• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи пользователя: Amicus Plato (список заголовков)
12:57 

Аксиоматика теории множеств XI. Аксиома множества-степени

Amicus Plato
Простыми словами
Предварю эту запись небольшой ремаркой. Даже двумя.
По поводу предыдущих двух аксиом авторы пишут вот что:
Несмотря на большую силу аксиомы III, уже при беглом взгляде на теорию Кантора видно, что аксиомы образования пары и множества-суммы не предоставляют нам достаточно возможностей в деле построения новых множеств, даже если исходить с самого начала из весьма сильных допущений относительно существования множеств. Действительно, предположим, что существуют бесконечные множества, множества того типа, что называются счетными, и даже счетное множество различных таких множеств. Даже при этих предположениях аксиомы II и III оказываются недостаточно сильными, чтобы обеспечить существование какого-либо более чем счетного множества, например, существование континуума.

Для Кантора орудием получения множеств более высокой мощности было (трансфинитное) умножение, в частности, возведение в степень. Мы увидим (дальше, не сейчас, А.Р.), что для этой цели достаточно множества-степени.

Аксиома IV. (Аксиома множества-степени). Для любого множества а существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности все подмножества а.

В символической записи:
(∀а)(∃у) (∀х) (хyxa)

Множество всех подмножеств множества а называется множеством-степенью (power-set) множества а и обозначается через Са.
хСа имеет место в том и только в том случае, если xa, т.е. если zxza.

Думаете, всё уже как надо? Ну-ну!)))

12:03 

Аксиоматика теории множеств X. Аксиома множества-суммы

Amicus Plato
Простыми словами
Постараюсь всё-таки излагать более кратко.
Попробую ограничиться аксиомами без пояснений, хотя это будет непросто! )))
Аксиомы эти меня просто потрясают.

Аксиома III (аксиома множества-суммы или объединения) Для любого множества а, содержащего по крайней мере один член, существует вполне определенное множество, членами которого являются в точности члены членов множества а.

Это множество называется множеством-суммой (sum-set) множества а, или объединением (union) членов а. Оно обозначается через «∪а».
Итак, х ∈ ∪а оказывается верным, в том и только в том случае, если найдется такое za (по крайней мере одно z), что х ∈ z.

Грубо говоря, если множество а содержит члены t, u, v, ..., то в ∪а содержатся как раз члены множеств t, u, v, ...; иногда мы будем поэтому обозначать множество-сумму множества а через t ∪ u ∪ v ∪ ... , где порядок членов не играет роли.

20:32 

Аксиоматика теории множеств IX. Аксиома пары

Amicus Plato
Простыми словами
Сейчас вы опять удивитесь.
То есть, я, например, сильно удивилась, когда поняла, что значит эта аксиома.
(Нумерация начинается с двойки, потому что первую аксиому я уже написала раньше. Это были аксиомы Ia и Ib — которые являли собой аксиому объемности в разных ипостасях)

Аксиома II (Аксиома пары) Для любых двух множеств a и b существует множество р, содержащее в точности a и b (т.е. a и b, и никаких других членов).

В символической записи:

(∀ a) (∀ b) {a ≠ b ⇒ (∃ p) (∀ x) [x ∈ p ≡ (x=a V x=b)]}

По аксиоме объемности все множества, содержащие в точности a и b, равны между собой; поэтому мы можем говорить о вполне определенном множестве с членами a и b. Оно называется парой a и b и обозначается: {a,b}, или, что то же самое, {b,a}.

И вот что пишут авторы дальше:
Между прочим, мы не можем доказать (даже с помощью дальнейших аксиом), что пара {a,b} отлична от a и b.
Я тут немножко не понимайт.

20:03 

Аксиоматика теории множеств VIII

Amicus Plato
Простыми словами
Итак, объединенными усилиями мы дошли до конструктивных аксиом общей теории множеств.

Сейчас я, вслед за Френкелем и Бар-Хиллелом, сформулирую пять аксиом, каждая из которых, предполагая существование некоторых множеств, обеспечивает существование другого множества.
В этом и состоит их конструктивность.
Ту часть теории множеств, которую можно вывести из этих аксиом, можно назвать общей теорией множеств.

Но прежде чем я их сформулирую, я расскажу, чем же они так хороши.
Они хороши своею незыблемой надежностью! Они хороши тем, что вселяют в нас уверенность! Потому что где правят эти аксиомы (и только они), — там нет места антиномиям, с которыми мы сражались весь прошлый год.

