21:56 

Прежде всего хочу выразить владелице сообщества искреннюю признательность за ее заметки по теории множеств. Более внятного и интересного изложения этой темы мне не встречалось еще нигде в популярной литературе.
А теперь вопрос.
Здесь, в частности, Amicus Plato пишет:

Следом за א0 идет א1 — мощность континуума. (...) Но есть и следующие алефы, и число их бесконечно.

Означает ли это, что существуют множества, имеющие большую мощность, чем мощность континуума? И, если да, то каковы примеры таких множеств? То есть, если алеф-нуль - кардинальное число множества натуральных чисел, алеф-один - множества действительных чисел, то, верно ли я понимаю, что существуют какие-то алеф-два и т.п., которые соответствуют, в свою очередь, другим множествам? Это ли имеется в виду, когда говорят о лестнице алефов?
Прошу прощения за корявое изложение вопроса - я не математик))) И за возможную его банальность, но интернет на эту тему молчит.

@темы: Amicus Plato, Вопросы, Теория множеств

Комментарии
2010-05-12 в 22:52 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Гельвард Манн, спасибо за проявленный интерес!
Хозяйка временно отсутствует. Попробую ее заменить.

То есть, если алеф-нуль - кардинальное число множества натуральных чисел, алеф-один - множества действительных чисел, то, верно ли я понимаю, что существуют какие-то алеф-два и т.п., которые соответствуют, в свою очередь, другим множествам? Это ли имеется в виду, когда говорят о лестнице алефов?

Да, вы понимаете верно.
Просто, как в математике бывает довольно часто, некоторые понятия легко проиллюстрировать "примерами из жизни", а некоторые не очень, и они так и остаются абстракциями.
Так, например, первые два алефа имеют очень простые физические интерпретации. Первый возникает, если мы будем пересчитывать какие-нибудь предметы и никогда не остановимся. А второй -- это, к примеру, количество всех точек на отрезке [0,1].
Или на всей числовой прямой (как оказывается эти два множества равномощны).
Но вот с физической интерпретацией более "высоких" алефов уже не так просто. Если мы возьмем квадрат со стороной 1, то множество точек внутри него окажется равномощным множеству точек на любом его ребре, т.е. на отрезке [0,1]. Если мы возьмем куб, гиперкуб (как у вас на аватаре), получим то же самое: множество точек, им принадлежащих, имеет мощность континнума.

Однако другие алефы тоже существуют (и их бесконечно много).
Это следует из теоремы Кантора.
Она говорит, что множество всех подмножеств множества A мощнее A, или | 2A| > | A |. Это означает что если мы возьмем булеан множества действительных чисел, т.е. | 2R|, он будет гарантированно иметь мощность, большую алеф-1.
Из "жизни" даже не знаю, как это проиллюстрировать.
Если мы возьмем отрезок [0,1], набросаем на него сверху в отдельности каждую его точку, потом каждый отрезок, содержащийся внутри [0,1], потом каждый интервал, потом все пары отрезков, которые мы уже бросали, потом все пары интервалов, потом все тройки.... и т.д., и еще не забудем пустое множество, получится гора, мощность которой будет заведомо больше мощности континнуума. Ну, это я пишу весьма приблизительно. Думаю, можно как-то точнее это сказать. Но "по сути" так.

Теорема Кантора вот: ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Кантора
Что касается того, является ли |2R| алефом 2, точно сказать не могу. Надо посмотреть...

2010-05-12 в 22:53 

Quod erat demonstrandum
верно ли я понимаю, что существуют какие-то алеф-два и т.п., которые соответствуют, в свою очередь, другим множествам?
Верно. Множество непрерывных функций, например, мощнее, чем континуум.
Вообще для любого множества, конечного или бесконечного, множество его подмножеств будет мощнее, чем оно само.

2010-05-12 в 22:54 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
Диана Шипилова
Множество непрерывных функций, например, мощнее, чем континуум.
О! Человеческий пример! А у меня нечеловеческий вышел ((
А знаешь, как алефы дальше нумеруются?

2010-05-12 в 22:58 

Quod erat demonstrandum
Дилетант
Блин, я не видела твой комментарий, а ты столько успела написать!)) По-моему, алефы так и нумеруются по степеням двойки, но тут я не уверена...

