• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: Amicus Plato (список заголовков)
11:14 

А вот еще по поводу...

Amicus Plato
Простыми словами
...четности и нечетности!
Поговорила с Fiona-Eva и поняла, что на эту тему еще кое-что можно сказать.
Древние греки с большим пиететом относились к числам.
Пифагор обладал вообще экстремальным взглядом на бытие, и говорил, что "Все вещи суть числа".
Но Пифагора не хочу упоминать всуе. Про него надо писать отдельно и много.
А пока расскажу про четность и нечетность в понимании Платона.
Даже не сама расскажу. Вот цитата из А.Ф. Лосева:

Четность числа, предполагающая его разделение на равные части, и нечетность числа, выражающая полную невозможность такого распадения, понимались Платоном чрезвычайно конкретно и красочно и уже по одному этому имеют ближайшее отношение к эстетике. Так, олимпийским богам подобает нечет, подземные же боги характеризуются чётом. Но это касается не только богов, но и вообще всего существующего, хотя арифметическое понятие чёта и нечета – совершенно чистое, самостоятельное и не зависит от тех вещей, к которым оно применяется, будучи вполне универсальным.

@темы: Люди, Натуральные числа, Amicus Plato

20:48 

Это не флуд )))

Amicus Plato
Простыми словами
Дорогие читатели!
"Дорогие" — это не просто оборот речи: вы мне все на самом деле очень дороги!
Это я к чему: к тому что двое ПыЧей уже нас покинули.
Ну, одно дело, если они подписались сгоряча, попав под некоторый искусственно созданный ажиотаж ))))
А другое, — если что-то и в самом деле косо.
Так вот, если замечаете большие косяки — пожалуйста, скажите сначала о них! ОК?
Чтоб знать, где оно, — наше светлое будущее ))))

@темы: Техническая запись

13:41 

Числа Фибоначчи и Золотое сечение.

Amicus Plato
Простыми словами
Постараюсь делать записи максимально короткими.
Помните, как мы получили из приближенных вычислений золотого сечения числа Фибоначчи?
Теперь стало ясно, что числа Фибоначчи и золотая пропорция взаимосвязаны очень тесно. И корни этой связи — не в математике, а в самой природе.
Вернемся к итерационному процессу вычисления φ.

эти картинки уже были раньше

А теперь посмотрим, каким же именно образом отношение соседних чисел Фибоначчи приближает φ.
читать дальше

@темы: Amicus Plato, Золотое сечение

13:33 

Числа Фибоначчи.

Amicus Plato
Простыми словами
На чем же мы остановились в прошлый раз?
На том, что нехитрый закон размножения кроликов описывается числовой последовательностью, которую открыл Фибоначчи.
Каждый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих.

Если обобщить сказанное про кроликов в нескольких словах, получим, что каждое следующее поколение кроликов (n-е число Фибоначчи) состоит из суммы уже живущих кроликов (n-1-е число Фибоначчи) и вновь родившихся (а родилось их столько, сколько было зрелых пар, то есть ровно n-2-е число Фибоначчи.

Казалось бы, очень узкая прикладная задача...
Но, читать дальше

Вот довольно условный "подсолнух" с четко прослеживающимися спиралями по часовой и против часовой стрелки.
читать дальше

А вот математически смоделированный филлотаксис (помню, что у всех картинок есть авторы, за что им отдельное спасибо!):
читать дальше

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

20:18 

Я в небольшом затруднении...

Amicus Plato
Простыми словами
Скажите, что делать.

Пишу про Фибоначчи — никто не комментирует (а тема очень обширна и освоена еще очень мало). Вполне ведь возможно, что никто и не читает...

Но зато много просьб (две пока))) рассказать о других вещах.
Понятно, что совместить всё не удастся.

То ли бросать Фибоначчи, раз он никому не интересен, и начинать заниматься Алисой и апориями Зенона, то ли продолжать начатое, отставив просьбы на загоризонтное "потом".
Я, честно говоря, и правда не знаю, что делать.
Как скажете, так и будет.
)))

@темы: Вопросы, Техническая запись

12:41 

Продолжаю про Фибоначчи.

Amicus Plato
Простыми словами
Вот и он, собственной персоной, Леонардо из Пизы, сын Боначчи.


