• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: бесконечность (список заголовков)
00:22 

Правильные тветы

Фабий
Я так их по-разному перемешивал и редактировал, так что теперь они идут вразнобой. Чтобы не затягивать, выложу как есть, иначе редактирования пришлось бы ждать до вечера.
Это, конечно, пока всё предварительно, сами понимаете: скандалы, расследования, формы ответов... :rolleyes:
Ну а сейчас выдыхаем и читаем авторские ответы с комментариями.
Я поздравляю вас с окончанием третьего турнира по математическому ЧГК в сообществе «Поп-математика для взрослых детей» :)

читать дальше

@темы: Бесконечность, Вопросы, Головоломки и занимательные задачи, Люди, Парадоксы, Теория множеств, Что? Где? Когда?

19:58 

Amicus Plato
Простыми словами
Цитата дня из Мак-Тьютора на сегодня. :)

Arthur Eddington (1882 - 1944)

I believe there are 15 747 724 136 275 002 577 605 653 961 181 555 468 044 717 914 527 116 709 366 231 425 076 185 631 031 296 protons in the universe and the same number of electrons.
(136 x 2^256)
(c)

Оказывается, это число Эддингтона N_Edd — число протонов в наблюдаемой Вселенной.
en.wikipedia.org/wiki/Eddington_number
А я сперва подумала, что это что-то вроде шутки...
:bricks:

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Люди

23:14 

Еще раз про аксиому выбора

Disprein
Позитивнее, позитивнее...
...и мудрецов, замышлявших государственный переворот, только на этот раз мудрецов счетное (и бесконечное) множество.

Итак, задача. Царь дает счетному множеству мудрецов ночь на совещание, после чего выстраивает их всех в колонну так, что каждый видит только тех, кто стоит перед ним (первый мудрец видит всех), и надевает каждому на голову белый или черный колпак.
После этого каждый мудрец должен написать на бумажке цвет своего колпака. Пишет правильно — его отпускают, пишет неправильно — его казнят. Ответов своих товарищей мудрецы увидеть не могут. Все, что видит каждый мудрец, — это цвета колпаков тех мудрецов, которые стоят перед ним (напоминаю, что их бесконечно много).

Вопрос: как действовать мудрецам, чтобы минимизировать потери?

Оказывается, если согласиться с аксиомой выбора, то существует стратегия, при которой для любого распределения колпаков гарантированно выживут все мудрецы, кроме, возможно, некоторого конечного числа.

@темы: Бесконечность, Головоломки и занимательные задачи, Парадоксы

10:20 

takigiro
Бросил на миг обмолачивать рис крестьянин, глядит на луну (с).
Ранее неоднократно поднималась тема деления на ноля на ноль, возведения ноля в нулевую степень, и часто появлялось понятие неопределенность.
Но что это за зверь такой, не разъяснялось.
Интересно, а что означает непоределенность с позиции теории множеств, есть ли у нее свойства, признаки и т.д.?

@темы: Теория множеств, Бесконечность

23:35 

Парадокс маляра

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Предлагаю вашему вниманию парадокс, который изложил в энциклопедии «Аванта+» Владимир Дубровский.

Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку (рис. 1), состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 × 2 см, а каждый следующий вдвое уже и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см2, а общая площадь пластинки бесконечна. Разумеется, чтобы всю ее покрасить, потребуется бесконечное (по объему или массе) количество краски. Но представьте себе «сосуд» (рис. 2), получаемый при вращении пластинки вокруг ее прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна 2k – 1 см, радиус — 21 – k см, а значит, его объем равен π∙21 – k см3. Таким образом, объемы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2π см3. Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него пластинку и вытащим ее; конечно, она вся будет окрашена с двух сторон.
Так все же, можно окрасить пластинку?!

@темы: Бесконечность, Парадоксы

14:59 

Amicus Plato
Простыми словами
Гляньте, как здорово!

Визуализация ряда Тейлора!
Что-то я никогда не задумывалась, что остаточный член — это такая вещь!

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Интересные ссылки

15:56 

Лев и человек

Amicus Plato
Простыми словами
Задача взята из "Математической смеси" Литлвуда.
Привожу ее не столько из-за нее самой, сколько из-за сопутствующих соображений. Во-первых, очень порадовало "лирической отступление" Литлвуда про задачу с монетами.
А во-вторых, та самая апория про Ахиллеса и черепаху этой задаче и в подметки не годится!

Значится...