2010-05-12 в 22:59 

Дилетант
На плечах гигантов, на спинах электронов
По-моему, алефы так и нумеруются по степеням двойки, но тут я не уверена...
Да вот мне тоже так кажется...
Но мы этого не проходили )))

2010-05-13 в 06:38 

Дилетант, Диана Шипилова

Большое спасибо за объяснения! Пример с отрезком весьма понятен и логичен. Замечание про мощность множества непрерывных функций мне тоже встречалось, но в довольно сомнительном месте, и оно для меня гораздо менее очевидно, так что захотелось перепроверить.
Интересно, а какие действия можно совершать над алефами - всё те же, что над ординальными числами? И какова будет алгебра алефов?

2010-06-12 в 17:03 

Множество непрерывных функций из R в R имеет мощность континуум.
Число всех функций с рациональным аргументом и действительным значением - континуум.
Любая непрерывная функция из R в R однозначно определяется своими значениями для рационального аргумента (зная значения для рац. аргумента, достраиваем функцию для остальных точек действительной оси по непрерывности - это возможно, так как множество рациональных чисел всюду плотно на R)

А вот множество всех функций из R в R имеет мощность большую, чем континуум.

Можно принять за аксиому, что есть несчётное множество мощности меньшей, чем континуум. Можно принять за аксиому и утверждение, что такого множества нет (см. Коэн "Теория множеств и континуум-гипотеза")

2010-06-12 в 18:42 

inquarto

Число всех функций с рациональным аргументом и действительным значением - континуум.

Это внушает доверие.

Множество непрерывных функций из R в R имеет мощность континуум.
А вот множество всех функций из R в R имеет мощность большую, чем континуум.

А вот это для меня далеко не столь очевидно. Непонятен переход от непрерывных функций к функциям с рациональным аргументом. Ведь, если я верно понимаю, непрерывные функции не обязательно должны иметь рациональный аргумент. Есть ли доказательство сказанному, в котором нематематик способен хоть что-то понять?)))

Вообще, насчет множества непрерывных функций, мне сейчас кажется, что Вы правы. Ведь функция - это "множество упорядоченных пар" (чисел). То есть, "множество всех непрерывных функций" - это, по сути, множество множеств пар действительных чисел.Значит, это множество еще не всех подмножеств множества действительных чисел, потому что в нем нет тех отрезков, интервалов и т.п., о которых выше писала Дилетант в своем примере. Значит, оно не может иметь мощность, большую мощности континуума. Но тогда мне непонятно отличие его мощности от мощности множества всех функций из R в R.
Извините за скорей всего тупые рассуждения)))

Можно принять за аксиому, что есть несчётное множество мощности меньшей, чем континуум. Можно принять за аксиому и утверждение, что такого множества нет (см. Коэн "Теория множеств и континуум-гипотеза")

Спасибо за наводку, пойду читать книжку. Надеюсь, не сломаю не ней мозг, и без того изгрызенный наивной теорией множеств)))

2010-06-19 в 00:04 

Надеюсь, не сломаю не ней мозг, и без того изгрызенный наивной теорией множеств
Не читал, но книжка классическая. Кажется, сложная.


Дальше мат. анализ.

(множество действительных чисел=R)
(множество рациональных чисел=Q)
(множество натуральных чисел=N)

Берём любую функцию R->R. Она определена на множестве всех действ. чисел, в частности, на множестве рац. чисел. Рассмотрев эту функцию только для рациональных аргументов, получим функцию Q->R, Эта функция называется сужением первоначальной функции с области определения R на область определения Q.
(Пример: обычная парабола y=x^2 является функцией R->R. Рассмотрим значения этой функции для натурального аргумента - получим таблицу квадратов натуральных чисел - это функция N->R (причём - здесь повезло - эта функция на самом деле N->N))

Дана исходная функция f: R->R. Сузили её до функции "сужение f": Q->R. Есть бесконечное число разных функций R->R, которые при сужении дают одну и ту же функцию при Q->R (меняйте, например, значение исходной функции при аргументе pi, то есть меняйте f(pi). При этом "сужение f": Q->R не изменится.)

Но если исходной была непрерывная функция f: R->R, то существует только одна непрерывная функция R->R, которая при сужении на Q даёт ту же функцию, что и "сужение f". Это сама функция f и есть.