Аксиомы такого условного характера (пишут авторы) подходят для задачи исключения антиномий в силу того, что объем множеств, существование которых они обеспечивают, зависит от объема предварительно введенных множеств, а не от абсолютно исчерпывающих характеристик множеств, фигурирующих в антиномиях.

19:48 

Аксиоматика теории множеств VII.

Amicus Plato
Простыми словами
Есть у меня должок с прошлого года.
Мне нужно дойти до аксиомы выбора, чтобы потом посмотреть как она применяется при доказательстве парадокса Банаха-Тарского.
Аксиоматику теории множеств (Цермело-Френкеля) я излагаю по книжке Френкеля и Бар-Хиллела "Основания теории множеств".
Поскольку тема эта изрядно мною заброшена, сейчас сделаю индекс предыдущих записей, а потом продолжу.

Парадокс Банаха-Тарского
Парадокс Банаха-Тарского II

Персоналии:
Стефан Банах
Альфред Тарский и другие

Теория множеств:
Аксиоматика теории множеств
Аксиоматика теории множеств II
Аксиоматика теории множеств III. Отношение равенства
Аксиоматика теории множеств IV. Отношение равенства
Аксиоматика теории множеств V
Аксиоматика теории множеств VI

23:21 

Amicus Plato
Простыми словами
С удовольствием представляю книгу известного венгерского математика Альфреда Реньи "Письма о вероятности".
enlightment2005.narod.ru/arc/pascal_ar.pdf
Ссылка любезно предоставлена Nataly Red Rose.
Nataly, большое Вам спасибо!

Книга представляет собой вымышленные письма Блеза Паскаля Пьеру Ферма, причем, по утверждению знатоков, Реньи мастерски имитирует литературный стиль Паскаля.
В книге представлен, как написано в аннотации "беллетризированный рассказ об истоках теории вероятностей".
Полагаю, почитать это будет очень интересно!

Приятного прочтения! )))

@темы: Интересные ссылки, Люди, Публикации

18:20 

С Новым годом!!!

Amicus Plato
Простыми словами
Дорогие участники сообщества, дорогие постоянные читатели!
Позвольте мне от всей души поздравить вас с наступающим Новым годом!
Хочу сказать вам огромное спасибо за то, что мы с вами вместе!
Всем, кто читает, всем, кто находит время комментировать, всем кто сам делится интересными задачами и занимательными математическими историями!
Без вас ничего бы этого не было!
Давайте же и в Новом году радовать друг друга и делать жизнь ярче!
С уважением и любовью,
Amicus Plato

(немножко ностальгии)

1981. С Новым годом! Художник А. Исаков

@темы: ))), Amicus Plato

10:33 

Все побежали, и я побежал (с)

Amicus Plato
Простыми словами
Ну, то есть, я тогда тоже повешу кой-чего. )))

Это на самом деле Веселый Робот писал еще давно.
Но всё равно интересно)) Правда ведь? )))

Магия чисел


Еще картинки

17:30 

Любимые книжки))

Amicus Plato
Простыми словами
В дружественном сообществе «Не решается алгебра/высшая математика? ... ПОМОЖЕМ!» (l Shift->stop->end l) Robot написала о великолепном детском писателе В. Л. Лёвшине — авторе книг по математике для детей. До сих пор мне кажется, что ничего лучшего в этом жанре я не читала. Это изумительнейшие книжки, которые можно читать, перечитывать, заканчивать и тут же начинать сначала!
Думаю, те кто читал их, согласятся со мной во всём! А вот тем, кто не читал, — всем взрослым детям, — рекомендую настоятельно! Это чтение приносит истинное удовольствие!

***
Ко дню рождения В.А.Лёвшина
.
Вчера был день рождения Владимира Артуровича Лёвшина (20 декабря 1904- 11 августа 1984)- замечательного советского писателя, автора удивительных книг для детей о математике. Эти книги были моими любимыми детскими книгами. Да и не только моими.. Вот несколько отзывов, найденных в сети:
"Да я сам в 67 году по ней (Речь идет о "Путешествии по Карликании и Аль-Джебре") любви к математике учился. Можно сказать, тьму народу она жизнь искалечила,;), направив по тернистому пути математика.;)".
"Эти книжки можно сказать, определили мое будущее - математика форевер!:)Первый раз читала его книги классе в четвертом, наверное... Потом каждый год брала-перечитывала - как появлялись новые программные знания. Жалко, что сейчас таких книжек почти не пишут..."
"Советский Союз был великой страной. Там писали, печатали, и зачитывали до дыр такие книги. Прочел в свое время в школьной библиотеке все 5. "Поймать" было трудно. А теперь сравните с Бивисом, Бадхедом и Харри Поттером. Вперед, к обязяну! :-(".
К сожалению, в Интернете нашлось очень мало материала о нем, а фотография вообще только одна. Но его книги говорят сами за себя.
Я приведу здесь в сокращении прекрасную заметку о В.А.Левшине с сайта Библиогид.
читать дальше

