[Amicus Plato]

Я смотрю, никого особо не вдохновили ординальные числа...
Ну, ладно...

Вернемся теперь к числу π.
Не так давно я прочитала книжку (художественную) сербского писателя Зорана Живковича под названием "Четвертый круг".
Сквозь все сюжетные линии (которых немало) проходит, да собственно и связывает их вместе, мысль о мистических свойствах круга. И не просто "мистических", "жизнеобразующих" и даже "мирообразующих"!
Из круга возникло Всё!
Главные герои книги:
- гениальный конструктор-индус, создавший себе компьютер с искусственным интеллектом (женского пола с женской же логикой), ставший буддистским монахом и удалившийся от мира в джунгли (с компьютером же);
- сам компьютер, вполне себе человекоподобно мыслящий;
- а кроме того, Архимед, Стивен Хокинг, еще огромная куча народу, в том числе представители внеземных цивилизаций.
Еще отдельно время от времени описывается некий передатчик, установленные на некой же планете. Передатчик создан столь высокой цивилизацией и столь совершенен, что попирает Второе начало термодинамики и способен работать практически вечно. И никто не знает, когда, кем, а главное зачем он был установлен. От той цивилизации не осталось даже воспоминаний, а он всё работает... Однако единственное, что известно достоверно: направлен он в очень удаленную, но абсолютно четко зафиксированную точку Вселенной, и все эти бесконечные тысячелетия он шлет туда знаки числа π.

Вот, в принципе, и всё, чем я хотела предварить вот эту ссылку:

www.kosogorov.ru/rzn/occasion3.htm

А теперь скажите мне: что происходит?
Может ли быть такое, что весь мир одинаково начинает сходить с ума?
Или это в ноосфере новое завихрение образовалось?
Или просто случайно так выходит...

UPD. Прощу прощения! Забыла поблагодарить! Ссылка была любезно предоставлена [L]Carven von Xanadu[/L]. Спасибо!

@темы: Поп-математика, Интересные ссылки

---

Ординалы и кардиналы. Замечание

[Amicus Plato]

Еще чуть-чуть того же самого другими словами.
Каким образом можно провести различие между ординальными числами ω и ω+1?
Сами элементы множеств с такими ординалами могут быть одинаковыми (а могут и нет)! Важно лишь то, каким образом мы задаем отношение порядка!

Например, множество натуральных чисел в "обычном виде": {1, 2, 3, ...} имеет ординальное число ω, представляющее всю последовательность натуральных чисел в её обычном порядке.
Также ординальное число ω имеют множества:
{10, 20, 30, ...}
{100, 200, 300, ...}
{1, 2, 4, 8, 16, ...}
...
Однако множество всех натуральных чисел в перестроенной последовательности {2, 3, 4, ..., 1} или же множество чисел в последовательности {20, 30, 40, ..., 10} имеет ординальное число ω+1.
И не обязательно первое число переставлять назад. Это можно сделать с абсолютно любым элементом множества:
{100, 200, 400, ... 300}
{1, 2, 4, 8, 16, ..., 32}
также имеют ординальное число ω+1.

Другими словами, значение кардинального числа зависит от задания порядка на множестве, а если неформально: от размещения бесконечно длинных пробелов, помеченных многоточием.

0) Если многоточие стоит в самом конце, то ординальным числом бесконечного множества будет ω.
1) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится одно число, то ординальным числом новой последовательности будет ω+1.
2) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится два числа (например {3, 4, 5, ..., 1, 2}), то ординальным числом новой последовательности будет ω+2.
...
ω Множество {1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...} имеет два бесконечных пробела, поэтому его ординальное число равно ω+ω или 2ω.
И т.д.
Таким образом, сколько бесконечных пробелов, столько и омег в нашем ординале!

Важно, что все эти множества имеют одно и то же число элементов. То есть между любыми двумя из вышеперечисленных множеств, а также между каждым из этих множеств и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.
Только оно не будет изоморфизмом, потому что порядок при таком соответствии не сохраняется.
Поэтому кардинальные числа всех этих множеств одинаковы, хотя их ординальные числа различны.

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

---

Ординалы и кардиналы III

[Amicus Plato]

Выстроим цепочку ординальных чисел:
0 → ∅ (пустое множество)
1 → {1}
2 → {1, 2}
3 → {1, 2, 3}
4 → {1, 2, 3, 4}
5 → {1, 2, 3, 4, 5}
6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6}
...
Можем ли мы построить такое число, которое соответствовало бы множеству всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}?
Наибольшего ординального числа, ассоциированного с последовательностью конечных множеств просто не существует, как не существует и наибольшего натурального числа.
Но так же, как мы вводим понятие бесконечности: ∞, мы определим новое, трансфинитное ординальное число ω (омега) как первое число, следующее за всей последовательностью ординальных чисел чисел 1, 2, 3, ... .

ω → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Омега является порядковым типом множества всех натуральных чисел.

