• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: Amicus Plato (список заголовков)
22:05 

Парадокс Рассела

Amicus Plato
Простыми словами
Наконец-то перейду к сути парадокса.
А потом всё же еще напишу, почему же он оказался такой важной вехой в истории развития математики в целом и теории множеств в частности.
Именно благодаря этому парадоксу была сформулирована аксиоматическая теория множеств.
Аксиоматик на сегодняшний день существует несколько. Самой распространенной системой аксиом для теории множеств является система аксиом Цермело — Френкеля (ZF), к которой кроме Эрнста Цермело и Адольфа Френкеля приложил руку и норвежский математик Торальф Сколем.

Парадокс был открыт Расселом по одним источникам в 1902, по другим — в 1903 году. Позднее независимо от него этот же парадокс открыл Эрнст Цермело.
Именно этот парадокс наглядно продемонстрировал противоречивость наивной теории множеств Георга Кантора.

Его формулировка никого из нас не удивит. Разбиравшийся здесь парадокс брадобрея — лишь его альтернативная интерпретация.

Парадокс Рассела
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?
Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом Kпротиворечие.
Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом Kвновь противоречие.

Как мы видим, если бы речь шла о брадобрее, а не о математических понятиях, мы бы сказали, что здесь у нас слова, принадлежащие разным уровням иерархии: "множество всех множеств" — это слово метаязыка, в то время как "множество" слово предметного языка.
Если мы уберем путаницу в терминах, парадокс исчезнет.
Всё бы хорошо, но в Mengenlehre Кантора множество множеств тоже является множеством и такие рассуждения попросту неприменимы!

О том, каким ударом по самым основам математики стал этот парадокс, я расскажу позже.

Для его преодоления было предложено несколько способов.

Первым способом стал поиск непротиворечивой формализации теории множеств, которая определяла бы какие именно операции применимы к множествам; какие являются легитимными, а какие таковыми не являются. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

В процессе поиска такой формализации теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций.
Однако ирония судьбы состоит в том, что ни для одной из них нельзя найти доказательства непротиворечивости.
По теореме Гёделя о неполноте, такого доказательства просто не существует!

Совершенно иной реакцией на открытие парадокса Рассела явилось новое течение в математике (и философии) — интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра.
Интуиционизм — это такая система идей и методов, которая признает только «интуитивно убедительные» построения. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением.
Интуиционизм отверг напрочь теоретико-множественный подход к определению математических понятий, потому что объект "множество" относится к объектам с "интуитивно не ясной природой".
Например, что такое натуральное число — интуитивно ясно. Кроме того мы можем мысленно представить себе определенное количество предметов, соответствующее заданному натуральному числу. А вот термину "множество" не соответствует никакой мысленной конструкции. Значит, множество не имеет права на существование!
Из моего рассказа может показаться, что интуиционизм просто убог, однако это не так.
Интуиционисты добились определенных успехов в разных разделах математики, таких, например, как функциональный анализ, дифференциальные уравнения и др.
Кроме того, была разработана специальная интуиционистская логика, законы которой отличались от классической. То есть в некоторых областях математики интуиционизм оказался вполне жизнеспособным.

Однако я сейчас делаю упор на "психологический аспект". Парадоксом Рассела математике был нанесен удар такой силы, что многим ученым было гораздо легче "вычеркнуть из жизни" огромные разделы этой науки, полностью отказать им в праве на существование, чем смириться с возможностью подобных парадоксов.
Почему такой невинный парадокс вызвал целую бурю, попробую написать в следующий раз.

@темы: Люди, Парадоксы, Теория множеств, Amicus Plato

18:57 

Наивная теория множеств Георга Кантора

Amicus Plato
Простыми словами
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) — один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне ))

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств.

Понятие множества сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка в математике или информация в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое».

Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества. Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности — тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.

Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" — учение о множествах.

Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.

Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.

Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.

Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):

Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.

@темы: Люди, Теория множеств, Amicus Plato

17:49 

Аксиомы Пеано

Amicus Plato
Простыми словами
Никак не дойду до описания парадокса Рассела, хотя, казалось бы, все предпосылки уже налицо.
Но всё-таки придется сначала чуть-чуть остановиться на истории. Иначе не будет очевидным весь драматизм ситуации: парадокс Рассела у многих ученых выбил твердую почву из-под ног. Некоторые после этого так и не смогли оправиться от депрессии...

