "опыта предыдущих столетий", — только на основе собственных наблюдений и умозаключений, — доходить до вещей поистине глобальных?! Как совершать такие открытия?

Сегодня я расскажу об Эратосфене Киренском.
В математике он известен многими вещами, и, наверное, в первую очередь своим знаменитым решетом, решетом Эратосфена, — алгоритмом, позволяющим выбирать простые числа из натурального ряда, "просеивая" все остальные.
См. здесь

Но я расскажу о другом. Именно Эратосфену принадлежит открытие способа вычисления размеров Земли (и применение его на практике).
Это просто потрясает любое, даже самое богатое, воображение!

Измерение размеров Земли)))

Ну, во-первых, выходит, к третьему веку до н.э. ни для кого не составлял секрета тот факт, что Земля имеет форму шара. То есть у Эратосфена это уже само собой разумеется.
Для нахождения размеров Земного шара Эратосфену всё же понадобился один прибор. Называется он ска-фис (иногда просто: скафис). Речь о нем пойдет ниже.
С помощью этого прибора Эратосфен проделал измерения, позволившие вычислить размеры Земли. Измерения он производил в Александрии.

А ход его рассуждений был таков.

К югу от Александрии находился другой город— Сиена, (ныне Асуан).
Эратосфен знал, что Сиена обладает одной замечательной особенностью. В полдень в день летнего солнцестояния Солнце в нем находится в самом зените, предметы не отбрасывают тени, и отражение Солнца видно на дне даже очень глубоких колодцев. (Сиена лежит на Северном тропике).
Отсюда Эратосфен заключил, что солнечные лучи в Сиене в этот день падают под углом точно 90°. Кроме того, раз Сиена лежит строго к югу от Александрии, то они находятся на одном меридиане.
(Я смотрела как-то давно по карте — мне показалось, что не лежат... Но сколько воды с тех пор утекло...)))
Для измерения угла падения солнечных лучей в Александрии Эратосфен воспользовался скафисом — чашеобразными солнечными часами со штырьком и делениями внутри них.

Эратосфен и скафис

Установленные вертикально, эти солнечные часы по тени от штырька дают возможность измерить высоту Солнца над горизонтом.
В полдень дня летнего солнцестояния, когда Солнце над Сиеной поднялось настолько высоко, что все предметы перестали отбрасывать тени, т.е. ровно на 90°, Эратосфен измерил его высоту на городской площади Александрии. Высота Солнца в Александрии, по измерениям Эратосфена, оказалась равной 82° 48'.
Стало быть, разность углов падения солнечных лучей в Александрии и Сиене составляет
90° 00' - 82° 48' = 7° 12'.
Это составляет примерно 1/50 часть полного круга (360°).
Таким образом, расстояние от Александрии до Сиены примерно равно 1/50 длины меридиана (т.е. окружности Земного шара).
Если измерить расстояние между городами, задача оказывалась решенной.
Но в то время точно измерить такое расстояние, к сожалению, нельзя было никак!
Необходимые данные о расстоянии между городами пришлось взять из рассказов купцов, водивших торговые караваны из Александрии в Сиену.
Купцы говорили, что расстояние между ними составляет примерно 5000 греческих стадиев, и Эратосфен был вынужден воспользоваться этим значением.
Модель Эратосфена
Таким образом, получилось, что окружность Земли равна 5000 * 50 = 250 000 стадиям.
По некоторым источникам у Эратосфена получилось 252 000 стадий.
В любом случае этот результат просто поражает воображение!
Диаметр Земли, вычисленный Эратосфеном, оказался всего лишь на 80 км меньше, чем фактический полярный диаметр!

Все рисунки имеют копирайт))) (с) — Интернет

@темы: Люди, античность, Amicus Plato

12:14 

Задача про Пифагора

Amicus Plato
Простыми словами
Честно говоря, давно уже собиралась (и давно надо было) написать про древнегреческих математиков.
Сегодня напишу про Пифагора. Напишу совсем чуть-чуть, гораздо меньше, чем можно было бы рассказать об этом удивительном человеке!
Само Пифагорейское учение — вещь очень загадочная и неоднозначная!
Учение это было одновременно научным, мистическим, религиозным, и я бы сказала "музыкальным". Интересы пифагорейцев были очень и очень обширны.
В некоторых современных исследованиях пишут, что все открытия, приписываемые Пифагору, — не его! Точнее, НЕ ВСЕ — его. Что у пифагорейцев было принято, дабы не давать поводов для проявления гордыни, смирять все свои амбиции, и, соответственно, своими открытиями возвеличивать единого Пифагора, и более никого: все остальные — просто анонимы.
А вообще, заповеди у них были весьма чуднЫе; и самые главные, основные из них, — вовсе не касались занятий наукой)))) Они носили скорее суеверно-обрядовый характер: типа перво-наперво не есть бобов. Уж не помню, где я об этом читала.
Затем: мешать золу в печке, чтобы не оставлять след от горшка; начинать обуваться всегда с правой ноги, а мыть сначала левую... Ну, и т.д. Куча всяких приятностей.
Но учение Пифагора о числах!!! Это блеск, независимо от того, кто до этого додумался — Пифагор, или его подвижники — какая разница.

Теософия пифагорейцев тоже была удивительна. Они верили в переселение душ и в освобождение от колеса сансары (цепи перерождений) с помощью математики и музыки...

Но всё же, рассказывать о числах мне чуть более привычно. У пифагорейцев к числам отношение было более чем уважительное. Они придавали числам мистический смысл. Знаменитое Пифагорово изречение гласит: "ВСЕ ВЕЩИ СУТЬ ЧИСЛА".
Пифагор же придумал так называемые треугольные и прямоугольные числа. (Но об этом я расскажу уже в следующий раз).

Сегодня напишу только всем известную историю про "Пифагоровы штаны".

Пифагоровы штаны

А вот теперь задачка:
Ученики Пифагора
читать дальше

@темы: Люди, Поп-математика, античность, Amicus Plato

Поп-математика для взрослых детей

главная