Он был величайшим математиком своего времени.
Самый знаменитый его труд называется "Kнига абака".
Большая часть материала в этой книге излагалась в виде практических задач с прилагаемыми решениями.
В одной статье я прочитала, что именно по этой книге европейцы познакомились с арабскими цифрами.

Так вот, в "Книге абака" была помещена следующая задача:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Попытаемся посчитать.

Изначально у нас 1 пара. Считаем ее новорожденной.

Спустя месяц она по-прежнему будет одна.
Т.е. последовательность начинается двумя единицами: 1, 1, ...

На третий месяц эта пара даст первое потомство и пары станет 2.
1, 1, 2, ...

На четвертый месяц из этих двух пар даст потомство только одна — более взрослая, и всего пар станет 3 (3 = 1 + 2).
1, 1, 2, 3, ...

На пятый месяц взрослых пар из трех окажется две. Обе они дадут потомство,и всего пар окажется 5 (5 = 2 + 3).
1, 1, 2, 3, 5, ...

Нетрудно продолжить эти рассуждения дальше.
Каждый последующий член этого ряда чисел (число пар кроликов в следующем месяце) равен сумме двух предыдущих членов.
Полученная последовательность и называется последовательностью Фибоначчи, или "кроличьей" последовательностью.

читать дальше

Первые члены последовательности таковы:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

О других свойствах этой замечательной последовательности расскажу несколько позже.

@темы: Золотое сечение, Люди, Amicus Plato

15:09 

Золотое сечение III

Amicus Plato
Простыми словами
Теперь перейдем к более нетривиальным результатам, связанным с золотым сечением.
Помните уравнение, из которого нами было получено значение φ?
φ2 - φ -1 = 0

В следующей формуле с ним сделаны элементарные преобразования. φ и единица перенесены в правую сторону, и затем, обе части уравнения разделены на φ:

φ = 1 +1/φ

Далее следуем за объяснениями в тексте картинки.
читать дальше
Названы эти числа в честь итальянского купца Леонардо из Пизы (1180-1240), который более известен под прозвищем Фибоначчи, что означает ни больше ни меньше: что?
О самом Фибоначчи и о истории возникновения этого ряда чисел — в следующий раз.

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

11:24 

Спираль Архимеда

Amicus Plato
Простыми словами
Существует несколько видов спиралей, совсем не похожих друг на друга. Некоторые из них и на спирали-то непохожи.
Но я хочу рассказать только об одном виде.
О спирали Архимеда.
Она и является спиралью в "обыденном" понимании этого слова.
А получается она очень интересным образом.
Представим себе луч. Он закреплен на плоскости в своем начале: точке О.
И этот луч начинает совершать вращение вокруг этой точки с постоянной угловой скоростью. Как стрелка на циферблате.
Только в нашем случае циферблат и стрелка бесконечны, и стрелка движется равномерно, без скачков.
И вот представим, что из этой самой точки О вдоль этого луча начинает двигаться "самописец". Нечто в форме точки, оставляющее след на плоскости. Относительно луча эта точка движется равномерно прямолинейно. Но так как сам луч вращается, ее траектория относительно плоскости будет не так проста.
читать дальше
А почему я заговорила об этой спирали именно сейчас?
Да потому что, каждая четвертушка ее витка (если двигаться от центра к периферии) вписывается в квадрат, надстроенный на стороне золотого прямоугольника.

читать дальше

И тем самым каждый полный оборот луча рисует четыре золотых прямоугольника!
Можете себе представить?

читать дальше

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

09:57 

Котёнок

Amicus Plato
Простыми словами
Хочу тоже отметиться задачей.
Но задача моя будет совсем иного рода — не "на смекалку". Решение она имеет элементарное, — дело тут совсем не в этом.
Моя цель — показать, как парадоксален мир, в котором мы живём, к которому мы привыкли, и о котором думаем иногда со скукой.
Давайте открывать глаза на такие мелочи! Себе и друг другу.

Задача. Представьте себе, что мы обвязали веревкой земной шар по экватору. Обвязали очень туго, так что между землей и веревкой нет никакого зазора. (Рельефом пренебрегаем))).
А теперь представьте, что мы взяли другой кусочек веревки длиной 1 метр (с запасом на узелки), разрезали большую веревку в любом месте экватора, и вставили туда этот метровый отрезок. То есть, увеличили длину веревки на один метр.
Спрашивается: Пройдет ли котенок в зазор, образовавшийся между земной поверхностью и веревкой.