А теперь сделаем вот такой хитрый ход...

А теперь сделаем вот такой хитрый ход: возьмем и перенесем единичку в самый конец, после многоточия (когда все натуральные числа мы уже перечислили). Вот так:

{2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}

Сначала заметим, что у множества без единички на конце: {2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} ординальное число ω, потому это множество изоморфно всему натуральному ряду:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
_↑_↑_↑_↑_↑_ ↑_↑
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Множество же {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1} натуральному ряду не изоморфно, потому что для последней единички (наибольшего элемента множества) в натуральном ряду нет соответствующего элемента.

Этому множеству (также вполне упорядоченному, только порядок мы слегка поменяли) будет соответствовать ординальное число ω+1, потому что "после всего" у нас стоит еще один элемент!

ω+1 → {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}

Эту цепочку нетрудно продолжить:

ω+2 → {3, 4, 5, 6, 7, ..., 1, 2}
ω+3 → {4, 5, 6, 7, ..., 1, 2, 3}
...

И снова сделаем хитрый ход: вспомним, что натуральный ряд состоит из четных и нечетных чисел, и что мощность натурального ряда, множества четных чисел и множества нечетных чисел одинаковы и равны алеф₀
Оставим впереди все нечетные числа, а все четные числа перенесем за многоточие:

{1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,.... }

Это множество вполне упорядочено. Первой его части (включая первое многоточие) соответствует ординал ω, и второй части — тоже ω!
Значит, это можно записать в следующем виде:

ω+ω = 2ω → {1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,.... }

Я пишу так подробно (может и зря) потому, что все эти переходы в более-менее серьезной литературе пропускаются, и от этого остается чувство, что где-то тебя глубоко надули! Ловкость рук и никакого мошенничества! Трудно поверить, что всё по-честному! Мне, во всяком случае, — трудно!

Следом за 2ω цепочка строится дальше:

2ω+1 → {3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,....,1}
2ω+2 → {3, 5, 7, ... , 4, 6,....,1, 2}

Если мы поделим теперь натуральный ряд не на два бесконечных подмножества: четные-нечетные числа, а на три — по остатку от деления на три: 0, 1 или 2, получим:

ω+ω+ω = 3ω → {3, 6, 9, ... , 1, 4, 7,...., 2, 5, 8,... }

Продолжая дробить натуральный ряд, можем получить:
3ω+1
3ω+2
...
3ω+ω=4ω
...
ω ⋅ ω = ω²
ω²+1
...
ω²+ω
...
ω²+ω+1
...
ω²+2ω
...
ω²+ω ⋅ ω = 2ω²
2ω²+1
...
ω² ⋅ ω =ω³
...
ω^ω
...
Дальше у нас получится:
ω^ω в степени ω
...
ω^ω в степени ω в степени ω
...
ω^ω в степени ω в степени ω в степени ω........
...
И все эти ординальные числа получаются для множеств, по-разному составленных из одного и того же множества натуральных чисел!

Всё это бесконечное число ординалов соответствует одному единственному кардиналу: алеф-ноль!

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

---

Ординалы и кардиналы II

[Amicus Plato]

Итак, с вполне упорядоченными множествами мы разобрались.
Я всё-так расскажу, что такое ординальные числа, сперва на примере конечных множеств.

Помните пример с овцами? Чтобы пронумеровать шесть овец, нужно установить взаимнооднозначное соответствие между каждой овцой и одним из чисел от 1 до 6.
Я писала об этом здесь.
Упорядочим это множество по номерам:

овца₁ < овца₂ < овца₃ < овца₄ < овца₅ < овца₆

Как только мы хоть каким-нибудь образом установим однозначное соответствие каждого из шести элементов любого шестиэлементного множества с натуральным числом от 1 до 6, мы создадим на этом множестве полный порядок! И оно тут же станет изоморфным множеству наших овец, а также множеству {1, 2, 3, 4, 5, 6} с отношением «<».
Ординальное число 6 служит абстракцией всех вот таких вот вполне упорядоченных шестиэлементных множеств.

Ординальное число 6 (как вроде бы интуитивно понятно) следует за ординальным числом 5 (соответствующим всем изоморфным друг другу вполне упорядоченным пятиэлементным множествам).
А за ординальным числом 6 идет ординальное число 7.

В примере с нашими овцами ординальное число 6 совпадает с кардинальным, т.е. с мощностью этого множества.
Однако вот это вот утверждение верно только для конечных множеств!

Георг Кантор показал, что можно построить бесконечное число бесконечных множеств, имеющих разные ординальные числа, но одно и то же кардинальное число.
Вскоре и мы это покажем!

Вот, что я вычитала в одной статье:
Фактически Кантор позднее сумел превратить это свойство бесконечных множеств в критерий отличия их от конечных множеств: множество конечно, если его кардинальное и ординальное числа совпадают.
С бесконечными множествами сейчас разберемся отдельно!