Это вытекает из определения непрерывности (в форме "по Гейне") и "всюду плотности" Q.
1) Функция f: R->R непрерывна (по Гейне - можно доказать, что это определение определяет то же понятие, что и определение непрерывности по Коши), если, взяв любую последовательность аргументов, приближающуюся/стремящуюся к произвольно выбранному заранее аргументу a, окажется, что значения функции при аргументах из этой последовательности приближаются/стремятся к значению функции при аргументе a, то есть приближаются к f(a) (Другими словами:
если взята любая последовательность аргументов, сходящихся к a,
то последовательность соответствующих значений сходится к f(a))
(Здесь используется только понятие сходимости последовательности к какому-либо числу называемому пределом последовательности.)
2) Q всюду плотно в R, то есть для любого действительного a есть последовательность рац. чисел, сходящаяся к a. (точнее не помню - найдутся специалисты - поправят) (например, обрывайте десятичную дробь числа pi на 2-м знаке посчле запятой, на 3-м знаке после запятой.... - получите последовательность "обрывков"=десятичных приближений, то есть рац. чисел, приближающихся к pi.)

После сужения непрерывной функции f с области определения R на область определения Q, у нас остаётся [для любого аргумента a из R] последовательность рац. аргументов, на которых определена функция "сужение f" и, одновременно, эта же последовательность аргументов сходится к аргументу a, в котором "сужение f" может быть не определено, если a - иррационально.
Тогда существует предел значений (при аргументах из последовательности, которые рациональны) функции "сужение f". Его можно посчитать, не зная исходной функции f, а зная только "сужение f". ТО есть по функции "сужение f" построили предельное значение функции "сужение f" в точке a, то есть "сужение f"(a). Это число должно быть равно f(a), так как изначально сужали непрерывную функцию f. То есть построено соответствие, позволяющее по "сужению f" однозначно построить исходную f. Однозначность построения "сужения f" по исходной f, очевидна. То есть получено взаимно-однозначное соответствие 2-х множеств функций, то еть равномощность.
Здесь следует отметить, что "сужением непрерывной f" на область определения Q является далеко не каждая функция Q->R, а только такая функция, которую можно достроить по непрерывности до непрерывной f.

множество множеств пар действительных чисел.Значит, это множество еще не всех подмножеств множества действительных чисел, потому что в нем нет тех отрезков, интервалов и т.п., о которых выше писала Дилетант в своем примере. Значит, оно не может иметь мощность, большую мощности континуума
множество еще не всех подмножеств множества действительных чисел может иметь мощность большую мощности континуум:
выкиньте из множества всех подмножеств множества действительных чисел одно, десять (хоть континуум) подмножеств множества действительных чисел - в результате будет множество еще не всех подмножеств множества действительных чисел с мощностью большей мощности континуум.

2010-06-20 в 03:10 

белт
Можно принять за аксиому, что есть несчётное множество мощности меньшей, чем континуум. Можно принять за аксиому и утверждение, что такого множества нет (см. Коэн "Теория множеств и континуум-гипотеза")
так приняв аксиому о существовании промежуточного алефа, что нить в алгебре алефов меняется? и если принять, то их между а0 и а1 становится по мощности 1 или всё таки а0, а между а1 и а2 одно или уже а1, или а0...

2010-06-20 в 22:05 

между а0 и а1 становится по мощности 1 или всё таки а0

Скобки означают нижний индекс, а скобки в скобках означают нижний индекс нижнего индекса.
Коэн рассматривает возможность того, что между N и R могут быть алефы а(а(0)), а(а(а(0))), а(а(а(а(0))))...
Про континуум алефов между N и R не знаю - идея, впрочем, заманчивая.

2010-06-22 в 21:04 

inquarto

Большое спасибо за подробнейшее объяснение! К сожалению, у меня с матанализом все плохо, поэтому не скажу, что оно было мне во всем понятным. Но я над этим работаю)))

Не читал, но книжка классическая. Кажется, сложная.
Книжка, действительно, оказалась сложная, читаю пока Верещагина и Шеня, "Начала теории множеств" - оно более доступно.