(Задача почерпнута в детстве из какого-то математического научпопа).

Еще раз повторяю — решение очень легкое. Дело не в нем, дело в ответе!

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Amicus Plato

14:03 

"Золотые" фигуры

Amicus Plato
Простыми словами
Если построить прямоугольник, стороны которого удовлетворяют золотой пропорции (такой прямоугольник, как нетрудно понять, и называется "золотым"), окажется, что он обладает очень интересными свойствами.
Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Если от второго пямоугольника поменьше вновь отрезать квадрат, опять получим золотой прямоугольник еще меньшего размера.
Этот процесс можно продолжать до бесконечности.
читать дальше

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

11:25 

Золотое сечение II

Amicus Plato
Простыми словами
Теперь немного математики.

Как писал в предисловии своей книги "Краткая история времени" Хокинг, каждая формула уменьшает потенциальную аудиторию книги вдвое.
Я помню об этом, но совсем без формул обойтись не смогу.
Будем же снисходительны!
читать дальше

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

11:55 

Золотое сечение I

Amicus Plato
Простыми словами
Решила писать маленькими партиями и без определенного плана. Потому что в очередной раз оказалось, что лучшее — враг хорошего, и попытки создать идеальный текст не доводят до добра.
Поэтому начну с лирики. Расскажу нематематическую часть.
(Историческую справку, может быть, дам позже).



Мы все различаем предметы окружающего мира по форме. Одни нам нравятся, другие — нет. И очень часто подсознательно мы считаем красивыми те формы, которые подчиняются Золотой пропорции. Это известно многие и многие века, но сейчас психологи, вооружившись достижениями современной науки, проводят всё новые и новые тесты и выясняют, что из всех предоставленных форм люди в ПОДАВЛЯЮЩЕМ большинстве выберут ту, в которой присутствуют пропорции Золотого сечения. Я читала потрясающие результаты: люди чувствуют себя гораздо увереннее в себе, надежнее, спокойнее, лучше во всех отношениях, когда смотрят на предметы с золотыми пропорциями.
И это диктуется не только соображениями "эстетики". В нашем подсознании где-то там глубоко имеются и соображения по "функциональной и структурной целесообразности". То есть любой объект должен всегда иметь наилучшее сложение из возможных, чтобы выполнять свои функции таким же наилучшим образом. Оказывается, Золотое сечение и является признаком этой самой целесообразности.
Почти ВСЁ в природе тем или иным образом несет в своей форме частички этого "золота".
Вот, смотрите (рисунки все взяты в Интернет — копирайт оттуда)

читать дальше

На рисунках присутствуют пока никак мною не объясненные обозначения.
Это будет темой следующей записи.

Кстати, Золотое сечение уже давно взято на вооружение создателями рекламы. Умный разработчик знает, что любой метод воздействия на подсознание хорош, а метод применения Золотой пропорции — очень действенен.
Когда я читала книги по Веб-дизайну, с удивлением узнала, что и баннеры в Интернете строятся с учетом Золотого сечения.
Да и, думаю, вся наружная реклама — тоже.

@темы: Amicus Plato, Золотое сечение

10:42 

Amicus Plato
Простыми словами
У меня вопрос к Чебуру и к другим физикам.

В школе, в девятом классе, я писала контрольную по физике. Там было, как всегда, много обязательных задач и одна дополнительная. Для особо одаренных. ))))
И задача эта была следующей:

Что будет если к экрану телевизора поднести магнит?

Я как ребенок подкованный в школьном курсе физики, написала, что электроны в электронно-лучевой трубке отклонятся от своего движения под воздействием поля, и, соответственно, изображение поменяет очертания.

Написала, значицца. Пришла домой. Взяла магнитищще. Включила НОВЕХОНЬКИЙ цветной телевизор (купленный ценой невероятных душевных усилий и материальных затрат), и поднесла магнит к экрану.
Сразу говорю: красота была неописуемая.
Цветовые пятна на экране были фантастических и неземных оттенков.
Я завороженно водила магнитом с полчаса... вслед за рукой по экрану тянулся разноцветный радужный след. Можно было заверчивать спирали, рисовать узоры...
...
А потом...
Началось непредвиденное.
читать дальше

@темы: Вопросы, физика

22:39 

Мощность множества натуральных чисел

Amicus Plato
Простыми словами
Мой вопрос: каких же чисел больше: четных или нечетных — не вызвал большого ажиотажа )))
Отвечаю на него сама.
Начну с теории.
читать дальше

@темы: Теория множеств, Натуральные числа, Бесконечность, Amicus Plato

19:25 

Правила сообщества (техническое)

Amicus Plato
Простыми словами
Добро пожаловать в сообщество «Поп-математика для взрослых детей».