Лев и человек

"Лев и человек, находящиеся на огороженной круглой арене, имеют одинаковую максимальную скорость. Какой стратегии должен придерживаться лев, чтобы быть уверенным в своей трапезе?" (*)

Говорят, что задача о "взвешивании монет" стоила 10 000 человеко-часов непродуктивно потраченного времени математиков, занятых оборонной работой во время войны. Было даже сделано предложение сбросить эту задачу над Германией.

Задача о льве, хотя и имеет уже 25-летнюю давность, недавно вновь пронеслась по стране; но большинство удовлетворилось ответом "L (лев) все время должен находиться на радиусе ОМ (М — человек)".
Если L сходит с ОМ, то асимметрия идет в пользу М.
...

Дальше я цитировать не буду, но вывод, как вы уже догадались, такой, что лев так никогда и не пообедает.
Не верите? Проверьте!

(*) "Кривая погони" (L всегда бежит прямо на М) требует бесконечного времени, так что формулировка задачи не лишена смысла.

@темы: ))), Amicus Plato, Бесконечность, Головоломки и занимательные задачи, Публикации

19:43 

Хочу предложить ещё одну задачу, которую узнал летом. Над ней думали очень много, пока один человек не решил.

Условие
100 заключённых. Им дают ночь на то, чтобы договориться, а после предлагают следующее задание:
всех разводят по одиночным изолированным камерам и по одному выводят в особую комнату, где есть выключенная изначально лампочка и выключатель. Этот выключатель человек может, уходя, оставить в любом положении из двух (вкл/выкл). Водить могут людей в любом порядке, даже по несколько раз подряд. В какой-то момент очередной заключённый, заведенный в комнату с лампочкой, должен точно сказать, что до него в этой комнате побывали все остальные. И тогда их освобождают. В случае ошибки всех казнят. Логика прямая, никаких подвохов.

@темы: Бесконечность, Головоломки и занимательные задачи

20:32 

Ординалы и кардиналы. Замечание

Amicus Plato
Простыми словами
Еще чуть-чуть того же самого другими словами.
Каким образом можно провести различие между ординальными числами ω и ω+1?
Сами элементы множеств с такими ординалами могут быть одинаковыми (а могут и нет)! Важно лишь то, каким образом мы задаем отношение порядка!

Например, множество натуральных чисел в "обычном виде": {1, 2, 3, ...} имеет ординальное число ω, представляющее всю последовательность натуральных чисел в её обычном порядке.
Также ординальное число ω имеют множества:
{10, 20, 30, ...}
{100, 200, 300, ...}
{1, 2, 4, 8, 16, ...}
...
Однако множество всех натуральных чисел в перестроенной последовательности {2, 3, 4, ..., 1} или же множество чисел в последовательности {20, 30, 40, ..., 10} имеет ординальное число ω+1.
И не обязательно первое число переставлять назад. Это можно сделать с абсолютно любым элементом множества:
{100, 200, 400, ... 300}
{1, 2, 4, 8, 16, ..., 32}
также имеют ординальное число ω+1.

Другими словами, значение кардинального числа зависит от задания порядка на множестве, а если неформально: от размещения бесконечно длинных пробелов, помеченных многоточием.

0) Если многоточие стоит в самом конце, то ординальным числом бесконечного множества будет ω.
1) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится одно число, то ординальным числом новой последовательности будет ω+1.
2) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится два числа (например {3, 4, 5, ..., 1, 2}), то ординальным числом новой последовательности будет ω+2.
...
ω) Множество {1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...} имеет два бесконечных пробела, поэтому его ординальное число равно ω+ω или 2ω.
И т.д.
Таким образом, сколько бесконечных пробелов, столько и омег в нашем ординале!

Важно, что все эти множества имеют одно и то же число элементов. То есть между любыми двумя из вышеперечисленных множеств, а также между каждым из этих множеств и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.
Только оно не будет изоморфизмом, потому что порядок при таком соответствии не сохраняется.
Поэтому кардинальные числа всех этих множеств одинаковы, хотя их ординальные числа различны.

