Скоро пляжный сезон, пора подтянуть мозг

[Disprein]

Перед вами на столе лежат два конверта с деньгами. В одном из них в два раза больше денег, чем во втором. Вы вскрываете наудачу один конверт и видите в нем Х денег. Теперь перед вами выбор: забрать эти деньги или же забрать себе деньги из второго конверта. Как выгоднее?

@темы: Парадоксы

Comments

[Minority]

Шанс, что при открытии второго конверта денег станет меньше - 50%. Так что лучше оставить при себе то, что взял.)

[Disprein]

Minority, но ведь и шанс, что денег станет больше — тоже 50%, причем на Х больше. То есть во втором конверте окажется Х/2 с вероятностью 50% и 2Х с вероятностью 50%, то есть в среднем (мат.ожидание) 1,25*Х — и выгоднее брать второй конверт. Так? или не так?

[-Inori-]

А как же вероятность при первом выборе?

[Abhyaso]

Зависит от икса. Если там копейка, то разумеется выгодней взять второй. Если там толстая пачка банкнот, то второй конверт будет либо в два раза больше, либо меньше.
С другой стороны, если там чирик, то во втором будет либо пятерка, либо двадцатка одной купюрой и соответственно, шансы - 50/50. В таком случае, выгодней экономить время)

[Abhyaso]

Хотя нет. Принцип работает только с копейкой и с рублем: если в одном конверте тысяча сотками, а во втором пол тысячи, но десятками, то он определенно будет толще.
Придерживаюсь экономии времени)

[Dieter Grass]

Раз речь идёт об абсолютном выигрыше, то можно сначала вычленить общую часть (минимальную сумму), которая есть там и там: она не имеет значения и мы её получим по-любому

Открытие первого конверта нам не говорит ничего о том, минимальная эта сумма или максимальная - т.е. открытие никакой информации не несёт.

Таким образом, мы становимся перед следующим выбором: у нас есть один конверт, в котором находится либо -X, либо +X с одинаковой вероятностью. Мат ожидание равно 0, но дисперсия не нулевая.

Вывод такой: Если мы хотим рисковать, есть смысл открывать второй конверт, а если мы - потребитель, стремящийся минимизировать риски, то нужно довольствоваться первым конвертом.

[Disprein]

Если в первом конверте Х денег, то матожидание денег во втором конверте — 1,25*Х. Верно? То есть среднестатистически мы выигрываем, забирая именно второй конверт.

Таким образом, мы становимся перед следующим выбором: у нас есть один конверт, в котором находится либо -X, либо +X с одинаковой вероятностью.

Неверно: там либо -Х/2, либо +Х.

New Jack, ну вот если в первом конверте десятка, то мат.ожидание денег во втором конверте - 12,5 рублей. Выгоднее брать второй?

-Inori-, поясните.)

[Кьюзи]

допустим, в конверте 10 р.
Тогда во втором - либо 5 р, либо 20 р.
Значит, как минимум 5 р мы точно получим.
Если оставим себе первый конверт, то возможная упущенная прибыль составит 20-10=10 р
Если возьмём второй конверт, то возможная упущенная прибыль: 10-5=5 р
второй надо брать

суть глупость и фарисейство эта формальная логика ))

[Dieter Grass]

Disprein,

Неверно: там либо -Х/2, либо +Х.

да, точно, спасибо)

Тогда наша задача сводится к принятию решения, будем ли мы играть в игру, где с вероятностью по 0,5 будет -Х/2 или+Х - либо не будем.

Математически, играть выгоднее, так как мат. ожидание 0,25X.

[Катька Зелёная]

Не зависимо от того во сколько раз суммы в конвертах различаются, и от того, увидел ли человек сумму одного конверта, вероятность выбрать конверт с большей суммой - 50 %, и это не зависит от того какой конверт берешь, с известной суммой или второй. Все остальные вычисления - ересь.
Вообще мне казалось, что это известная задача.

[Disprein]

Кьюзи, Dieter Grass, хорошо. Но, как вы понимаете, не все так просто. Вот рассуждения в другом ракурсе (которые более согласуются с обывательским здравым смыслом): в первом конверте мы видим либо Z, либо Z/2 (с равной вероятностью), тогда во втором конверте — Z/2 либо Z соответственно. И здесь мат.ожидания выигрышей совпадают (по 1,5*Z в каждом из конвертов), то есть менять конверт или нет — неважно.

Какой из ответов верный?

[Dieter Grass]

Disprein, тот, где меньше дисперсия)

[Disprein]

Катька Зелёная, тут вон сколько еретиков, которые пришли к тому, что второй конверт выгоднее где же ошибка в вычислениях?

[Катька Зелёная]

Disprein, Ошибка в том, что перед тем как вычислять, надо думать о том какие данные нужны, а какие - лишние. Здесь все данные, кроме того что есть 2 конверта с разной суммой - лишние.

[Abhyaso]

Disprein,
Ошибка наверное в том, что логический упор идет на определенный конверт в тот момент, когда их статистическая разница лишь в том, что один конверт мы взяли, а другой лежит. Мне кажется неправильным то, что когда берешь А, то выгоднее Б , но возьми мы Б, выгоднее был бы А, именно по этой логике, просто из за ситуации.

[-Inori-]

Объясните в чем мои размышления не верные.

Допустим в одном конверте 1р, в другом 2р.
Допустим дается 10 попыток (100, 1000, 10000, бесконечность).