Сообщество организовано как Клуб Наивной Математики, и имеет популяризаторские, просветительские и развлекательные цели. Углубленного изучения ни одной из областей математики не предполагается.
На настоящий момент каждый желающий, независимо от возрастной, национальной, социальной и гендерной принадлежности, может вступить в сообщество, а также стать его постоянным читателем.
Вступивший автоматически принимает лицензионное соглашение правила сообщества.

Правила сообщества.

Записи должны быть одного из нижеперечисленных видов:

1. Записи по любому разделу математики, написанные СВОИМИ СЛОВАМИ, и в терминах как максимум школьной программы.
2. Четко сформулированные вопросы по любому разделу математики, теории информации и искусственного интеллекта, математическому моделированию и системному анализу.
3. Занимательные задачи и головоломки, а так же нетривиальные флэш-игры.
*Записи по физике не возбраняются, но оговариваются с модератором по у-мейл.

Не приветствуются:
1. Цитации чужих статей и ссылки на интернет-ресурсы (только в крайних случаях, когда это действительно продиктовано жизненной необходимостью).
2. Нематематический флуд.

Запрещается:
1. Несоблюдение правил сообщества.
2. Оскорбление участников, унижение их чести и достоинства.
3. Нарушение устава @diary.ru

Модератор оставляет за собой право на удаление постов и комментариев, нарушающих правила сообщества.

* Модератор, как человек деликатный, просит уважаемых действительных членов сообщества, а также членов-корреспондентов строго придерживаться правил, потому что удалять записи и комментарии к ним ему (модератору) не доставляет никакого удовольствия.

Будем же толерантны, вежливы, политкорректны, ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫ и ОТЗЫВЧИВЫ.

С уважением, Amicus Plato.

*Принимаются любые комментарии, возражения и дополнения к уставу.
Окончательный вариант будет вывешен в профиль.
** Спасибо Лямбде за помощь в составлении правил

@темы: Техническая запись

18:33 

Четные и нечетные числа

Amicus Plato
Простыми словами
Натуральные числа (продолжаем разговаривать о них) бывают четными и нечетными.
Только не говорите сразу, что это элементарно!
Это и вправду элементарно до тех пор, пока умопостигаемо. То есть пока наше воображение может легко представить то, о чем ему говорят.
Итак, четные числа — это числа, делящиеся на 2.
Их всегда можно представить в виде k = 2*n, где n — любое натуральное число.
Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2.
Каждое из них может быть записано как m = 2*n + 1.
Что это значит?
Это значит, что если у нас есть куча из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, etc.), мы ее можем смело разложить на две РАВНЫЕ кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Один предмет всегда будет лишним.
Любое четное число, большее двух, всегда можно разложить на сумму двух четных чисел или на сумму двух нечетных чисел.
То есть, само собой разумеется, что сумма двух четных числел — всегда четное число.
Но и сумма двух нечетных чисел — тоже четна.
Формально это записывается следующим образом.
Пусть есть два нечетных числа: m = 2*n + 1 и p = 2*r + 1.
Тогда

m + p = (2*n + 1) + (2*r + 1) = 2*n + 1 + 2*r + 1 = 2*(n+r) + 2 = 2 * (n+r+1)

Если мы обозначим натуральное число (n+r+1) через s, получим:

m + p = 2*s.

Это и означает, что суммой двух нечетных чисел всегда является число четное.
Аналогичным образом легко доказать, что сумма четного и нечетного числа — всегда число нечетное.

Чтобы проверить число на четность, необязательно делить его на два (особенно, если оно велико). Достаточно проверить последнюю его цифру.
Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 – четные, остальные, соответственно, – нечетные.

А теперь, внимание, вопрос: каких чисел больше в натуральном ряду: четных или нечетных?
Или даже сформулирую задачу иначе.
Каких чисел больше:
- четных;
- нечетных;
- делящихся на три;
- делящихся на пять;
- делящихся на сто;
- всех без разбора.
?
В ответ собираюсь написать о свойствах натурального ряда, но если кто-то хочет присоединиться — you are welcome!