@темы: Теория множеств, Бесконечность, Amicus Plato

20:07 

Ординалы и кардиналы III

Amicus Plato
Простыми словами
Выстроим цепочку ординальных чисел:
0 → ∅ (пустое множество)
1 → {1}
2 → {1, 2}
3 → {1, 2, 3}
4 → {1, 2, 3, 4}
5 → {1, 2, 3, 4, 5}
6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6}
...
Можем ли мы построить такое число, которое соответствовало бы множеству всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}?
Наибольшего ординального числа, ассоциированного с последовательностью конечных множеств просто не существует, как не существует и наибольшего натурального числа.
Но так же, как мы вводим понятие бесконечности: ∞, мы определим новое, трансфинитное ординальное число ω (омега) как первое число, следующее за всей последовательностью ординальных чисел чисел 1, 2, 3, ... .

ω → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Омега является порядковым типом множества всех натуральных чисел.

А теперь сделаем вот такой хитрый ход...

@темы: Теория множеств, Бесконечность, Amicus Plato

17:43 

Ординалы и кардиналы II

Amicus Plato
Простыми словами
Итак, с вполне упорядоченными множествами мы разобрались.
Я всё-так расскажу, что такое ординальные числа, сперва на примере конечных множеств.

Помните пример с овцами? Чтобы пронумеровать шесть овец, нужно установить взаимнооднозначное соответствие между каждой овцой и одним из чисел от 1 до 6.
Я писала об этом здесь.
Упорядочим это множество по номерам:

овца1 < овца2 < овца3 < овца4 < овца5 < овца6

Как только мы хоть каким-нибудь образом установим однозначное соответствие каждого из шести элементов любого шестиэлементного множества с натуральным числом от 1 до 6, мы создадим на этом множестве полный порядок! И оно тут же станет изоморфным множеству наших овец, а также множеству {1, 2, 3, 4, 5, 6} с отношением «<».
Ординальное число 6 служит абстракцией всех вот таких вот вполне упорядоченных шестиэлементных множеств.

Ординальное число 6 (как вроде бы интуитивно понятно) следует за ординальным числом 5 (соответствующим всем изоморфным друг другу вполне упорядоченным пятиэлементным множествам).
А за ординальным числом 6 идет ординальное число 7.

В примере с нашими овцами ординальное число 6 совпадает с кардинальным, т.е. с мощностью этого множества.
Однако вот это вот утверждение верно только для конечных множеств!

Георг Кантор показал, что можно построить бесконечное число бесконечных множеств, имеющих разные ординальные числа, но одно и то же кардинальное число.
Вскоре и мы это покажем!

Вот, что я вычитала в одной статье:
Фактически Кантор позднее сумел превратить это свойство бесконечных множеств в критерий отличия их от конечных множеств: множество конечно, если его кардинальное и ординальное числа совпадают.
С бесконечными множествами сейчас разберемся отдельно!

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

22:11 

Ординалы и кардиналы I

Amicus Plato
Простыми словами
Начну сейчас писать про ординальные числа.

Сначала подведу некоторый итог нашим знаниям о числах кардинальных. Что мы о них знаем? Для обозначения мощности (то есть "количества элементов") бесконечных множеств Георг Кантор ввел так называемые трансфинитные числа.
Обозначение этих кардинальных чисел, которым мы пользуемся по сей день, придумал сам Кантор. Он обозначал их в виде буквы א (алеф) — первой буквы еврейского алфавита.
Как я уже говорила раньше, мощность счётного множества равна א0.
Везде где алефы с индексами, сперва идет алеф, а за ним 0 или 1 (т.е. алеф0, алеф1). Просто этот алфавит хочет писаться только справа налево((( Замучилась, но не могу исправить ))))
Множества N (натуральных чисел), Z (целых чисел) и даже Q (рациональных чисел, — чисел, которые можно представить в виде обыкновенных дробей) являются счетными.
Следом за א0 идет א1 — мощность континуума. Это мощность множества действительных чисел (рациональных+иррациональных), а также мощность любого отрезка действительной оси.
Как было показано, множество точек плоскости (хотя на вид ГОРАЗДО больше, чем множество точек прямой) тоже имеет мощность א1.
Но есть и следующие алефы, и число их бесконечно.

Однако исторически сложилось так, что первыми трансфинитными числами стали не кардинальные, а ординальные числа.

Чтобы ввести определение ординального числа, нужно сначала разобраться, что такое вполне упорядоченное множество.

Вполне упорядоченное множество — это множество, на котором:
1) задано отношение порядка, причем
2) этот порядок линеен, и кроме того,
3) в этом множестве есть наименьший элемент.