***
Все мы привыкли со школьных лет пользоваться привычными математическими обозначениями и нотациями. И нам кажется (мне, во всяком случае, казалось) что так было если не "всегда", то очень и очень долго.
Однако же нет!
Вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована (что уж говорить про другие разделы математики!).
Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, определяющих натуральный ряд.
Только с помощью аксиом Пеано стало возможным формализовать арифметику.
И только после их введения у математиков появился инструмент для доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также возможность использовать целые числа для построения чисел рациональных и вещественных.

Джузеппе Пеано

Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Конечно же, существует и их формулировка в математическом виде, но здесь я ее приводить не буду.

*На самом деле когда-то очень давно меня сразило теоретико-множественное определение натуральных чисел: определение через ординальные числа.
Когда я впервые его прочитала, мне казалось, что просто мир переворачивается.... Казалось бы самое простое, что есть в математике, имеет такое двойное дно, такие бездонные глубины, что просто руки опускаются, и сознание отказывается с этим хоть как-то мириться.
Если интересно, то очень кратко можно посмотреть в Википедии:

Здесь я пишу про аксиоматику Пеано с тем чтобы плавно перейти к наивной теории множеств Георга Кантора, чтобы затем написать как с ней разделался Бертран Рассел. Человек с абсолютно холодным сердцем и очень живым умом.

@темы: Люди, Натуральные числа, Amicus Plato

12:37 

И еще одно поздравление)

Amicus Plato
Простыми словами
(с) Википедия


@темы: Поздравления

12:17 

Предновогоднее

Amicus Plato
Простыми словами
Поздравляю всех участников и членов сообщества с наступающим Новым годом!
Хочу искренне и от всей души поблагодарить всех вас за проявленный интерес и очень интересные дискуссии!

Желаю всем здоровья в Новом году, а также творческих, учебных и научных успехов!
В качестве небольшого презента позволю себе привести цитату. Может, некоторым пригодится блеснуть эрудицией при случае и назвать число Пи до двадцатого знака )))

Фундаментальные константы нашего мира, о природе которых мы говорили, известны не только физикам, но и лирикам. Так, иррациональное число π, равное 3,14159265358979323846.., вдохновило выдающегося польского поэта ХХ века, лауреата Нобелевской премии 1996 года Виславу Шимборскую на создание стихотворения "Число Пи", цитатой из которого мы закончим эти заметки:

π - число, достойное восхищения:
Три запятая один четыре один.
Каждая цифра дает ощущение
начала - пять девять два,
ведь до конца не дойти никогда.
Взглядом всех цифр не объять -
шесть пять три пять.
Арифметических действий -
восемь девять -
уже не хватает, и трудно поверить -
семь девять -
что не отделаться - три два три
восемь -
ни уравнением, которого нет,
ни шутливым сравнением -
оных не счесть.
Двинемся дальше: четыре шесть...

(Перевод с польского)
Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ.


Цитата взята отсюда: oceanography.narod.ru/uchoba/biblioteka/nauch_p...
Статья называется Мировые константы "Пи" и "е" в основных законах физики и физиологии
Рекомендую почитать. Я узнала для себя много нового )))

А от себя расскажу наверное всем известный способ запоминания числа е:
(вот, я его разделила пробелами):
e = 2,7 1828 1828 45 90 45 ...
2,7 придется запомнить просто так,
затем идут два раза подряд годы рождения Льва Толстого: 1828,
затем углы прямоугольного равнобедренного треугольника: 45, 90, 45.
...
(дальше не знаю)))

@темы: Поздравления, Amicus Plato

10:57 

Amicus Plato
Простыми словами
Задам сейчас вопрос, который с одной стороны очень прост, а с другой, мне кажется, что чего-то я не понимаю, что-то от меня решительно ускользает.

Вот представьте себе числовую ось. Мы выбрали произвольно шкалу, единицы на этой шкале и прекрасно ими пользуемся. У нас есть числа целые, рациональные и иррациональные. Все они вместе всюду плотны.
А вот теперь (всё ведь в наших руках) мы хотим задать другую шкалу.
В ней есть всё тот же ноль, а за единицу я хочу взять П (иррационально число пи). То есть единица шкалы — это у меня отношение половины длины окружности к ее радиусу. По-моему всё корректно.
Но однако тогда получается, что все числа целые в нашей нынешней шкале, станут иррациональными! 1, 2, 3, .... — всё это в новой системе счисления бесконечные десятичные дроби.
Тогда если длина окружности выражается формулой: L=2ПR, то отсюда получается вот что:
П — целое число. В наших координатах П=1.
2 — иррациональное число.
Тогда L и R ничего не остается как тоже быть иррациональными.
Получается мы НИКОГДА не сможем построить окружность с целым радиусом?