Книги В.Левшина и Э.Александровой
читать дальше

О жизни и творчестве В.А.Лёвшина
Александрова Эм. Человек, который выдумал Магистра Рассеянных Наук // Лёвшин В. Магистр Рассеянных наук. — М.: Дет. лит., 1987. — С. 427-428.
Александрова Эм. Как я была Нуликом // Лёвшин В., Александрова Э. Путешествие по Карликании и Аль-Джебре. — М.: Дет. лит., 1991. — С. 252-253.
Википедия
Библиогид

URL записи

@темы: Публикации, Поп-математика, Люди, Интересные ссылки

18:47 

Amicus Plato
Простыми словами
Это часть повести сербского писателя Милорада Павича "Пейзаж, нарисованный чаем".
Необходима небольшая преамбула.
Кто читал прозу Павича, тому нет необходимости пояснять, что "все персонажи вымышлены", так же как вымышлены обстоятельства, места, времена, да и сама реальность...
Краткое содержание "предыдущих серий" таково:
Один очень известный московский профессор-математик Федор Алексеевич Разин вдруг чрезвычайно заинтересовал наших партийных функционеров, и они стали активно напоминать о себе, а точнее, звать его вступить в партию. (Речь идет о сталинских временах). Он сильно испугался и, не собирая вещей, сел на поезд и отправился в Сибирь. Там, в забытом Богом городке он стал дворником, расчищающим вечные снега. Но беда в том, что он стал лучшим дворником! И его опять стали звать в партию.
И вот дальше, собственно, пассаж.

<...>
читать дальше

@темы: ))), Публикации

18:29 

Аксиоматика теории множеств VI.

Amicus Plato
Простыми словами
Никак не дойду до аксиом...
Никто, небось, уже и не помнит, что цель была разобрать аксиому выбора, чтобы потом можно было плавно перейти к доказательству парадокса Банаха-Тарского :)
Боюсь, впереди у нас еще долгая дорога.)
Тем более, что почти ни одна запись не остается без критики)))
Что я могу поделать? Видимо, это планида теории множеств :)
читать дальше

@темы: Теория множеств, Amicus Plato

10:15 

:)

Amicus Plato
Простыми словами
Дорогие студенты, дорогие преподаватели!
Скоро-скоро нас ждут совместные испытания! Сессия!
Будучи студентом, никогда не задумываешься о том, каково оно там по другую сторону баррикад.
Оказывается, тоже весело!
Так что встретим надвигающуюся годину мужественно, плечом к плечу лицом к лицу :)

Вот что в сообществе l Shift->stop->end l пишет Robot:

***
Сегодня был день пределов (для меня, по крайней мере).
И вот что мне будет сниться..
читать дальше

А скоро сессия... :kapit:

URL записи

@темы: )))

19:42 

Тессеракт

Amicus Plato
Простыми словами
Может быть, некоторые из вас помнят: когда-то в сообществе была запись об односторонних поверхностях. О ленте Мёбиуса и бутылке Клейна.
Вот здесь
Бутылка Клейна без самопересечения может быть построена только в четырехмерном пространстве.
В нашем же, трехмерном, мы можем довольствоваться только ее проекцией.
А вот у Нелюдь обнаружилось нечто не менее интересное! Гиперкуб!
В университете мы его рисовали))
И рисовали точно так же, как это описано в Википедии)
Но оказывается есть лучший способ это увидеть!
Из той же Википедии
Не правда ли, красота!

21:15 

Интересное. Замечательное.

Amicus Plato
Простыми словами
Многие из нас, те кто тем или иным образом связаны с математикой, знают имя Якова Исидоровича Перельмана, великого популяризатора математики.
В сообществе l Shift->stop->end l его владелица Robot, известная вне сообщества как Sensile, написала изумительный очерк об этом человеке!
Более того, здесь есть ссылки на его книги, которые для многих из нас, — ни много, ни мало, — Книги Нашего Детства! Желаю всем хоть на несколько минут заново погрузиться в в этот удивительный мир!
А если кто-то еще не открыл его для себя, — добро пожаловать!