Объясняю всё по порядку (простите за каламбур).
1) Отношение порядка — это с формальной точки зрения такое отношение, которое позволяет:
а) сравнить каждый элемент множества с самим собой (свойство рефлексивности);
б) утверждать, что если порядок таков, что элемент а предшествует b, а b предшествует с, то а тем более предшествует с (свойство транзитивности);
в) утверждать, что два условия:
1) элемент а предшествует b и 2) элемент b предшествует а
выполняются одновременно тогда и только тогда, когда а=b (свойство антисимметричности).
То есть отношение порядка это и есть "порядок" )))
Если выстроить всех людей по росту — это будет отношением порядка.

2) линейный порядок означает, что любые два элемента множества сравнимы: для любых а и b: либо а предшествует b либо b предшествует а! Не может быть такого, что мы не знаем как их соотнести! То есть если мы строим людей по росту, нам ни в коем случае нельзя, чтобы каких-то двух и более человек мы не могли бы расставить! Т.е. сказать: ваш рост равен, внутри вашей группы становитесь, как хотите! Нет! Будем измерять их с точностью до микронов, но расставим строго одного за другим и не позволим меняться местами!

3) существование наименьшего элемента. Ну, с людьми как раз всё просто. Человек с наименьшим ростом имеется по определению. А вот с другими множествами — не факт. Множество целых чисел казалось бы прекрасно упорядочено: для каждой пары чисел можно сказать какое больше, а какое меньше! Но оно не является вполне упорядоченным, потому что не имеет наименьшего элемента!

Зато прекрасный образчик вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел.

И вот теперь перехожу к финальной части: оказывается, для каждого вполне упорядоченного (не более чем счетного) множества существует изоморфизм (вспомните кросспост Trotil'а) в множество натуральных чисел.
В нашем случае изоморфизм — это взаимно однозначное отображение, сохраняющее линейный порядок.
В примере с людьми это означает, что людей, выстроенных по росту, можно пронумеровать. Первым будет наименьший человек, за ним второй, и т.д....
Но людей хоть и много, однако их число всё равно конечно.
Для любого вполне упорядоченного бесконечного множества точно так же имеется нумерация элементов, соответствующая заданному отношению полного порядка!
Всё это может скучновато и просто... Однако дальше начнется самое интересное! )))

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Теория множеств

17:01 

Amicus Plato
Простыми словами
Собираюсь продолжить с теорией множеств и написать про ординальные числа.
Но сперва хочу напомнить про числа кардинальные, потому что понятия эти довольно тесно связаны.
Про них так зачастую и пишут вместе: кардиналы и ординалы.
Кардинальное число — это обобщенное понятие "количества элементов множества".
Для любого конечного множества это и есть количество элементов.
А вот бесконечные множества тоже не все "одинаково велики". Есть более и менее "плотные" бесконечности.
Об этом я уже писала. Поэтому просто хочу напомнить.
Вот несколько "предварительных сведений" из записей сообщества.
0) Натуральные числа
1) Четные и нечетные числа
2) Мощность множества натуральных чисел
и, наконец, с этим же самым мы столкнулись совсем недавно в связи с задачей про Деда Мороза:
Мощность множества
В этой записи (как неожиданно оказалось) обобщены все предыдущие.

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

22:40 

Про счетную бесконечность

Amicus Plato
Простыми словами
Читаю сейчас книгу "Кочерга Витгенштейна. История десятиминутного спора между двумя великими философами".
И как раз вычитала пассаж в тему! В тему парадоксов теории множеств, связанных с бесконечностью.
Сейчас процитирую.
...
По Кантору два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному.
Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3, 4, 5, ... равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20, ..., потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10, и т.д.
Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности.
Оказалось, однако, что и этот подход порождает парадоксы. Один из них выявил Бертран Рассел, приводивший в качестве примера роман Лоренса Стерна "Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена". В романе Шенди описывает первые два дня своей жизни, на что у него уходит два года. Он беспокоится, что с такими темпами никогда не закончит автобиографию.
Рассел утверждал, что если применить здесь подход Кантора, то, как ни странно, получится, что если Тристрам Шенди будет жить вечно, то в летописи его жизни не будет упущен ни один день.

Если начиная со дня, когда ему исполнилось двадцать, Шенди в течение двух лет трудился над описанием первых двух дней своей жизни, то, когда ему исполнится 22, он приступит к описанию следующих двух дней; когда исполнится 24 — следующих двух дней, и так далее. Разумеется, отставание по времени будет всё больше и больше; но отношение один к одному сохранится: каждому дню его жизни будет соответствовать один период его автобиографической деятельности:

20 — 21 год — — — — дни 1 — 2
22 — 23 года — — —- дни 3 — 4
24 — 25 лет — — — — дни 5 — 6
...
Получается, бессмертный Тристрам Шенди способен описать все до единого дни своей жизни.