А если мы хотим что-то разделить пополам (в обыденном смысле этого слова), нам вновь придется делить на иррациональное число?
Вот, предположим, есть у нас два яблока.
Одно яблоко — это 1 по-новому или П по-старому.
Два яблока — это 2 по-новому или (Сколько???) по старому? 2П? То есть 1+1=2. А по-старому? П+П=?П? А с точки зрения умножения как это будет?

И это только начало всех проблем.


Неужели действительно всё так сложно?

@темы: Amicus Plato, Вопросы, Головоломки и занимательные задачи

20:00 

Информационное

Amicus Plato
Простыми словами
В комментариях к предыдущей записи:
organon.diary.ru/?comments&postid=38921431
Trotil выложил очень интересный рассказ!
Настоятельно рекомендую! )))

Trotil, еще раз — большое спасибо!

@темы: Техническая запись

22:40 

Про счетную бесконечность

Amicus Plato
Простыми словами
Читаю сейчас книгу "Кочерга Витгенштейна. История десятиминутного спора между двумя великими философами".
И как раз вычитала пассаж в тему! В тему парадоксов теории множеств, связанных с бесконечностью.
Сейчас процитирую.
...
По Кантору два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному.
Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3, 4, 5, ... равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20, ..., потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10, и т.д.
Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности.
Оказалось, однако, что и этот подход порождает парадоксы. Один из них выявил Бертран Рассел, приводивший в качестве примера роман Лоренса Стерна "Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена". В романе Шенди описывает первые два дня своей жизни, на что у него уходит два года. Он беспокоится, что с такими темпами никогда не закончит автобиографию.
Рассел утверждал, что если применить здесь подход Кантора, то, как ни странно, получится, что если Тристрам Шенди будет жить вечно, то в летописи его жизни не будет упущен ни один день.

Если начиная со дня, когда ему исполнилось двадцать, Шенди в течение двух лет трудился над описанием первых двух дней своей жизни, то, когда ему исполнится 22, он приступит к описанию следующих двух дней; когда исполнится 24 — следующих двух дней, и так далее. Разумеется, отставание по времени будет всё больше и больше; но отношение один к одному сохранится: каждому дню его жизни будет соответствовать один период его автобиографической деятельности:

20 — 21 год — — — — дни 1 — 2
22 — 23 года — — —- дни 3 — 4
24 — 25 лет — — — — дни 5 — 6
...
Получается, бессмертный Тристрам Шенди способен описать все до единого дни своей жизни.

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Цитаты

20:12 

Информационное

Amicus Plato
Простыми словами
Всех желающих приглашаю к дискуссии.
В двух словах тема ее такова:
"Встречаются ли в природе бесконечные множества или это чисто математическая абстракция?"
Находится она здесь:
organon.diary.ru/?comments&postid=38836891

@темы: Техническая запись

13:58 

Парадокс брадобрея

Amicus Plato
Простыми словами
Этот парадокс уже является переформулированным парадоксом Рассела о множествах.
Его формулировка, вроде бы, тоже принадлежит Расселу.

Наверняка этот парадокс, известный не меньше парадокса лжеца, знаком многим.
Вот довольно цветистая его формулировка (в литературе чаще можно встретить этот парадокс в виде одного предложения).

Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного брадобрея.
Пусть также нам известно, что в этом поселке есть закон, согласно которому брадобрей бреет тех и только тех, кто не бреется сам.
Спрашивается: бреет ли брадобрей самого себя?
Оказывается, что ни "да", ни "нет" ответить нельзя. Если он бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно закону, он не должен брить. Значит, брадобрей себя брить не может.
Если же он не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.

Получается так называемая "петля": если брадобрей бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение.
Выход из сложившейся ситуации брадобрей для себя найти не может...

Объяснение (развенчание)
Оно, как всегда, весьма прозаично.
Здесь мы столкнулись с петлей, которая замкнулась на разных уровнях иерархии, приняв их за один.
Что это означает?
Это означает, что при формулировке закона поселка: правила, которым должен руководствоваться брадобрей, — не были учтены иерархические различия. Закон должен относиться ко всем жителям поселка, кроме самого брадобрея, так как брадобрей в данном случае относится к другой иерархической категории.

Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться брадобрей, то парадокс говорит только о том, что такого брадобрея быть не может.

Вот еще два "популярных" варианта парадокса Рассела:

Варианты

@темы: Amicus Plato, Парадоксы, Теория множеств

15:01 

Отображение квадрата на его сторону

Amicus Plato
Простыми словами
Напомню вопрос.
Он заключался в том, имеют ли квадрат и его сторона равные мощности. То есть, равно ли в них "количество точек"? Сравнимы ли типы бесконечности для обозначения количества точек отрезка и количества точек двумерной фигуры?
На первый взгляд, ответ очевиден: "конечно же нет!" Ведь в квадрате помещается бесконечное число отрезков длиной в его сторону!

Однако, чтобы доказать, что это не так, что множества эти "соизмеримы", и более того, равномощны, ("имеют одинаковое количество точек"), нам надо всего лишь задать взаимно однозначное соответствие из точек квадрата в точки его стороны (и обратно).

Оговорюсь сразу: я не могу найти, где я это вычитала, и поэтому не помню в точности, как там выглядит "предельный переход" — отображение точек, которые лежат на сторонах квадрата. С внутренней областью всё ясно. А насчет границы: это уже мой личный изворот.

Итак, доказательство.
Пусть у нас есть произвольный квадрат. Примем его сторону за единицу. Тогда в координатной плоскости каждая его точка будет иметь координаты (х,у) вида:
x = 0,x1x2x3...........
y = 0,y1y2y3...........


То есть, х и у будут представлять собой конечные или бесконечные десятичные дроби в диапазоне от 0 до 1.
Теперь обратимся к точкам на границе.
В одном из комментариев в этом сообществе я уже показывала, что когда речь идет от числах вещественных, две записи единицы полностью эквивалентны:
1,0000000000000000... = 0,999999999999999999999...
Поэтому точки на границах квадрата мы будем представлять с соответствующей координатой (у для верхней стороны и х — для правой) равной 0,9999999....

Тогда отображение ЛЮБОЙ точки квадрата на отрезок оси от 0 до 1 можно представить в следующем виде:

z = 0,x1y1x2y2x3y3............

То есть всего навсего зададим координаты точки зэт на отрезке [0;1], чередуя цифры записи икса и игрека.
Таким образом, КАЖДАЯ точка этого квадрата нашла свое уникальное место на его стороне.
Обратно, по каждой точке стороны можно единственным образом восстановить точку квадрата: цифры, стоящие на нечетных местах после запятой, образуют мантиссу (дробную часть) координаты х (абсциссы), а цифры, стоящие на местах четных, образуют мантиссу ординаты — у.

Сумбурно несколько вышло.
Поэтому, если что, — говорите сразу.

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Теория множеств

21:42 

Amicus Plato
Простыми словами
Начинаю наполнять раздел ссылок.
Буду по мере поступления (нахождения) чего-то интересного складывать всё туда.

Теперь в меню сообщества (слева) под кнопкой "Выход" появилась кнопка "Ссылки"
Первая ссылка на книгу И. В. Ященко "Парадоксы теории множеств".
Мне она показалась очень интересной!

Поскребу по сусекам и, думаю, в ближайшее время добавлю туда еще.
Постараюсь каждый раз извещать об этом и отдельными записями.

@темы: Техническая запись

16:26 

Amicus Plato
Простыми словами
Прежде чем ответить на вопрос, можно ли однозначно отобразить квадрат на его сторону, приведу вольные выдержки из работы Павла Флоренского "Обратная перспектива", где я впервые и прочитала об этой проблеме.
Кстати, у Флоренского решения не дается.
Решение я вычитала через несколько лет совсем в другом месте. Оно меня восхитило своей простотой.
Но однако, ГДЕ я об этом читала, — хоть убейте не помню. А сама это самое "простое решение" помню весьма приблизительно...
Поэтому пока только лирика.
Советую от всей души: прочитайте!
Речь вначале идет, собственно, о живописи.

П. Флоренский. Обратная перспектива.

@темы: Amicus Plato, Цитаты

13:06 

Amicus Plato
Простыми словами
В каждой шутке есть доля шутки.

Знаете, что мне подумалось тут.
Просто поговорили с  Sensile о разном восприятии простых вроде бы обозначений...
И я вспомнила то, что меня не то что бы "мучает", но хотелось бы знать, есть ли тут хоть какая-то связь.

Почему ребра куба (ну, любого параллелепипеда) называются ребрами?