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

---

Ординалы и кардиналы I

[Amicus Plato]

Начну сейчас писать про ординальные числа.

Сначала подведу некоторый итог нашим знаниям о числах кардинальных. Что мы о них знаем? Для обозначения мощности (то есть "количества элементов") бесконечных множеств Георг Кантор ввел так называемые трансфинитные числа.
Обозначение этих кардинальных чисел, которым мы пользуемся по сей день, придумал сам Кантор. Он обозначал их в виде буквы א (алеф) — первой буквы еврейского алфавита.
Как я уже говорила раньше, мощность счётного множества равна א₀.
Везде где алефы с индексами, сперва идет алеф, а за ним 0 или 1 (т.е. алеф₀, алеф₁). Просто этот алфавит хочет писаться только справа налево((( Замучилась, но не могу исправить ))))
Множества N (натуральных чисел), Z (целых чисел) и даже Q (рациональных чисел, — чисел, которые можно представить в виде обыкновенных дробей) являются счетными.
Следом за א₀ идет א₁ — мощность континуума. Это мощность множества действительных чисел (рациональных+иррациональных), а также мощность любого отрезка действительной оси.
Как было показано, множество точек плоскости (хотя на вид ГОРАЗДО больше, чем множество точек прямой) тоже имеет мощность א₁.
Но есть и следующие алефы, и число их бесконечно.

Однако исторически сложилось так, что первыми трансфинитными числами стали не кардинальные, а ординальные числа.

Чтобы ввести определение ординального числа, нужно сначала разобраться, что такое вполне упорядоченное множество.

Вполне упорядоченное множество — это множество, на котором:
1) задано отношение порядка, причем
2) этот порядок линеен, и кроме того,
3) в этом множестве есть наименьший элемент.

Объясняю всё по порядку (простите за каламбур).
1) Отношение порядка — это с формальной точки зрения такое отношение, которое позволяет:
а) сравнить каждый элемент множества с самим собой (свойство рефлексивности);
б) утверждать, что если порядок таков, что элемент а предшествует b, а b предшествует с, то а тем более предшествует с (свойство транзитивности);
в) утверждать, что два условия:
1) элемент а предшествует b и 2) элемент b предшествует а
выполняются одновременно тогда и только тогда, когда а=b (свойство антисимметричности).
То есть отношение порядка это и есть "порядок" )))
Если выстроить всех людей по росту — это будет отношением порядка.

2) линейный порядок означает, что любые два элемента множества сравнимы: для любых а и b: либо а предшествует b либо b предшествует а! Не может быть такого, что мы не знаем как их соотнести! То есть если мы строим людей по росту, нам ни в коем случае нельзя, чтобы каких-то двух и более человек мы не могли бы расставить! Т.е. сказать: ваш рост равен, внутри вашей группы становитесь, как хотите! Нет! Будем измерять их с точностью до микронов, но расставим строго одного за другим и не позволим меняться местами!

3) существование наименьшего элемента. Ну, с людьми как раз всё просто. Человек с наименьшим ростом имеется по определению. А вот с другими множествами — не факт. Множество целых чисел казалось бы прекрасно упорядочено: для каждой пары чисел можно сказать какое больше, а какое меньше! Но оно не является вполне упорядоченным, потому что не имеет наименьшего элемента!

Зато прекрасный образчик вполне упорядоченного множества — множество натуральных чисел.

И вот теперь перехожу к финальной части: оказывается, для каждого вполне упорядоченного (не более чем счетного) множества существует изоморфизм (вспомните кросспост Trotil'а) в множество натуральных чисел.
В нашем случае изоморфизм — это взаимно однозначное отображение, сохраняющее линейный порядок.
В примере с людьми это означает, что людей, выстроенных по росту, можно пронумеровать. Первым будет наименьший человек, за ним второй, и т.д....
Но людей хоть и много, однако их число всё равно конечно.
Для любого вполне упорядоченного бесконечного множества точно так же имеется нумерация элементов, соответствующая заданному отношению полного порядка!
Всё это может скучновато и просто... Однако дальше начнется самое интересное! )))

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

---

[Amicus Plato]

Собираюсь продолжить с теорией множеств и написать про ординальные числа.
Но сперва хочу напомнить про числа кардинальные, потому что понятия эти довольно тесно связаны.
Про них так зачастую и пишут вместе: кардиналы и ординалы.
Кардинальное число — это обобщенное понятие "количества элементов множества".
Для любого конечного множества это и есть количество элементов.
А вот бесконечные множества тоже не все "одинаково велики". Есть более и менее "плотные" бесконечности.
Об этом я уже писала. Поэтому просто хочу напомнить.
Вот несколько "предварительных сведений" из записей сообщества.
0) Натуральные числа
1) Четные и нечетные числа
2) Мощность множества натуральных чисел
и, наконец, с этим же самым мы столкнулись совсем недавно в связи с задачей про Деда Мороза:
Мощность множества
В этой записи (как неожиданно оказалось) обобщены все предыдущие.

