00:52 

Три части круга

Ollemri
Не все, что возможно физически, возможно психологически.
Дано: круг, разделенный 2 равными параллельными хордами. Все 3 получившихся сектора равны по площади. Найти длину хорд по отношению к радиусу круга.

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Вопросы

Комментарии
2012-10-11 в 20:09 

E. Poe
всему свое время
это как же "2 параллельные хорды" могут разбить круг на три "сектора"?

2012-10-11 в 20:15 

Elak Varg [DELETED user]
E. Poe, думаю, под "секторами" подразумевались части.

2012-10-11 в 20:28 

E. Poe
всему свое время
это понятно. но с терминологической точки зрения, неверно называть эти части "секторами")

2012-10-12 в 19:37 

E. Poe
всему свое время
эй, кто-нибудь решил?? у меня уже мозг опух от этой задачки)))) сто лет не бралась за математику, и решение получается очень сложное. корни, арксинусы, выразить хорду в чистом виде из этого соотношения просто нереально. есть же наверняка простое решение, ау!))) ну не переходить же к полярным координатам? не брать же криволинейный интеграл?! :-D

2012-10-14 в 13:55 

Ollemri
Не все, что возможно физически, возможно психологически.
E. Poe, Ну хоть угол между радиусами, проведенными к концам одной хорды? :hmm:

2012-10-14 в 17:20 

E. Poe
всему свое время
Ollemri, если знать угол, то решать уже нечего)

2012-10-14 в 22:10 

Ollemri
Не все, что возможно физически, возможно психологически.
E. Poe, Я хотела сказать: "как вычислить этот угол?" ;)

2012-10-14 в 22:20 

E. Poe
всему свое время
угол ф=2arcsin(X/2R)
хыхыхы

2012-10-14 в 22:41 

E. Poe
всему свое время
простите, не хотела вас обидеть, но в вычислении угла и состоит проблема.
либо ее можно решить, не вычисляя угол. но тогда я не знаю, как.
у меня есть решение - это огромное уравнение, в котором присутствует Х (длина искомой хорды) и R (радиус окружности), но уравнение настолько сложно что я не считаю это реальным решением.
все должно быть гораздо проще. но как - не знаю. ждем
а почему вас интересует именно эта задача?

2012-10-14 в 22:52 

Ollemri
Не все, что возможно физически, возможно психологически.
E. Poe, а почему вас интересует именно эта задача?
"Простенько", но заковыристо. Хотя и не квадратура круга :)

2012-10-14 в 23:08 

E. Poe
всему свое время
так вы ответ знаете или нет? мне жутко интересно. потому что уже убила на это несколько часов, и все прихожу к одному и тому же: жутко сложное уравнение.
видимо, чего-то со школы я не помню.. раз получается так сложно. должно быть все просто, это же не реальная задача.. в реальной задаче мы бы прибегли к численным методам и погрешили бы бесконечно малыми))) и все было бы чики-пуки)
а тут.. интересен правильный простой ответ. ибо фактически ответ есть, но он неудобоварим. и в том печаль..))

2012-10-14 в 23:18 

Ollemri
Не все, что возможно физически, возможно психологически.
E. Poe, Не знаю :nope:

2012-10-14 в 23:21 

E. Poe
всему свое время
тогда подождем. может, кто-нибудь одолеет. )))

2012-10-26 в 22:30 

sophist-ru
Любимое дитя Вселенной :)
Зачем криволинейный интеграл? Обычного разве недостаточно?

Пусть окружность радиуса 1 и с центром в начале координат. Тогда нам, фактически, надо найти такой y', что прямая y=y' делит четвертушку круга в пропорции 2:1, а именно так, что площадь под этой прямой равна pi/12.

Получаем уравнение x^3/3 - x + pi/12 = 0. Wolframalpha выдал ответ y=0.26823.

То есть хорда должна отступать от края на 0.73177 * R.

2012-10-26 в 23:36 

E. Poe
всему свое время
sophist-ru, надо найти такой y', что прямая y=y' делит четвертушку круга в пропорции 2:1, а именно так, что площадь под этой прямой равна pi/12.
а вот можно подробнее, с чего бы такие умозаключения? я чего-то не догоняю

2012-10-30 в 13:37 

sophist-ru
Любимое дитя Вселенной :)
Ну смотрите, пусть у нас круг радиуса 1 с центром в начале координат. Его площадь равна pi. Площадь верхнего полукруга, соответственно, Pi/2.

Пусть мы делим круг на три равные части горизонтальными отрезками (хордами). Площадь каждой части будет pi/3. Итак, в верхнем полукруге будет сегмент площади pi/3 и оставшаяся часть полукруга площадью Pi/2-pi/3 = pi/6.

В силу вертикальной симметрии можем ограничиться четвертушкой круга. В ней есть половина сегмента площадью Pi/6 и половина нижней части полукруга площадью Pi/12.

Нам надо найти, на какой высоте проходит делящий полукруг отрезок (хорда). Мы знаем, что площадь под ним равна pi/12. Возьмем интеграл от нуля до y'. Получим кубическое уравнение.

2012-10-30 в 13:38 

sophist-ru
Любимое дитя Вселенной :)
y' -- это не производная, это наша искомая высота, есличо :).

2012-11-01 в 19:33 

E. Poe
всему свое время
sophist-ru, о, теперь понятно про части. меня смутило делит четвертушку круга в пропорции 2:1, а ведь и правда)
мне нравится ваш метод, сама люблю что-нибудь неудобное-неизвестное принять за единицу и пироги на части резать)) и с интегралами все гладенько получается, не то что с этими радиусами и углами)
только вот ..(простите снова за щепетильность, но): откуда там кубическое уравнение? интеграл от 0 до y', а подынтегральная ф-ция какая будет? разве (1-х^2)???

2012-11-02 в 23:28 

sophist-ru
Любимое дитя Вселенной :)
И правда, про корень-то и забыл :).

Подынтегральная функция x=sqrt(1-y^2). (интегрируем по dy)

Чуть посложнее, чем кубическое, получается. Интегрируя "по частям", получим: (y-1/2)*sqrt(1-y^2) от 0 до y'.
Откуда имеем (y'-1/2)*sqrt(1-y'^2)+1/2 = pi/12

Ну, и снова обращаясь к wolframalpha, получаем ответ: 0.25374

Т.е. хорда должна отступать от края на 0.74626 * R

2012-11-02 в 23:42 

E. Poe
всему свое время
sophist-ru, бинго!)))
выкладкам доверяю не проверяя, решение "делить на части" было прикольным) я зациклилась на школьных решениях через углы и арксинусы, в рез-те закопалась, а интегралы конечно рулят)

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Поп-математика для взрослых детей

главная