13:26 

Amicus Plato
Простыми словами
Когда-то Лобачевский думал, кутаясь в пальто:
Как мир прямолинеен — видно, что-то здесь не то,
Но он вгляделся пристальней в загадочную высь
И там все параллельные его пересеклись.


Недавно в сообществе Не решается алгебра/высшая математика? ... ПОМОЖЕМ! был задан вопрос про допущение Прокла о том, что расстояние между двумя параллельными прямыми постоянно, или по крайней мере, ограничено.

Это допущение использовалось Проклом для доказательства Пятого постулата Евклида о параллельных прямых, и впоследствии оказалось равносильным самому постулату.

Сама затронутая тема — евклидова (и неевклидова) геометрия; "странности" Пятого постулата, не дававшие покоя математикам много веков подряд, — очень красива! И из-за своей наглядности достаточно проста для объяснения на пальцах (в общих чертах, разумеется). А главное, очень мало сейчас применяется "в народном хозяйстве". Мы, например, в университете такого не проходили. Ни геометрии Римана, ни геометрии Лобачевского, ни геометрии Бойяи. А про модели Клейна и Пуанкаре я, к стыду своему, даже не слышала...
Поэтому, надеюсь, не только мне это будет интересно — хотя бы с эстетической точки зрения.
И если кто-то располагает информацией на эту тему, естественно, милости прошу присоединяться.

Начну я, естественно с евклидовой геометрии и с самого Евклида.


Надо сказать, что в Википедии очень развёрнуто и интересно написано и о Евклиде и о его "Началах" и отдельно о Пятом постулате. Поэтому я постараюсь не слишком дублировать информацию оттуда.
Вот что пишет Бертран Рассел в "Истории Западной философии".

Евклид, труды которого в дни моей молодости все еще оставались единственным признанным учебником геометрии для школьников, жил в Александрии около 300 года до н.э., спустя некоторое время после смерти Александра Македонского и Аристотеля. Большая часть его "Начал" не являлась оригинальным произведением, но порядок в последовательности теорем и логическая структура были в основном его собственными. Чем больше изучаешь геометрию, тем восхитительнее они кажутся. Интерпретация параллельных посредством знаменитого постулата о параллельных имеет двойное достоинство: дедукция здесь строга и в то же время не скрыта сомнительность исходного предположения. Теория пропорции (тройное правило), которой следует Евдокс, обходит все трудности, связанные с иррациональными числами, при помощи методов, по существу схожих с теми, которые были введены в математический анализ Вейерштрассом в XIX столетии. Затем Евклид переходит к своего рода геометрической алгебре и трактует в книге Х иррациональные числа. После этого он переходит к рассмотрению пространственной геометрии, заканчивая построением правильных многогранников, которое было усовершенствовано Теэтетом и принято в "Тимее" Платона.

"Начала" Евклида являются, безусловно, одной из величайших книг, которые были когда-либо написаны, и одним из самых совершенных памятников древнегреческого интеллекта. Конечно, книга эта носит и черты типически греческой ограниченности: метод в ней чисто дедуктивный и не содержит в себе способа проверки исходных предположений. Эти предположения считались неоспоримыми, но в XIX веке неевклидова геометрия показала, что отчасти они могли быть ошибочными и что только наблюдение способно решить, являются ли они таковыми.

Евклид презирал практическую полезность, которую внедрял Платон. Говорят, что один ученик, прослушав доказательства, спросил, что выиграет он изучением геометрии; тогда Евклид позвал раба и сказал: "Дай молодому человеку грош, поскольку он непременно должен извлекать выгоду из того, что изучает". Однако презрение к практике было прагматически оправдано. Никто не предполагал во времена греков, что изучение конических сечений принесет какую-либо пользу: но, наконец, в XVII веке Галилей открыл, что снаряды двигаются по параболе, а Кеплер - что планеты двигаются по эллипсам. Неожиданно та работа, которую греки проделали из чистой любви к теории, стала ключом к ведению войны и к развитию астрономии.