@темы: Бесконечность, Теория множеств, Amicus Plato

---

Приобретение знаний

[Amicus Plato]

Дорогие читатели и участники сообщества!
Я сейчас пишу статью, которая посвящена приобретению знаний.
"Приобретение знаний" имеется в виду "интеллектуальными системами", но пока ни о каких конкретных системах речи не идет. Пока тут разговор только о модели человеческой долговременной памяти.
Всё, что будет написано ниже, это не статья, и не черновик статьи, — это, скорее, мысли о том как работает человеческая память.
Я здесь совершеннейший не-специалист.
Поэтому очень прошу: любое ваше мнение для меня важно!
Допускаю с равной вероятностью, что то, что здесь написано:
а) общеизвестно и любой дурак кроме меня об этом знает;
б) полная туфта, и в принципе не содержит рационального зерна;
в) интересно но неверно;
г) верно, но из этого ничего нельзя вывести;
и т.д.
Одним словом, нижайшая просьба прочитать и написать пару слов: не только и не столько выбрать вариант из вышеперечисленных оценок, сколько высказать свое мнение! Просьба как к математикам, так и к психологам и философам, а также ко всем-всем-всем, потому что "проблема", собственно, "общечеловеческая".
Копирайт тут везде мой)))
Стиль ровно такой, какой можно выжать за два часа с чистого листа (то есть будет рихтоваться).
Спасибо!
Warning: текста много.

Приобретение знаний

Приобретение знаний

Как человек узнает что-то новое?
Качество усвоения новых знаний напрямую зависит от того, как тесно они связаны с теми знаниями, которые у нас уже имеются. Чем теснее связь, тем больше вероятность того, (вероятность здесь не совсем точное слово), что полученное новое знание запомнится, сохранится в памяти.
Другими словами.
Каждый человек обладает своей моделью мира. Это его представление об объектах реальности (сущностях) и связях между ними.
Пусть модель эта представлена в некотором «материальном» виде: как множество имен объектов с перечисленными свойствами, и множество всевозможных связей между этими объектами.
Если начертить на бумаге схему, получится большой-большой граф, состоящий из огромного количества вершин (понятий, которыми мы обладаем) и помеченных дуг (связей между ними). Про свойства я сейчас нарочно не говорю: к свойствам потом вернемся отдельно.
И вот, представим, что мы узнаем новый объект действительности. Совсем новый, а не что-то дополнительное о старом. То есть в нашем графе для него нет вершины. Вершина создана. Пока она остается изолированной вершиной, нет практически никаких шансов, что это знание «осядет» в долговременную память. Потому что 1) у нас для этого знания нет никаких ассоциаций с тем, что нам уже известно; 2) если таких ассоциаций нет, то наверняка это знание не будет востребовано в дальнейшем (оно из какой-то чуждой нам области действительности). Здесь есть оговорка: если мы начинаем что-то изучать с нуля, и оно нам заведомо понадобится. Тогда, во-первых, наверняка это знание будет запоминаться вновь и вновь, а во-вторых, умный человек так или иначе будет ассоциировать его с тем, что уже знает.
Так вот, что я хочу сказать: чем больше связей у новой вершины со старыми, чем теснее они, тем легче этому знанию интегрироваться в нашу модель мира. Как если бы в ней изначально были пустые места, лакуны, – специально отведенные для этого знания.
Но дело тут не в одном количестве ассоциаций.
Ассоциация может быть даже единственной – главное, чтоб она была достаточно сильной.

А вот теперь пример из жизни.
Встречаются два давних друга, которые не виделись лет десять. И одни другому говорит: вот мой новый телефон: [phone].
Второй отвечает: жаль, записать некуда, а памяти на номера у меня никакой…
Тогда первый говорит: да что ты, это легко! 365 – дней в году; 32 – зуба у человека, 17 – год ВОСР. Вот и всё.
Обычная мнемотехника, которая работает на ассоциациях. И телефон действительно запомнен. Конечно, не во всех случаях бывает так. Вспомним хотя бы «Лошадиную фамилию». Однако же именно ассоциации играют одну из главных ролей в долговременной памяти.
Таким образом, как мы только что увидели, «близость понятий» может быть как естественной, так и искусственной.

Долговременная память устроена таким образом, что не все знания доступны в равной мере. Если представить память в виде аморфной массы, в виде, предположим, океана, то чем ближе к поверхности, тем знание доступнее. А расстояние до поверхности определяется востребованностью знаний на каждый конкретный момент времени. Любое знание, (кроме возможно, повседневно-бытового) – «тяжелое». Оно имеет тенденцию тонуть – опускаться вниз. Просто в силу того, что знание у самой поверхности самое динамичное и всё время замещается и пополняется. Только если всё время пользоваться знанием – активизировать его, т.е. переводить из «нейтрального состояния» в котором оно находится в долговременной памяти, в активное: переносить его в оперативную память, – только тогда оно будет удерживаться на поверхности. Иначе – заместится чем-то более новым и/или востребованным (нужным).
И вот если даже знание было в долговременной памяти и «утонуло», то вероятность выудить его оттуда тем выше, чем больше ассоциированного с ним знания осталось близко к поверхности.
Тогда как за ниточку, по ассоциации, любое знание можно вытащить из самых глубин.