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Цитаты

15:01 

Отображение квадрата на его сторону

Amicus Plato
Простыми словами
Напомню вопрос.
Он заключался в том, имеют ли квадрат и его сторона равные мощности. То есть, равно ли в них "количество точек"? Сравнимы ли типы бесконечности для обозначения количества точек отрезка и количества точек двумерной фигуры?
На первый взгляд, ответ очевиден: "конечно же нет!" Ведь в квадрате помещается бесконечное число отрезков длиной в его сторону!

Однако, чтобы доказать, что это не так, что множества эти "соизмеримы", и более того, равномощны, ("имеют одинаковое количество точек"), нам надо всего лишь задать взаимно однозначное соответствие из точек квадрата в точки его стороны (и обратно).

Оговорюсь сразу: я не могу найти, где я это вычитала, и поэтому не помню в точности, как там выглядит "предельный переход" — отображение точек, которые лежат на сторонах квадрата. С внутренней областью всё ясно. А насчет границы: это уже мой личный изворот.

Итак, доказательство.
Пусть у нас есть произвольный квадрат. Примем его сторону за единицу. Тогда в координатной плоскости каждая его точка будет иметь координаты (х,у) вида:
x = 0,x1x2x3...........
y = 0,y1y2y3...........


То есть, х и у будут представлять собой конечные или бесконечные десятичные дроби в диапазоне от 0 до 1.
Теперь обратимся к точкам на границе.
В одном из комментариев в этом сообществе я уже показывала, что когда речь идет от числах вещественных, две записи единицы полностью эквивалентны:
1,0000000000000000... = 0,999999999999999999999...
Поэтому точки на границах квадрата мы будем представлять с соответствующей координатой (у для верхней стороны и х — для правой) равной 0,9999999....

Тогда отображение ЛЮБОЙ точки квадрата на отрезок оси от 0 до 1 можно представить в следующем виде:

z = 0,x1y1x2y2x3y3............

То есть всего навсего зададим координаты точки зэт на отрезке [0;1], чередуя цифры записи икса и игрека.
Таким образом, КАЖДАЯ точка этого квадрата нашла свое уникальное место на его стороне.
Обратно, по каждой точке стороны можно единственным образом восстановить точку квадрата: цифры, стоящие на нечетных местах после запятой, образуют мантиссу (дробную часть) координаты х (абсциссы), а цифры, стоящие на местах четных, образуют мантиссу ординаты — у.

Сумбурно несколько вышло.
Поэтому, если что, — говорите сразу.

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Теория множеств

11:11 

Amicus Plato
Простыми словами
Задача про Деда Мороза открыла нам поразительные горизонты и перспективы.

Она показала, что операции с бесконечными множествами нужно производить не то что даже "аккуратно", но с большим пиететом.

И первое, что всегда надо делать, — выяснить мощности множеств, которыми мы собираемся оперировать.

"Мощность" для бесконечного множества равнозначна "числу элементов" для множества конечного.
Мощности множеств определяются специальными числами — "кардиналами".
Самое "маленькое" – это счетное множество, такое, в котором все элементы можно пронумеровать. Скажем, множество всех натуральных чисел. Его мощность кардинальным числом обозначают אо – алеф-ноль!
Все действительные числа образуют множество мощности א – алеф. Мощность א называется мощностью континуума. Причем, есть такая теорема Кантора, из которой следует, что для каждого кардинала, существует кардинал больше него. То есть, бесконечности все уплотняются, и нет этому конца. Бесконечность одних множеств вкладывается в бесконечность других.

Два бесконечных множества равномощны, если существует взаимно однозначное отображение из одного множества в другое.

Например множества всех натуральных чисел и всех положительных четных чисел равномощны.
Отображение, устанавливающее связь между ними: n —> 2n
То есть, на первый взгляд, четных чисел вдвое меньше.
Оказывается, это не так.
Чисел, делящихся на 3, на 5, на 10 и даже на сто миллионов в совокупности ровно столько же, сколько и всех натуральных чисел вместе.
Это не парадокс. Это факт.

А теперь внимание, вопрос:

Как вы думаете, квадрат и сторона квадрата имеют одинаковую мощность?
То есть в них одинаковое "количество точек"???

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Теория множеств

20:44 

Нули бывают разные: голубые, красные...