Не потому ли что их 12?
(Столько же сколько пар ребер у человека?)
А?

@темы: ))), Amicus Plato, Вопросы

11:11 

Amicus Plato
Простыми словами
Задача про Деда Мороза открыла нам поразительные горизонты и перспективы.

Она показала, что операции с бесконечными множествами нужно производить не то что даже "аккуратно", но с большим пиететом.

И первое, что всегда надо делать, — выяснить мощности множеств, которыми мы собираемся оперировать.

"Мощность" для бесконечного множества равнозначна "числу элементов" для множества конечного.
Мощности множеств определяются специальными числами — "кардиналами".
Самое "маленькое" – это счетное множество, такое, в котором все элементы можно пронумеровать. Скажем, множество всех натуральных чисел. Его мощность кардинальным числом обозначают אо – алеф-ноль!
Все действительные числа образуют множество мощности א – алеф. Мощность א называется мощностью континуума. Причем, есть такая теорема Кантора, из которой следует, что для каждого кардинала, существует кардинал больше него. То есть, бесконечности все уплотняются, и нет этому конца. Бесконечность одних множеств вкладывается в бесконечность других.

Два бесконечных множества равномощны, если существует взаимно однозначное отображение из одного множества в другое.

Например множества всех натуральных чисел и всех положительных четных чисел равномощны.
Отображение, устанавливающее связь между ними: n —> 2n
То есть, на первый взгляд, четных чисел вдвое меньше.
Оказывается, это не так.
Чисел, делящихся на 3, на 5, на 10 и даже на сто миллионов в совокупности ровно столько же, сколько и всех натуральных чисел вместе.
Это не парадокс. Это факт.

А теперь внимание, вопрос:

Как вы думаете, квадрат и сторона квадрата имеют одинаковую мощность?
То есть в них одинаковое "количество точек"???

@темы: Amicus Plato, Бесконечность, Теория множеств

19:21 

Развенчание парадокса Греллинга

Amicus Plato
Простыми словами
Сначала попробуем формально записать то, что в прошлой записи обозначалось лишь неформальным описанием.

Введем обозначения: прилагательные обозначим маленькими буквами: р, g, ..., а выражаемые ими свойства обозначим, соответственно, большими буквами: Р, G, ...
Предложение "Прилагательное р применимо к себе" символически запишется в форме Р(р), а предложение "Прилагательное р не применимо к себе" запишется в форме не-Р(р).

Если относительно некоторого прилагательного р установлено не-Р(p), то по принятому определению, прилагательное р будет гетерологическим.
Обозначив свойство "быть гетерологическим" через G получим следующее формальное определение гетерологичности:

ДЛЯ_ВСЕХ p, таких, что выполняется G(p) следует не-P(p) (*)

(Здесь мне сильно не хватает кванторов и стрелочек)

Это общее определение. Теперь подставим в него прилагательное "гетерологический".
Обозначим его буквой g.
Тогда при р=g из условия (*) получим противоречие: для g выполняются G(g), и не-G(g) вместе. То есть g являясь гетерологическим одновременно им же и не является!

Парадокс этот снимается тем же самым: различением предметного языка и метаязыка.
Предполагается, что первоначально мы рассматривали только прилагательные некоторого предметного языка, которые мы и разделили (без пересечения) на аутологические и гетерологические; прилагательное же "гетерологический" появилось только при описании этой классификации и, значит, относится к метаязыку.
Поэтому в условии (*) квантор общности: "ДЛЯ_ВСЕХ", — имел смысл "для всех прилагательных предметного языка" и, значит, наша подстановка р=g не была правомерной.

@темы: Amicus Plato, Парадоксы

18:32 

Парадокс Греллинга, двоюродный брат парадокса Берри-Ришара

Amicus Plato
Простыми словами
Этот парадокс, вполне возможно, при поверхностном взгляде покажется парадоксом лингвистическим. Или, может, семантическим. Однако же на мой взгляд, он очень и очень близко подводит нас к парадоксу Рассела (речь о котором еще впереди).

Парадокс был сформулирован в 1908 году двумя математиками: Куртом Греллингом (1886-1941) и Леонардом Нельсоном (1882-1927).

Перед тем как изложить сам парадокс, дадим два определения. Или, точнее, просто разобьем все имена прилагательные на два класса по некоторому признаку.