С человеком всё «понятно».
Возможно ли создать искусственную систему, которая хранила бы знания подобным образом. Которая могла бы оперировать такими вот ассоциациями?
Ассоциации не должны быть (как это делается чаще всего) таксономическими, родовидовыми связями, сохраняющими наследование свойств. Это должно быть чем-то совершенно иным!

Вот что я предлагаю.
Я предлагаю взять за основы не имена объектов и связи между ними, а набор всех-всех свойств, с помощью которых мы образуем ассоциации. Под «свойствами» можно в некоторых случаях понимать и сами объекты, а также и события. (Например, кто-то хорошо усвоил теорему Ролля только потому что завалил ее на экзамене! И теперь стоит только вспомнить это злополучный день, как теорема Ролля с доказательством как на ладони!)
Получаем для каждого свойства множество сущностей, которые этим свойством обладают. В каждом таком множестве сущности окажутся проассоциированными друг с другом этим общим свойством.
Например, зеленые попугаи будут ассоциироваться с зелеными автомобилями и зеленой травой и листьями по свойству «зеленый».
Понятно, что каждая сущность попадет в несколько (иногда очень много) таких множеств.

И вот когда мы узнаем о каком-то новом объекте, мы помещаем его сразу во все множества свойств, которыми он обладает.
Тем самым, мы умножаем его многократно (при условии, что между всем копиями этого объекта у нас должно установиться отношение эквивалентности, чтобы мы всегда помнили: речь идет об одном и том же объекте, а не о множестве разных). Чем больше ассоциаций вызывает у нас новый объект, тем больше он размножится, тем в большие места памяти попадет. И даже если потом в одном месте он будет «забыт», всегда можно будет извлечь его из другого места, и воспользовавшись цепочкой эквивалентностей, восстановить образовавшийся «пробел памяти». Может быть, именно от этого человеческая память устойчива…
Понятно, что приведенный выше пример с цветом не совсем показателен. Кластеры, на которые разбиваются объекты по цветам, слишком обширны и разнородны. Однако же многим легко вспомнить автора книги и название, вспомнив цвет обложки!

Как задел на будущее: для создания многочисленных дублей объекта (когда уже речь зайдет о компьютерном представлении) надо будет использовать фрактальную теорию: создать много «маленьких» частей, каждая из которых была бы идентична целому, но занимала бы совсем немного места в памяти (сумма всех таких частей – гораздо меньше, чем одно целое, из которых они составлены). Но это уже потом.

В прошлых своих работах я пыталась моделировать творческое мышление. Здесь об этом речь не идет: просто пусть мы читаем учебник и узнаем то, чего раньше не знали. Или получаем другое, уже готовое, знание. Однако же при рассмотрении творческого мышления такой подход тоже должен сыграть свою роль. Метафорическое мышление, ассоциативное мышление часто помогают открыть что-то новое на основе нестандартного применения старого знания. Здесь как раз и может пригодиться анализ принадлежности объектов к общим множествам.

Итак. Продолжим. Если пока оставить в стороне «силу ассоциаций», «близость», которые мы пока не можем измерять, то пусть пока что ассоциация либо есть либо ее нет. То есть объект либо входит в множество, названное именем данного свойства, либо не входит.
Чем больше ассоциаций, тем, естественно, надежней мы что-то запомнили.
(Объем памяти для этого лишнего запоминания не увеличивается, хотя объект и дробится).
Например, возьмем тот же номер телефона:
365-32-17.
Если человек математик, ему проще запомнить 32 как 2^5, а не как количество зубов. Однако одно не противоречит другому. Значит, число 32 попало у нас уже как минимум в два различных множества, что увеличило надежность запоминания вдвое.
Если мы вдруг забудем про зубы, мы можем вспомнить про 2^5, и тогда можно вспомнить, что и зубов 32! )))
Или наоборот.
Константа е=2,718281828459045…
Это знают почти все, кто так или иначе связан с математикой.
Однако человечество делится на два непересекающихся множества (правда, разбиение не полно): одни выучивают е, используя год рождения Льва Толстого – 1828, другие же наоборот, – год рождения Льва Толстого помнят исключительно благодаря числу е!
Получается, что любому предмету, сущности реального мира, соответствует много одинаковых образов, связанных отношением эквивалентности как между собой так и с самим объектом.
Таким образом, информация обладает повышенной устойчивостью.

Рассмотрим пример, в котором количество свойств будет не слишком большим.

Смоделируем предметную область, состоящую из плоских разноцветных многоугольников.