@темы: Amicus Plato, Натуральные числа

17:43 

Цифры и Числа

Amicus Plato
Простыми словами
Небольшое лирическое отступление.
И да простят меня те, кто считает это само собой разумеющимся.
Я хочу рассказать о разнице между числами и цифрами. Это совсем не одно и то же.
Цифры — это знаки, строительный материал для чисел.
Как буквы алфавита являются строительным материалом для слов, неким семиотическим базисом языка, так и цифры представляют собой алфавит арифметики.
Поскольку мы пользуемся десятичной системой счисления, нам вполне достаточно десяти цифр. Вот они, герои и труженики:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Больше цифр (арабских))) НЕТ!
Для 16-ричной системы придуманы нотации чисел из цифр вперемешку с буквами, но нам это сейчас не интересно. Про римские цифры тоже можно будет поговорить отдельно.

12, 579, 12456789, 765,... — это уже числа.

Но как бывают однобуквенные слова, так и одна цифра может образовывать число.
Если я говорю, что на руке у меня пять пальцев, "5" здесь будет числом.
Если же я говорю, что в нотации числа 25 есть пятерка, то "5" будет уже цифрой.

@темы: Поп-математика, Amicus Plato

22:30 

Простые числа

Amicus Plato
Простыми словами
Похоже, о натуральных числах можно говорить бесконечно.
Сейчас я расскажу о «специфических» натуральных числах, называемых простыми.

Простое число – это натуральное число, большее единицы, которое имеет ровно два делителя. Оно делится на единицу и на само себя.

Именно вследствие такого жесткого определения сама единица не попадает в разряд простых чисел: у нее-то делитель только один: она сама.
Поэтому ряд простых чисел начинается с двойки.
Вот первые его члены:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

читать дальше

@темы: Натуральные числа, простые числа, Amicus Plato

11:07 

Натуральные числа

Amicus Plato
Простыми словами
Натуральные числа были открыты — я не говорю "придуманы", потому что вслед за многими математиками разделяю убеждение, что все математические идеи существуют сами по себе в Платоновском царстве идей.
Человеку дано лишь с помощью математической интуиции вдруг понять что-то, открыть то, что было всегда, — просто терпеливо дожидалось своего часа.
Так вот, натуральные числа были открыты в стародавние времена для счета предметов.
Для этой же цели они используются и сейчас. Если нам нужно что-то пронумеровать, мы пользуемся для этого множеством натуральных чисел N.
Что значит «пронумеровать»?
Это значит установить взаимнооднозначное соответствие между нумеруемыми предметами и натуральными числами.
Звучит, может, несколько устрашающе, но вот пример.
Пусть у нас есть шесть одинаковых овец. Чтобы их пронумеровать, их достаточно посчитать так, чтобы каждая овца была посчитана только один раз. Для этого откроем дверь загона, в котором они стоят, и будем выпускать их по одной. На каждую навесим ярлык с ее номером.
Первая вышедшая овца – 1
Вторая вышедшая овца – 2
Третья вышедшая овца – 3
Четвертая вышедшая овца – 4
Пятая вышедшая овца – 5
Шестая вышедшая овца – 6

Вот у нас и установлено взаимнооднозначное соответствие между множеством овец и подмножеством натуральных чисел.
Для тех, кто думает, что это детский сад, скажу, что всё просто только до тех пор, пока речь идет о конечных множествах. С бесконечными начнется куда более беспокойная жизнь.

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato

10:48 

Планы (маразматичка для себя)

Amicus Plato
Простыми словами
В мои ближайшие планы входит:
1. Продолжить описание натуральных чисел. Определить СКОЛЬКО же их всего, рассказать, что такое счетное множество, и попытаться обрисовать самый простой тип бесконечности.
2. Перейти к целым числам.
3. Вслед за этим заняться числами рациональными, а затем иррациональными, которые, в свою очередь, делятся на алгебраические и трансцендентные. Перейти к более сложному типу бесконечных множеств.
4. Описать, наконец, саму БЕСКОНЕЧНОСТЬ, — как она есть. Определить ПОТЕНЦИАЛЬНУЮ и АКТУАЛЬНУЮ бесконечность.
5. Заняться дедукцией, индукцией и другими -дукциями, если они найдутся ))).

Фух... Пока всё...

@темы: Техническая запись, планы

Поп-математика для взрослых детей

главная