Пишет Robot:

4 декабря 2008

Ко дню рождения Я.И. Перельмана

Сегодня день рождения Якова Исидоровича Перельмана — российского учёного, популяризатора физики, математики и астрономии, одного из основоположников жанра научно-популярной литературы и занимательной науки. Я думаю, что нет человека, который бы не знал о нем и не читал его книг. С именем этого замечательного человека связано возникновение и развитие особого – занимательного – жанра научной популяризации основ знаний. Автор более ста книг и брошюр, он обладал редким даром захватывающе интересно рассказывать о сухих научных истинах, возбуждать жгучее любопытство и любознательность – эти первые ступени самостоятельной работы ума.
Перельман ставил своей задачей показать обычные явления в необычном, парадоксальном ракурсе, сохраняя в то же время научную безупречность их истолкования. Главной чертой его творческого метода являлось исключительное умение удивить читателя, приковать его внимание с первого же слова. «Мы рано перестаем удивляться, – писал Перельман в своей статье «Что такое занимательная наука», – рано утрачиваем способность, которая побуждает интересоваться вещами, не затрагивающими непосредственно нашего существования... Вода была бы, без сомнения, самым удивительным веществом в природе, а Луна – наиболее поразительным зрелищем на небе, если бы то и другое не попадалось на глаза слишком часто».
Я не буду писать здесь краткую его биографию - ее можно прочесть в Википедии, на сайте peoples.ru, в Кванте или же прочесть книгу Г. Мишкевича о нем, например, здесь. Эту же книгу можно скачать:

Мишкевич Г. Доктор занимательных наук. Жизнь и творчество Якова Исидоровича Перельмана. - М. Знание, 1986.
Научно-популярная книга о жизни и творческой деятельности Я.И. Перельмана, с именем которого связано возникновение и развитие особого направления в научной популяризации – занимательного: «Занимательная физика», «Занимательная астрономия», «Занимательная геометрия» и другие. Я.И. Перельман был инициатором создания в Ленинграде Дома занимательной науки.
Работая над книгой, автор использовал архивный материал, литературные источники, воспоминания тех, кто знал Перельмана. Сам автор на протяжении ряда лет сотрудничал с Перельманом.
Скачать (chm, 0,39 Мб)


Приведу лишь отрывок из этой книги о последних месяцах жизни Я.И. Перельмана.
Отрывок из книги Мишкевича "Доктор занимательных наук"

Книги Я.И. Перельмана
К сожалению (несмотря на большое количество переизданий) в электронном виде книги имеются довольно старых изданий и нельзя сказать, чтобы хорошего качества, за исключением, пожалуй, "Веселые задачи", которую сканировал сам bolega, автор программы ScanKromsator. Произведения Перельмана еще ждут своего бережного оцифровщика.

читать дальше

URL записи

@темы: Люди, Публикации

22:14 

Аксиоматика теории множеств V.

Amicus Plato
Простыми словами
Начинаю описывать систему Z (Цермело-Френкеля).
В этой системе, как воспоследовало из определения равенства в прошлой записи, имеется лишь один неопределяемый предикат «∈».
Все ее атомарные предложения будут иметь вид: х ∈ у. Отношение "не принадлежит" будем записывать так: х ∉ у.

И теперь сразу с места в карьер.

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

09:45 

Аксиоматика теории множеств IV. Отношение равенства

Amicus Plato
Простыми словами
14:37 

Аксиоматика теории множеств III. Отношение равенства

Amicus Plato
Простыми словами
Оооо!
Я, например, открыла для себя много нового.

Отношение равенства

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

15:14 

Аксиоматика теории множеств II

Amicus Plato
Простыми словами
Давайте разбираться с вопросами, поставленными в прошлой записи.

Разбираемся по пунктам

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

22:36 

Аксиоматика теории множеств

Amicus Plato
Простыми словами
Для того, чтобы разобраться в доказательстве парадокса Банаха-Тарского, или хотя бы просто посмотреть, на чем оно строится, нужно понять, что же представляет собой аксиома выбора.
Можно было бы просто сформулировать ее, но всё же я считаю, что надо немножко расширить контекст. Аксиома выбора — это хоть и стоящая особняком, но всё же часть целостной системы. Системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).
Предварительные соображения )

@темы: Amicus Plato, Теория множеств

22:35 

Парадокс Банаха-Тарского II

Amicus Plato
Простыми словами
Парадокс об удвоении шара еще называют парадоксом Банаха-Тарского-Хаусдорфа, потому что существует менее известный и более ранний парадокс Хаусдорфа, который похож на парадокс удвоения шара и имеет тот же принцип доказательства.
В самом деле, почему речь идёт не о "развенчании", как это было раньше с другими парадоксами, а о доказательстве?
Почему?

Подтверждение

@темы: Анти-бесконечность, Парадоксы, Поп-математика, Теория множеств, Amicus Plato

Поп-математика для взрослых детей

главная