• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: натуральные числа (список заголовков)
03:02 

О том, как бы древние греки решали некоторые С6 или еше раз о фигурных числах

mmok
22:35 

Four queens
The strongest oaths are the straw to the fire in the blood

Просто хочу поделиться:

В школе я придумала новый способ считать квадраты чисел от 11 до 19! Потом совсем забыла его... а теперь вспомнила:
нужно умножить число на 10 и прибавить к этому само число, умноженное на свою вторую цифру
пример: 15 - 150+15х5 = 225


Прошу прощения, написала немножко глупость. Конечно, это не новый способ, а вот тот, что я придумала:
Например, 14*14 считается так: 140*2 =280, из первой цифры вычесть 1, получается 180, и прибавить квадрат числа единиц: 180+4*4 = 196
19*19: 190*2 = 380; 280+9*9 = 361
Это работает только на числах от 11 до 19, а дальше я не разработала.

 

 


запись создана: 22.09.2010 в 00:40

@темы: Натуральные числа, Поп-математика

16:48 

Саймон Флэгг и дьявол

Математики, обычно, плавают в гуманитарных знаниях, а гуманитарии недолюбливают расчёты. Однако, тем не менее, точные науки нередко вхожи в искусство, так почему бы не освещать подобные примеры в сообществе..7)



Артур Порджес
Саймон Флэгг и дьявол
(фантастический рассказ)


После нескольких месяцев напряженной работы по изучению бесчисленных выцветших манускриптов Саймону Флэггу удалось вызвать дьявола. Жена Саймона, знаток средневековья, оказала ему неоценимую помощь. Сам он, будучи всего лишь математиком, не мог разбирать латинские тексты, особенно осложненные редкими терминами демонологии X века. Замечательное чутье миссис Флэгг пришлось тут как нельзя кстати.
После предварительных стычек Саймон и черт сели за стол для серьезных переговоров. Гость из ада был угрюм, так как Саймон презрительно отверг его самые заманчивые предложения, легко распознав смертельную опасность, скрытую в каждой соблазнительной приманке.
- А что, если теперь вы для разнообразия выслушаете мое предложение? - сказал наконец Саймон. - Оно, во всяком случае, без подвохов.
читать дальше

@темы: Натуральные числа, )))

19:10 

Быть или не быть... (иначе 1 или 0)

Scroll
Вот задались академической группой вопросом, с которого числа начинается натуральный ряд. Варианта, конечно, два: ноль и единица. Обычно говорится, что в русскоязычной литературе отсчёт идёт с 1, а в зарубежной с 0. С другой стороны, в работах логиков (а не математиков) фигурирует 0 в качестве пресловутого начала. Так как же всё-таки верно? Неужели, это вопрос персональных взглядов и приверженности той или иной концепции?

@темы: Вопросы, Натуральные числа

14:41 

Фигурные числа III

Amicus Plato
Простыми словами
Пятиугольные числа
Пятиугольные числа — числа, которые составляют пятиугольники.
По-моему, это образование уже менее естественное, чем все предыдущие, но если вспомнить, какое внимание пифагорейцы уделяли пятиконечной звезде, вписанной в правильный пятиугольник, то удивляться тут нечему.
Вот как они выглядят:
(Знаю, что они даже кривее, чем треугольники... Но что поделать...)


читать дальше

@темы: Натуральные числа, Люди, Amicus Plato, античность

23:25 

Фигурные числа II

Amicus Plato
Простыми словами
Квадратные и прямоугольные числа

Как нетрудно догадаться, квадратные числа — это такие количества камушков, из которых можно выложить квадраты.
То есть, числа, которые можно представить в виде: n*n.


Первые десять квадратов мы все отлично помним со школьных времен. Достаточно представить себе главную диагональ таблицы всё того же Пифагора.
На самом деле почти каждый из нас легко воспроизведет в среднем до двадцати первых квадратов. Дальше уже всё зависит от индивидуальных особенностей памяти, и от того, насколько эти знания для нас актуальны.

читать дальше

@темы: Amicus Plato, Люди, Натуральные числа, античность

21:19 

Фигурные числа I

Amicus Plato
Простыми словами
Пифагор.
Про Пифагора я уже писала: вот здесь.
Речь шла о несоизмеримости гипотенузы и катетов прямоугольного равнобедренного треугольника.
Но это была только самая малость из того, что я хочу рассказать об этом поистине великом человеке.