Будем рассматривать следующие свойства:
1. количество углов;
2. равенство сторон;
3. равенство углов;
4. параллельность сторон;
5. выпуклость;
6. цвет.
Это не значит, что в нашей предметной области 6 множеств. Их гораздо больше:
N= N1+(N1+1)+[N1/2]+ N1+2+N2,
Где первое слагаемое равно количеству множеств, соответствующему разному количеству углов рассматриваемых многоугольников: от 3 до N1-2.
Второе слагаемое показывает сколько сторон в многоугольнике равны (от 2 до N1-2).
Третье слагаемое: количество возможных пар параллельных сторон,
Четвертое: количество равных углов;
Пятое – 2 – отвечает за два множества, образованных по свойству «выпуклость», и наконец, последнее задает разбиение по N2 цветам.

Пусть мы узнаем о существовании объекта «зеленый ромб» (все объекты мы задаем с точностью до преобразования подобия), то есть в нашей модели есть идеальный зеленый ромб (сущность-прототип), который определяется интенсионально: перечнем своих свойств. (Множество свойств в таком пространстве идеальных объектов обязано быть полным).

Тогда наш идеальный ромб разделится на 7 своих частей-дубликатов:
Первая часть войдет в Множество Четырехугольников;
Вторая часть – в Множество Четырех Равных Сторон;
Третья – в Множество Пар Параллельных Сторон;
Четвертая и пятая – в Множество Двух Равных Углов: для одной и другой пары противоположных углов;
Шестая – в Множество Выпуклых Фигур;
Седьмая – в Множество Зеленых фигур.

Для ромба описание явно избыточно, Но не для других плоских фигур.
«Лишняя» информация будет способствовать дополнительной устойчивости.

И тут мы видим, что если перед нами объект «зеленый квадрат», нам никак не отличить его от «зеленого ромба».
Поэтому введем еще одно свойство: количество прямых углов.
Для семейства множеств от 1 до N1 (количество прямых углов для N1-угольников (с возможными самопересечениями)), – зеленый ромб не войдет ни в одно из них!

Тогда, если мы построим модель для зеленого ромба, она будет выглядеть следующим образом:
(«Зеленый ромб» обозначим через: Ei)

@темы: Искусственный интеллект, Amicus Plato

---

Понятие изоморфизма

[Trotil]

Кросспостинг из lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.php?t=11564&posto...
Автор популярно объясняет, что такое изоморфизм довольно интересным способом.

Вот есть толпа людей на улице. Некоторых я знаю по именам: это Вася, Петя, Маша и т. д. Некоторых не знаю, они для меня просто человеки.

А теперь мне вдруг захотелось поизвращаться. Я могу сделать две вещи.

1) Переобозвать людей. Скажем, начну называть Петю Машей, а Машу --- Петей. Сами люди при этом остаются теми же и делают то же самое, что и делали раньше. Меняются только имена, которые я им даю.

2) Имена я могу оставить прежними, а вместо этого заставлю одних людей исполнять функции других людей. Скажем, Петя до моего вмешательства шёл в магазин за кефиром, а Вася --- на свидание к Маше. И тут я подойду, наставлю на Машу заряженный револьвер и скажу ей: "Иди ты теперь в магазин за кефиром, а то убью". А потом наставлю револьвер на Петю и заставлю его целоваться с Васей вместо Маши. Револьвер --- серьёзный аргумент, так что они, скорее всего, меня послушают.

Эти два случая совершенно различны. Одно дело --- поменять имена элементов, а другое дело --- изменить их свойства. Думаю, для Васи разница очевидна. Если спросить у него, каким способом мне лучше сходить с ума, он тут же скажет: "Конечно первым! Ради Бога, называй Петю Машей, если тебе так хочется, но только не заставляй меня с ним целоваться!"

А теперь --- внимание: изоморфизм. Это совсем-совсем третье...

Вот предположим, что я, ничего не делая с людьми, просто пишу с натуры картину жизни общества. Сижу и записываю в тетрадочку: Петя пошёл в магазин, у Маши с Васей свидание... Записал, отложил тетрадочку. Потом поизвращался над людьми сразу обоими способами. То есть сначала назвал Петю Машей и наоборот, а потом ещё вдобавок подошёл к ним с револьвером и заставил поменятся ролями. Потом достал новыю тетрадочку и опять начал всё записывать. Записал, поставил точку, достал первою тетрадочку и сравнил, что написано там и там. И тут вдруг обнаружилась удивительная вещь: текст в обоих тетрадях оказался идентичен!

Это вовсе не значит, что идентичными были ситуации. Первый раз Васе приятно было целоваться, а второй раз нет. Если бы я был телепатом и записывал мысли Васи, то и тексты бы у меня тогда различались. Но я описывал лишь внешнюю сторону событий, а она оказалась одинакова. Структура общества в том виде, как она была наблюдаема со стороны, была одной и той же: субъект по имени "Петя" шёл за кефиром, субъекты "Вася" и "Маша" проводили время вместе. Ситуации, как сказал бы математик, были "изоморфными".