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Всё, что я сейчас напишу, защищено моим копирайтом, и является моим же личным взглядом на проблему деления на ноль.
Поэтому относиться к написанному призываю с должным пиететом, но не возводить это в ранг истины.
Сие есть сугубо приватное мнение частного (моего) лица.

Итак, о том, что нули бывают разные, я прочитала в глубоком детстве — не помню где, и не помню точно, как там было описано их отличие. В общих чертах получалось, что зеленый ноль, полученный вычитанием, никак не равен голубому нулю, полученному умножением на ноль, который, в свою очередь тоже имел свой цвет. Эти нули действительно в каком-то смысле "не равны", но это их неравноправие никак не поможет нам решить проблему снятия неопределенности при делении нуля на нуль.

Поэтому я начну свой рассказ о нулях совсем не так.
В качестве предмета своего повествования (чтобы не быть голословной) возьму яблоко.
Одно Яблоко будет символизировать то, что ЕСТЬ. Бытие.
Его отсутствие — то, чего нет. Отсутствие бытия. Или нуль.
Попробуем посмотреть, что мы можем извлечь из этой оппозиции.

Представим Большое Красное Яблоко. Оно Есть.
Оно перестанет быть сразу только в одном случае: если мы его проглотим.
Как только мы сделаем это, у нас останется НУЛЬ. И вот это и есть тот самый нуль, на который действительно нельзя делить. (Для математиков сразу оговорюсь: "нельзя" в рамках множества действительных чисел, в которое не входит актуальная бесконечность).
Но это крайний (предельный) случай. Яблоки ведь редко глотают целиком...

Представим теперь, что мы всё-таки собираемся съесть яблоко, но не просто так, а придерживаясь определенного правила.
Например, отрежем от него половину и съедим. Затем от остатка опять отрежем половину и опять съедим. Потом опять, еще и еще... Представим себе, что у нас очень острый нож и очень острое зрение... Тогда мы можем половинить остатки яблока какое-то количество шагов...
Но, тем не менее, настанет время, когда у нас "практически" ничего не останется... Остаток станет меньше любого маленького наперед заданного числа! Это значит, что остаток яблока стремится к нулю. И с некоторого шага его практически можно считать этим самым нулем.

Теперь же представим, что мы едим яблоко с другом (у каждого из нас по яблоку).
Наш закон остается прежним: на каждом следующем шаге мы съедаем половину остатка. Друг же делает иначе: он съедает одну треть. Его остаток тоже стремится к нулю. Но с тою же скоростью? Очевидно, ответ будет отрицательным. Друг ест яблоко медленнее.
Во сколько раз? Это легко посчитать.
У нас с каждым шагом остаток уменьшается вдвое. Т.е. от х яблока остается х/2 или 1/2x.
У друга от х яблока остается (х – x/3) или 2/3х.
При х --> 0 и первая и вторая последовательности тоже стремятся к нулю, но не их отношение!
(1/2х)/(2/3х) =3/4
То есть яблоко друга уменьшается быстрее нашего в ¾ раза. Я не оговорилась: «быстрее», а не «медленнее», потому что "быстрее в ¾ раза" это и означает «медленнее».

Таким образом, если у нас есть две стремящиеся к нулю последовательности, то отношением их предельных (казалось бы, нулевых) значений будет не что иное, как соотношение СКОРОСТЕЙ приближения к нулю.
Вот, пожалуй, и всё, что я могу сказать об этом разделе математического анализа средствами младшей школы. Но, думаю, это полное описание этой части теории пределов.

@темы: Бесконечность, пределы, Amicus Plato, Поп-математика

13:56 

Вопрос

2-12-85-06
... опять про ноль

Если ноль разделить на ноль, получится бесконечность, неопределённость или что-то ещё?..

@темы: Бесконечность, Вопросы

20:08 

Вопрос про деление

2-12-85-06
Если разделить на ноль, то получится бесконечность.
А если какое-то число разделить на ноль в степени ноль (которое само по себе равно ЧЕМУ УГОДНО (с)) — что получится?

@темы: Бесконечность, Вопросы

19:07 

Вопрос про ноль

2-12-85-06
Прочитала сегодня, что любое число в нулевой степени равно единице. Это правда?
Если да, то я не понимаю: почему не нулю? почему не самому себе?

И тогда получается, что ноль в степени ноль равно единице???

@темы: Бесконечность, Вопросы

Поп-математика для взрослых детей

главная