А сейчас рассказ пойдет о фигурных числах.

Пифагорейцы наделяли числа магическими свойствами. И действительно, в их руках, под их взором, математика обращалась в магию.
Сейчас мы увидим, что самые, казалось бы, "элементарные" — обычные и знакомые нам с детства — натуральные числа — можно увидеть совсем в ином свете.
Сам Пифагор говорил об этом: "Все вещи суть числа". И для пифагорейской школы это был мотто, девиз, которым они руководствовались всегда и везде.

Главной особенностью античной математики был полу-арифметический - полу-геометрический подход к числам.
Пифагорейцы различали треугольные, квадратные, прямоугольные, пятиугольные числа (это, так сказать, двумерные числа, — числа на плоскости). Как производные от них получались кубические и пирамидальные числа.
Не уверена, что перечислила все, но давайте разберемся сначала с этими.

Треугольные числа
Треугольные числа — это такие числа, из которых (имея столько камушков) можно выложить правильные треугольники.
Вот первые четыре числа:

Их значения равны:
Т1=1, Т2=3, Т3=6 и Т4=10.

Нетрудно продолжить ряд и получить значения следующих треугольных чисел:
Еще парочка...
Т5=15, Т6=21, Т7=27, Т8=36...

Теперь давайте посмотрим, как они получаются.
Ясно, что геометрически следующее треугольное число получается из предыдущего добавлением "строки", содержащей на один камушек больше, чем самая нижняя "строка" этого предыдущего числа. (Каждая новая строка выделена красным). (Знаю, что картинки малость косоваты, но зато можно не ставить копирайт))) Рисовала сама)))
Таким образом, имеем:

Тn = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n

С давних времен известно (еще даже до того как девятилетний Карл Фридрих Гаусс открыл сумму первых n членов арифметической прогрессии))), что сумма первых n чисел может быть посчитана следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = 1/2 • n(n+1)

Таким образом, треугольное число с номером n вычисляется по этой формуле:
Тn = 1/2 • n(n+1)

Треугольные числа кроме всего прочего являются биномиальными коэффициентами при второй степени икса (в разложении (1 + x)n по степеням x).

"Число зверя" 666 также является треугольным.

Сумма двух последовательных треугольных чисел даст нам число квадратное.
Формула такова:
Tn + Tn − 1 = n2.
Но об этом — продолжение следует.

@темы: Amicus Plato, Люди, Натуральные числа, античность

12:10 

Простота и совершенство

Amicus Plato
Простыми словами
О простых числах я уже рассказывала, когда писала про решето Эратосфена.
Но древние греки, неутомимые исследователи, не остановились на такой скупой классификации чисел.
Они поделили их не только на простые и составные.
Нет, они пошли гораздо дальше!
Напомню, что простым числом называется число, которое не имеет делителей кроме единицы и себя самого. Все остальные числа называются составными.
Пример:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,.... — простые числа;
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ... — составные числа.

Число 1, в отличие от всех остальных, не является ни простым, ни составным. Потому что простое число по определению должно иметь два делителя: себя самого и единицу. А у единицы делитель всего один — она сама.

И простых и составных чисел бесконечное множество. То есть нет наибольшего простого числа — за ним обязательно существует еще большее простое.
Вы, может быть, не поверите, но многие люди занимаются этим и в наши дни: пишут программы для вычисления нового самого большого простого числа.
читать дальше

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato

17:49 

Аксиомы Пеано

Amicus Plato
Простыми словами
Никак не дойду до описания парадокса Рассела, хотя, казалось бы, все предпосылки уже налицо.
Но всё-таки придется сначала чуть-чуть остановиться на истории. Иначе не будет очевидным весь драматизм ситуации: парадокс Рассела у многих ученых выбил твердую почву из-под ног. Некоторые после этого так и не смогли оправиться от депрессии...

***
Все мы привыкли со школьных лет пользоваться привычными математическими обозначениями и нотациями. И нам кажется (мне, во всяком случае, казалось) что так было если не "всегда", то очень и очень долго.
Однако же нет!
Вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована (что уж говорить про другие разделы математики!).
Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, определяющих натуральный ряд.
Только с помощью аксиом Пеано стало возможным формализовать арифметику.
И только после их введения у математиков появился инструмент для доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также возможность использовать целые числа для построения чисел рациональных и вещественных.