Допустим человек всегда сбрасывает второй конверт, он получит: 5 * 1 + 5 * 2 = 15р
Допустим человек всегда берет второй конверт, он получит... 5 * 1 + 5 * 2 = 15р

Мягким местом чувствую что не может быть так просто, но не пойму как это подсчитать

[Disprein]

New Jack, правильно, что-то тут должно быть не так. Выходит, мы нечестно посчитали мат.ожидание?

-Inori-, вы все верно пишете, но вот вам теперь другой расклад: пусть человек все время видит в первом конверте 2 рубля (тогда во втором — либо 1 рубль, либо 4 рубля). Тогда после 10 попыток он получит 20 рублей, если будет брать все время первый конверт, и 5*1 + 5*4 = 25 (!) рублей, если будет брать второй. Кто-то из нас ошибается, но кто и где?

[Катька Зелёная]

Disprein, Ошибка в том что, вы не будете все время видеть во взятом конверте 2 рубля. Вы в один флакон смешиваете случаи, где в конвертах 1и2 и 2и4 рубля. Но достаете при этом почему-то все время 2 рубля, а не 1 или 4, но 2 это меньше чем 1или4 (это в среднем 2,5), то есть вы изначально рассчитываете вариант, что вы берете меньшую сумму, хотя вероятность взять конверт с меньшей суммой - 50%

[Катька Зелёная]

Надеюсь, это объясняет, откуда берется ожидание 125% во втором конверте.

[Abhyaso]

Disprein,
Я не о подсчете. Что нам мешает сказать, что вышеуказанные ожидания - деньги, что мы держим в руках, а не те, что в закрытом конверте?

[Безумный Бог Безумия]

Нет никакой разницы. Как показала серия из 100000 экспериментов, математическое ожидание выигрыша равно нулю.

Математическое ожидание = Средний выигрыш по вариантам, две стратегии по два варианта в каждой:
1(1). Слабый конверт, сохранение выбора. [50% вероятности выиграть 1$]
1(2). Сильный конверт, сохранение выбора. [50% вероятности выиграть 2$]
2(1). Слабый конверт, отказ от конверта. [50% вероятности выиграть 2$]
2(2). Сильный конверт, отказ от конверта. [50% вероятности выиграть 1$]
И там, и там - одинаковый выигрыш в 1.5$ и это достаточно очевидно.

[Осоляся]

Поскольку математически ничего не могу добавить, то скажу по человечески : даже если во втором конверте меньшая сумма, то сожаление об упущенной выгоде ничто по сравнению с нереализованной возможностью (при условии, что второй конверт так и не был вскрыт) -лучше сделать и пожалеть, чем жалеть, что не сделал.

[Garryncha]

Disprein, выше правильно, на мой взгляд, ответили: если в конверте незначительная сумма, надо открывать второй конверт, если значительная — брать деньги себе. Это с точки зрения моего здравого смысла.

о ведь и шанс, что денег станет больше — тоже 50%, причем на Х больше. То есть во втором конверте окажется Х/2 с вероятностью 50% и 2Х с вероятностью 50%, то есть в среднем (мат.ожидание) 1,25*Х — и выгоднее брать второй конверт. Так? или не так?

По-моему, это и есть ваш вопрос, а не сформулированный в задаче.

Я согласен с объяснением, где ошибка:

Disprein, Ошибка в том что, вы не будете все время видеть во взятом конверте 2 рубля. Вы в один флакон смешиваете случаи, где в конвертах 1и2 и 2и4 рубля. Но достаете при этом почему-то все время 2 рубля, а не 1 или 4, но 2 это меньше чем 1или4 (это в среднем 2,5), то есть вы изначально рассчитываете вариант, что вы берете меньшую сумму, хотя вероятность взять конверт с меньшей суммой - 50%

[E. Poe]

Абсолютно все равно, какой конверт брать. Если ты взял один конверт и увидел сумму, находящуюся в нем, то это никак не уменьшает неопределенность!

Катька Зелёная,

Не зависимо от того во сколько раз суммы в конвертах различаются, и от того, увидел ли человек сумму одного конверта, вероятность выбрать конверт с большей суммой - 50 %, и это не зависит от того какой конверт берешь, с известной суммой или второй. Все остальные вычисления - ересь.

именно.

New Jack,

Зависит от икса. Если там копейка, то разумеется выгодней взять второй. Если там толстая пачка банкнот, то второй конверт будет либо в два раза больше, либо меньше.

Именно!) Копейку потерять нежалко, а упустить половину крупной суммы - жалко! Берем первый конверт и кончаем рефлексировать!)

[All_ex]

Интересная задача...
С точки зрения теории вероятностей есть выбор первого конверта с вероятностью `1/2`... а смена конверта - это просто выбор другого конверта с той же вероятностью...

Мне интересна постановка этой задачи в виде игры в развёрнутой форме... (поправьте меня, если я где-то напортачил)...
Вот я что-то тут накидал...

Игрок делает ход и забывает в какой позиции оказался (несовершенная память)... получаем, что вершины второго уровня относятся к одному информационному множеству... Далее игрок выбирает ход "сохранение" или "замена"... и вычисление выигрышей (в свете теории ожидаемой полезности Неймана-Моргенштерна) в обоих случаях равна `1/2*X + 1/2*2*X = 3/2*X`...