выкиньте из множества всех подмножеств множества действительных чисел одно, десять (хоть континуум) подмножеств множества действительных чисел - в результате будет множество еще не всех подмножеств множества действительных чисел с мощностью большей мощности континуум.
Ну да, если взять меньшую мощность, с + с = с, значит, вероятно, с - с тоже должно быть равно с (в литературе, правда, только про сложение пишут, так что не знаю, справедливо ли это для вычитания). По теореме Кантора, 2^c - уже не с, а следующая ступень. С другой стороны, c^2 (да хоть с^алеф-нуль) = с. Но 2^c можно представить себе как 2*2*2... континуум раз.
И это наводит на вопрос: а сколько (и, главное, каких) элементов надо добавить к множеству мощности континуум, чтобы получить гиперконтинуум? Короче, где происходит "скачок"? И где, если уж на то пошло, "скачок" между счетным множеством и континуумом?
Подозреваю, что вопрос лишен смысла, т.к. мощность континуума по определению предполагает несчетность. Но как-то же надо оперировать этими мощностями! Или просто договориться, что к "скачку" на новую мощность приводит только операция 2^N, 2^R и т.д. (как, собственно, теорема Кантора и гласит)? А там уже сколько ни вычитай, останется та же мощность?

Про континуум алефов между N и R не знаю - идея, впрочем, заманчивая.
Идея заманчивая, но страшно представить, как она все усложнит)))

2010-06-24 в 15:53 

К сожалению, у меня с матанализом все плохо
Чтобы прочувствовать матанализ, есть книжка Пухначёв, Попов "Математика без формул".
А, вообще, Фихтенгольц и Демидович - сидеть и прорабатывать - потом можно наводить современный теоретико-множественный лоск на матанализ по другим книжкам.

читаю пока Верещагина и Шеня, "Начала теории множеств" - оно более доступно.
На diary "Не решается алгебра?..." есть разделы с книжками - в частности, там есть книжка Столла "Множества..."
Но 2^c можно представить себе как 2*2*2... континуум раз.
Запись 2*2*2... интуитивно связывается со счётностью, а не с континуумом. Также "сколько-то раз" связывается с не более, чем счётным множеством. :(
2^c лучше представлять, как все подмножества прямой.

.сколько (и, главное, каких) элементов надо добавить к множеству мощности континуум, чтобы получить гиперконтинуум?
Добавьте к прямой все её подмножества, рисуя их на других прямых. Другое дело, что в обычном нашем пространстве все эти прямые разместить не удастся. :(

Или просто договориться, что к "скачку" на новую мощность приводит только операция 2^N, 2^R и т.д. (как, собственно, теорема Кантора и гласит)?
Да! Коэн и сопоставлял аксиому степени и аксиомы, позволяющие строить ординалы. Там и показано, что можно так договориться. А можно и не договариваться.

2010-06-24 в 21:17 

inquarto

Спасибо за ссылки на литературу! Видимо, пора избавляться от своего кривого воображения и полагаться на формальные выкладки)))

2014-01-12 в 16:00 

Мне кажется, в таких вопросах как раз Фихтенгольц и Демидович не очень помогут, это задачи по матану решать первые 2 семестра. Я сейчас книжку Хаусдорфа читаю "теория множеств", большая часть Ваших вопросов там разобрана, очень живо и ясно написано, рекомендую. по поводу обращения с мощностями - гл. 2 "кардинальные числа". Ещё Куратовского и Мостовского тоже "теория множеств" и Тарского "Введение в методологию дедуктивных наук" - про "философию" науки.

2014-01-19 в 13:36 

Ещё Куратовского и Мостовского тоже "теория множеств"
У Мостовского есть продолжение этой книги, кстати.
Мне кажется, в таких вопросах как раз Фихтенгольц и Демидович не очень помогут, это задачи по матану решать первые 2 семестра.
О том и речь.
Здесь речь шла о 2-х разных дисциплинах: матане и теории множеств.
Было сказано:
К сожалению, у меня с матанализом все плохо
Поэтому для исправления ситуации с матаном (то есть с теорией дифференцирования и интегрирования последовательностей и функций), я предложил Фихтенгольца и Демидовича. Можно ещё Кудрявцева и т.д. Чтобы, если есть проблемы с мат. анализом, не было ухода в дебри теории множеств, по которой можно рекомендовать другие книги.
По теории множеств и логике есть задачник Лаврова и Максимовой.
Повторю ссылку на работу Коэна "Теория множеств и континуум-гипотеза".

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Поп-математика для взрослых детей

главная