Изоморфизм --- это не что иное, как совпадение форм (залезьте в этимологический словарь и попробуйте перевести это слово с греческого) Изоморфны, например, два кубика, один из которых железный, а другой пластилиновый. При этом кубики различны: различие можно легко пощупать рукой. Но для геометра они одинаковы, поскольку материал его не интересует. Изоморфны ключи, открывающие один и тот же замок, несмотря на то, что в комплекте их может быть несколько. Изоморфны векторные пространства одинаковой размерности, изоморфны все счётные плотные линейные порядки без концов... Если мы берём группу перестановок трёх яблок и группу перестановок трёх груш, то эти группы тоже изоморфны, ибо у них одинаковая групповая структура (а какие мы там фрукты переставляем, для математика неважно).

Существует теорема о том, что "числовых структур" с точностью до изоморфизма всего пять. Это очень глубокая теорема: она говорит о том, что возможны всего лишь пять форм таких структур и не более. Самих-то структур, понятно, можно наляпать сколько угодно. Они будут состоять из разного материала, иметь разные носители или даже один и тот же носитель, но с различными интерпретациями "функций" и "имён", однако... если мы сядем и будем записывать в тетрадочку их наблюдаемые свойства (aka доказывать про них теоремы), то, как оказывается, можно создать всего лишь пять таких описаний!

@темы: Поп-математика, Интересные ссылки

---

...и сказал... Бог

[chebur12]

(с) T.Shamanchik

@темы: )))

---

Кризис математики, вызванный антиномией Рассела

[Amicus Plato]

Возможно кому-то покажется, что "кризис" — слишком сильно сказано, но определение это не моё.
Ниже под катом процитирую выдержки из "Исторического введения", данного в книге Френкеля и Бар-Хиллела "Основания теории множеств".

А вот моя преамбула (куда более наивная, чем наивная теория множеств).
Мне, как, наверное, многим, кто сталкивался с теорией множеств в рамках вузовской программы, всегда казалось, что это — устоявшаяся, так сказать, незыблемая, классическая область математики, (вполне возможно потому, что она очень широко используется практически везде и всюду)! И что так было если не всегда, то по крайней мере с очень давних пор.
Теория множеств казалась мне одной из самых стройных и красивых (и, следовательно, проверенных временем и надежных) математических теорий. Однако стоило копнуть немного глубже, как оказалось, во-первых, что не такая уж она и старая (скорее молодая), во-вторых, не такая уж и "классическая" (хотя за последние десятилетия мир, наверное перестал удивляться чему-то "неклассическому"), а в-третьих, в свое время она оказалась не побоюсь этого слова скандальной.
Та аксиоматическая теория, которую мы имеем на сегодняшний день, претерпела множество кардинальных пересмотров и метаморфоз, прежде чем стала тем, что теперь кажется само собой разумеющейся классикой, покрывшейся не одним слоем патины...

Почти цитата (кое-где я позволила себе небольшие вольности)