Джузеппе Пеано

Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Конечно же, существует и их формулировка в математическом виде, но здесь я ее приводить не буду.

*На самом деле когда-то очень давно меня сразило теоретико-множественное определение натуральных чисел: определение через ординальные числа.
Когда я впервые его прочитала, мне казалось, что просто мир переворачивается.... Казалось бы самое простое, что есть в математике, имеет такое двойное дно, такие бездонные глубины, что просто руки опускаются, и сознание отказывается с этим хоть как-то мириться.
Если интересно, то очень кратко можно посмотреть в Википедии:

Здесь я пишу про аксиоматику Пеано с тем чтобы плавно перейти к наивной теории множеств Георга Кантора, чтобы затем написать как с ней разделался Бертран Рассел. Человек с абсолютно холодным сердцем и очень живым умом.

@темы: Люди, Натуральные числа, Amicus Plato

11:14 

А вот еще по поводу...

Amicus Plato
Простыми словами
...четности и нечетности!
Поговорила с Fiona-Eva и поняла, что на эту тему еще кое-что можно сказать.
Древние греки с большим пиететом относились к числам.
Пифагор обладал вообще экстремальным взглядом на бытие, и говорил, что "Все вещи суть числа".
Но Пифагора не хочу упоминать всуе. Про него надо писать отдельно и много.
А пока расскажу про четность и нечетность в понимании Платона.
Даже не сама расскажу. Вот цитата из А.Ф. Лосева:

Четность числа, предполагающая его разделение на равные части, и нечетность числа, выражающая полную невозможность такого распадения, понимались Платоном чрезвычайно конкретно и красочно и уже по одному этому имеют ближайшее отношение к эстетике. Так, олимпийским богам подобает нечет, подземные же боги характеризуются чётом. Но это касается не только богов, но и вообще всего существующего, хотя арифметическое понятие чёта и нечета – совершенно чистое, самостоятельное и не зависит от тех вещей, к которым оно применяется, будучи вполне универсальным.

@темы: Люди, Натуральные числа, Amicus Plato

22:39 

Мощность множества натуральных чисел

Amicus Plato
Простыми словами
Мой вопрос: каких же чисел больше: четных или нечетных — не вызвал большого ажиотажа )))
Отвечаю на него сама.
Начну с теории.
читать дальше

@темы: Теория множеств, Натуральные числа, Бесконечность, Amicus Plato

18:33 

Четные и нечетные числа

Amicus Plato
Простыми словами
Натуральные числа (продолжаем разговаривать о них) бывают четными и нечетными.
Только не говорите сразу, что это элементарно!
Это и вправду элементарно до тех пор, пока умопостигаемо. То есть пока наше воображение может легко представить то, о чем ему говорят.
Итак, четные числа — это числа, делящиеся на 2.
Их всегда можно представить в виде k = 2*n, где n — любое натуральное число.
Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2.
Каждое из них может быть записано как m = 2*n + 1.
Что это значит?
Это значит, что если у нас есть куча из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, etc.), мы ее можем смело разложить на две РАВНЫЕ кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Один предмет всегда будет лишним.
Любое четное число, большее двух, всегда можно разложить на сумму двух четных чисел или на сумму двух нечетных чисел.
То есть, само собой разумеется, что сумма двух четных числел — всегда четное число.
Но и сумма двух нечетных чисел — тоже четна.
Формально это записывается следующим образом.
Пусть есть два нечетных числа: m = 2*n + 1 и p = 2*r + 1.
Тогда

m + p = (2*n + 1) + (2*r + 1) = 2*n + 1 + 2*r + 1 = 2*(n+r) + 2 = 2 * (n+r+1)

Если мы обозначим натуральное число (n+r+1) через s, получим:

m + p = 2*s.

Это и означает, что суммой двух нечетных чисел всегда является число четное.
Аналогичным образом легко доказать, что сумма четного и нечетного числа — всегда число нечетное.

Чтобы проверить число на четность, необязательно делить его на два (особенно, если оно велико). Достаточно проверить последнюю его цифру.
Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 – четные, остальные, соответственно, – нечетные.