Аутологические и гетерологические прилагательные

Некоторые прилагательные, обладают тем самым свойством, которое они называют. Некоторые, но, естественно, далеко не все. Сейчас я очень надолго задумалась над примерами, и ничего хорошего придумать так и не смогла. Поэтому потчую вас примерами найденными:
1) прилагательное «русское» само является русским,
2) «многосложное» — само многосложное,
3) «шестислоговое» само имеет шесть слогов.
Такие слова, относящиеся к самим себе, называются самозначными, или аутологическими.

Однако в подавляющем большинстве прилагательные не обладают свойствами, которые они называют.
1) «Английское» не является английским (оно тоже русское))),
2) «однослоговое» — не состоит из одного слога,
3) "новое" далеко не ново.
И вот здесь смело могу сказать: "и т.д." — примеров таких прилагательных можно придумать сотни.
Прилагательное "красный" — не красно; "длинный" — не длинно, "короткий" — не очень-то коротко (особенно по сравнению с длинным)...
Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются инозначными, или гетерологическими.
Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, неприложимые к словам, будут гетерологическими.

Это разделение прилагательных на две группы кажется ясным и не вызывает возражений.

Однако именно здесь мы заметим, что слово "гетерологический" тоже является прилагательным.
Парадокс возникает, как только задается вопрос: к какой из двух групп мы отнесем это слово?
Если оно аутологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим.

Оказалось, что парадокс Греллига был известен еще в средние века как антиномия выражения, не называющего самого себя.
Но, не найдя своего разрешения, антиномия была благополучно забыта на полтысячелетия.

@темы: Amicus Plato, Парадоксы

13:53 

Логические парадоксы. Парадокс осужденного

Amicus Plato
Простыми словами
Да-да! Опять мы говорим про осужденных!
Поиски информации о парадоксе Ришара — брате-близнеце парадокса Берри, дали неожиданные результаты.
Я нашла Парадокс осужденного.
Привожу полностью сам парадокс и его развенчание. С ним я раньше не сталкивалась вообще!
Поразительная вещь.

Парадокс осужденного

Начнем с наиболее распространенной формулировки данного парадокса:

Приговоренного бросили в тюрьму в субботу. "Тебя повесят в полдень", - сказал ему судья, - "в один из семи дней на следующей неделе. Но когда именно тебя повесят, ты узнаешь лишь утром в день казни". Судья славился тем, что всегда держал свое слово.

читать дальше

Взято отсюда:
absolute.times.lv/psm/paradoxes/paralog.html

UPD. Много думала )))
Развенчание, как мне кажется, из рук вон плохо! То есть, может, оно и хорошо само по себе, но к данному парадоксу слабо применимо!
Единственное, что ДЕЙСТВИТЕЛЬНО СЛЕДУЕТ из рассуждений адвоката: так это то, что осужденный не доживет до пятницы.
Однако же никто не помешает известить его утром понедельника.
В таких вещах просто-напросто нельзя инвертировать время (в общем случае) или последовательность действий (как в случае с яйцами-сюрпризами).
Хотя... Вот с яйцами... Может нет? А?
Насчет же ПВО я вообще слабо представляю, поскольку мы из области дискретного уже попадаем в область континуальных событий... Там-то как это работает?
запись создана: 07.12.2007 в 10:59

@темы: Amicus Plato, Парадоксы

09:53 

А вы говорите: "теорема Ферма, теорема Ферма...."

Amicus Plato
Простыми словами
Это просьба сугубо необязательная.
Просто ВДРУГ кто-то что-то знает на этот счет.
Расскажите пожалуйста, есть ли ДОСТУПНЫЙ ДЛЯ ПОНИМАНИЯ способ решать линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными?
С общим решением у меня вопросов нет )
Меня интересует логика в нахождении частного решения. Ибо от меня она ускользает.

@темы: Вопросы

12:05 

Запись более чем годичной давности

Amicus Plato
Простыми словами
"Поднимаю" одну свою запись, а вернее копирую ее заново.
Круг читателей сообщества за этот год претерпел значительные изменения, а задача эта уж очень мне нравится!
Надеюсь понравится она и вновь прибывшим читателям.
Остальным же (тем, кто уже в курсе) будет надеюсь не слишком назойливым напоминанием, о том, как удивителен мир вокруг ))

**************************************************************

Дискуссия по этому поводу здесь:
www.diary.ru/~Organon/?comments&postid=18918473
Там же и решение, но оно, я думаю, затруднений и так не вызовет!

@темы: Amicus Plato, Поп-математика

Поп-математика для взрослых детей

главная