Римляне были слишком практическими людьми, чтобы должным образом оценить Евклида; первым из них, кто упомянул о нем, был Цицерон, во времена которого, возможно, не было латинского перевода сочинений Евклида; и в самом деле, нет письменного свидетельства существования латинского перевода до Боэция (480 год н.э.). Арабы оценивали его лучше: экземпляр сочинений Евклида был подарен калифу византийским императором около 760 года н.э., а при Гарун-аль-Рашиде, около 800 года н.э., был сделан перевод на арабский язык. Первый сохранившийся до нашего времени латинский перевод с арабского был сделан Аделяром из Бата в 1120 году н.э. С этого времени изучение геометрии постепенно возрождалось на Западе; но лишь в эпоху позднего Возрождения были достигнуты важные успехи в этом деле.

Текст "Начал" есть в библиотеке Колхоза, а значит, и на либрусеке.
Вот

@темы: Amicus Plato, Люди, Поп-математика

URL
Комментарии
2009-11-20 в 14:47 

Mist*
реликтовый долбоящер
спасибо)
очень хочется дальше почитать. поскольку я, к стыду своему, тоже крайне мало знаю о неевклидовой геометрии.

2009-11-20 в 16:11 

inquisitor
Рыцарь со страхом и упрёком. // NULLA DIES SINE DIEI IRAE // N'Ayez pas peur de soufrir le futur nous attend. // Утка подгорает!
Собственно, выжимки из неевклидовых геометрий составляют предмет тензороного анализа. =) Но освоить его на должном уровне весьма непросто...

2009-11-20 в 22:20 

Диана Шипилова
Quod erat demonstrandum
Мы тоже не изучали неевклидовые геометрии. У нас только проективная была, и то всего несколько лекций :) Но я давно интересуюсь этим вопросом! Псевдосфера, модель Клейна и пр. — это так клево!)))

2009-11-20 в 22:33 

Amicus Plato
Простыми словами
Mist*, Диана Шипилова
Ну, я постараюсь не затягивать с продолжением! ))

Диана, что-то мы с тобой как в одном вузе учились))

inquisitor
честно говоря, хоть тензорное исчисление у нас было очень неслабым курсом, ничего не помню относящегося к неевклидовой геометрии (
То я и само тензорное исчисление помню очень смутно, к сожалению...

URL
2009-11-20 в 22:40 

inquisitor
Рыцарь со страхом и упрёком. // NULLA DIES SINE DIEI IRAE // N'Ayez pas peur de soufrir le futur nous attend. // Утка подгорает!
тензорное исчисление у нас было очень неслабым курсом, ничего не помню относящегося к неевклидовой геометрии
А как же тензор кривизны (Римана или Вейля)? Геодезические линии и всё-такое прочее?
Всю неевклидову геометрию можно аналитически выразить тензорным исчислением, по аналогии с проективной геометрией и линейной алгеброй. =)

2009-11-20 в 22:47 

Amicus Plato
Простыми словами
inquisitor
я не в смысле, что нет соответствий, а в смысле, что я хоть убей не помню :(

URL
2009-11-21 в 00:15 

Quod erat demonstrandum
Ах, так вот где были эти комменты! А меня счетчик дискуссий постоянно выносил на неподвижную точку! :fire:

Диана, что-то мы с тобой как в одном вузе учились))
Это точно))))
Правда, у нас тензоры прошли по касательной, и я почти ничего не помню. Тензоры вроде являются обобщением таких понятий, как векторы и квадратичные формы?

2009-11-21 в 00:59 

inquisitor
Рыцарь со страхом и упрёком. // NULLA DIES SINE DIEI IRAE // N'Ayez pas peur de soufrir le futur nous attend. // Утка подгорает!
Диана Шипилова, скорее обобщением матриц. =)

Комментирование для вас недоступно.
Для того, чтобы получить возможность комментировать, авторизуйтесь:
 
РегистрацияЗабыли пароль?

Поп-математика для взрослых детей

главная