А теперь, внимание, вопрос: каких чисел больше в натуральном ряду: четных или нечетных?
Или даже сформулирую задачу иначе.
Каких чисел больше:
- четных;
- нечетных;
- делящихся на три;
- делящихся на пять;
- делящихся на сто;
- всех без разбора.
?
В ответ собираюсь написать о свойствах натурального ряда, но если кто-то хочет присоединиться — you are welcome!

@темы: Amicus Plato, Натуральные числа

22:30 

Простые числа

Amicus Plato
Простыми словами
Похоже, о натуральных числах можно говорить бесконечно.
Сейчас я расскажу о «специфических» натуральных числах, называемых простыми.

Простое число – это натуральное число, большее единицы, которое имеет ровно два делителя. Оно делится на единицу и на само себя.

Именно вследствие такого жесткого определения сама единица не попадает в разряд простых чисел: у нее-то делитель только один: она сама.
Поэтому ряд простых чисел начинается с двойки.
Вот первые его члены:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

читать дальше

@темы: Натуральные числа, простые числа, Amicus Plato

11:07 

Натуральные числа

Amicus Plato
Простыми словами
Натуральные числа были открыты — я не говорю "придуманы", потому что вслед за многими математиками разделяю убеждение, что все математические идеи существуют сами по себе в Платоновском царстве идей.
Человеку дано лишь с помощью математической интуиции вдруг понять что-то, открыть то, что было всегда, — просто терпеливо дожидалось своего часа.
Так вот, натуральные числа были открыты в стародавние времена для счета предметов.
Для этой же цели они используются и сейчас. Если нам нужно что-то пронумеровать, мы пользуемся для этого множеством натуральных чисел N.
Что значит «пронумеровать»?
Это значит установить взаимнооднозначное соответствие между нумеруемыми предметами и натуральными числами.
Звучит, может, несколько устрашающе, но вот пример.
Пусть у нас есть шесть одинаковых овец. Чтобы их пронумеровать, их достаточно посчитать так, чтобы каждая овца была посчитана только один раз. Для этого откроем дверь загона, в котором они стоят, и будем выпускать их по одной. На каждую навесим ярлык с ее номером.
Первая вышедшая овца – 1
Вторая вышедшая овца – 2
Третья вышедшая овца – 3
Четвертая вышедшая овца – 4
Пятая вышедшая овца – 5
Шестая вышедшая овца – 6

Вот у нас и установлено взаимнооднозначное соответствие между множеством овец и подмножеством натуральных чисел.
Для тех, кто думает, что это детский сад, скажу, что всё просто только до тех пор, пока речь идет о конечных множествах. С бесконечными начнется куда более беспокойная жизнь.

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato

22:32 

Натуральные числа

Amicus Plato
Простыми словами
Система натуральных чисел N удовлетворяет аксиоме индукции: любое подмножество множества N, содержащее 1 и вместе с каждым элементом а сумму а+1, совпадает с N.

@темы: натуральные числа, Amicus Plato

15:44 

Натуральные числа

Amicus Plato
Простыми словами
Любой уважающий себя математик, рассказывая о числах, начинает повествование с чисел натуральных.
Последую и я этому примеру.
Вы скажете, что знаете всё это и так? — Хорошо.
Постараюсь сильно не утомлять.
Вкратце остановлюсь на основных моментах.
Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Этим понятием мы пользуемся интуитивно и всегда верно. )))
Некоторые определяют натуральные числа как множество всех целых положительных чисел, но это порочный круг, потому что потом целые числа определяются через натуральные.
Существуют два подхода к определению натуральных чисел.
Натуральные числа — это числа, используемые при :
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета… )

На первый взгляд смешно даже различать эти подходы, но здесь кроется одна деталь. Считать ли НУЛЬ натуральным числом или нет? Нас всегда учили не считать, и я, например, всю жизнь полагала это вполне естественным. Поскольку с помощью натуральных чисел считают ТО, ЧТО ЕСТЬ, а не ТО, ЧЕГО НЕТ!
Но вот читая нынче западные книжки, с удивлением вижу, что «ихние» ученые с удовольствием считают нуль равноправным натуральным числом.
Можно, конечно, спорить и выяснять, кто прав. Но лучше просто быть готовым к любому повороту событий ))))
(Это еще не всё о натуральных числах)

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato

Поп-математика для взрослых детей

главная