Открытия Кантора, относящиеся примерно к 1873 году и постепенно оформившиеся в самостоятельную ветвь математики, вначале натолкнулись на недоверие и даже прямой антагонизм многих математиков и безразличие со стороны подавляющего большинства философов.
Только в начале девяностых годов теория множеств вошла в моду и стала, сверх всяких ожиданий, широко применяться в анализе и геометрии.
Но в тот самый момент, когда смелое видение Кантора, казалось, с триумфом достигло кульминации, когда его результаты приняли окончательный систематизированный вид, он столкнулся с первой из антиномий теории множеств. Это произошло в 1895 г. Хотя Кантор не был способен в то время предложить разрешение этой антиномии, ситуация не казалась слишком серьезной: эта первая антиномия возникала в довольно специальной области теории вполне упорядоченных множеств, и, вероятно, была надежда, что легкий пересмотр доказательств теорем, входящих в эту область, мог бы спасти положение, как это не раз бывало раньше при аналогичных обстоятельствах.
Этому оптимизму был, однако, нанесен решительный удар. В 1902 г. Бертран Рассел поразил философов и математиков, указав антиномию, относящуюся к самым началам теории множеств и показывающую, что в основаниях этой дисциплины что-то неблагополучно. Но антиномия Рассела потрясла основы не только теории множеств: в опасности оказалась и сама логика. Требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести антиномию Рассела в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий.
Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых "точных" наук — логики и математики.
Парадокс Рассела явился истинным потрясением для тех немногих мыслителей, которые занимались проблемами обоснования (логики и математики) на рубеже XIX и XX столетий.
Рихард Дедекинд в своих глубоких исследованиях о природе и назначении чисел положил в основу арифметики отношение принадлежности — его метод “цепей” может даже быть взят за основу в теории вполне упорядоченных множеств — и использовал понятие множества в его полном канторовском смысле для доказательства существования бесконечных множеств. Вследствие удара, нанесенного ему антиномией Рассела, Дедекинд на некоторое время приостановил публикацию своих исследований, основу которых он счел расшатанной.
Еще более трагичной была судьба Готлоба Фреге: он как раз только что закончил после десятилетий напряженной работы свой главный труд ("Основные Законы арифметики"), когда Рассел сообщил ему о своем открытии. В первой же фразе послесловия Фреге отмечает, что фундамент его здания поколеблен Расселом.
Нет ничего удивительного в том, что многие математики, только-только начавшие воспринимать теорию множеств как полноправного члена сообщества математических наук, изменили свою позицию. Типичный пример этой перемены — Пуанкаре, один из ведущих математиков того времени, до этого сам содействовавший пропаганде и распространению идей теории множеств. В течение ряда лет после 1902 г. его отношение к мерам, предлагавшимся Расселом для реабилитации теории множеств, было неизменно насмешливым.
Надо сказать, что сам Кантор ни на минуту не терял веры в свою теорию в ее полном "наивном" объеме, хотя и оказался не в состоянии ответить на вызов, брошенный ему антиномией Рассела. Другие ученые заявляли, что нечего особенно волноваться по поводу этой и других антиномий, и, проводя различие между "канторизмом" и "расселизмом", предостерегали против приписывания "искусственно построенным" антиномиям сколько-нибудь решающего значения. Трудно, однако, отстаивать эту позицию.
Хорошо известно, что во всей математике — и в других науках — изучение самых общих, во всей их неограниченной общности, понятий часто оказывалось чрезвычайно ценным для развития науки. Наивно думать, что трудности можно преодолеть, просто избегая рассмотрения общего случая. Наконец, резко разграничивать математику (которая сама по себе, конечно, хороша!) и логику (которой каждый здравомыслящий математик должен ради блага своей души избегать) по меньшей мере бесполезно: математика постоянно использует логику, хотя это использование зачастую замаскировано и явно не учитывается; если же кто-либо хочет ограничить это применение, то такие ограничения следовало бы не затемнять, а явно и четко формулировать.
Верно, что область собственно математических рассуждений как в анализе, так и в геометрии не затрагивается непосредственно действием парадоксов. Парадоксы возникают главным образом в области крайних обобщений, за пределами фактического применения понятий геометрии и анализа. Принять меры к тому, чтобы избежать этой опасной области, в общем нетрудно. Это и есть главная причина того, что многие математики так быстро оправились после первого шока, вызванного открытием антиномий. Тот факт, что многие предпочитали говорить не о противоречиях, а о парадоксах свидетельствует о том, что в глубине души большинство современных математиков не хотели быть изгнанными из рая, в который их ввели открытия Кантора.

Как бы то ни было, и сегодня нельзя недооценивать психологического эффекта, производимого антиномиями на многих математиков. В 1946 г., спустя почти полстолетия после того, как антиномия Рассела повергла в отчаяние Дедекинда и Фреге, один из выдающихся ученых (Герман Вейль) сделал следующее признание:

"Мы меньше, чем когда-либо, уверены в первичных основах (логики и) математики. Как все и вся в мире сегодня, мы переживаем “кризис”. Он продолжается уже почти пятьдесят лет. На первый взгляд, он не мешает нашей ежедневной работе; однако я могу признаться, что на самом деле он оказал сильное влияние на мою математическую деятельность: он направлял мои интересы в область, казавшуюся мне относительно “безопасной”, и постоянно подрывал во мне энтузиазм и решимость, необходимые для всякой исследовательской работы."

@темы: Парадоксы, Теория множеств, Amicus Plato

---

[Amicus Plato]

Добавила ссылку на книгу Саймона Сингха "Великая теорема Ферма".
Как-то начинала ее читать, и осталась под впечатлением. А потом забыла про нее.
Пусть теперь будет на видном месте.
Однозначно рекомендовать не могу, потому что до конца не читала еще сама.
Но полистать, думаю, стоит!

@темы: Интересные ссылки

---

Парадокс Рассела

[Amicus Plato]

Наконец-то перейду к сути парадокса.
А потом всё же еще напишу, почему же он оказался такой важной вехой в истории развития математики в целом и теории множеств в частности.
Именно благодаря этому парадоксу была сформулирована аксиоматическая теория множеств.
Аксиоматик на сегодняшний день существует несколько. Самой распространенной системой аксиом для теории множеств является система аксиом Цермело — Френкеля (ZF), к которой кроме Эрнста Цермело и Адольфа Френкеля приложил руку и норвежский математик Торальф Сколем.

Парадокс был открыт Расселом по одним источникам в 1902, по другим — в 1903 году. Позднее независимо от него этот же парадокс открыл Эрнст Цермело.
Именно этот парадокс наглядно продемонстрировал противоречивость наивной теории множеств Георга Кантора.

Его формулировка никого из нас не удивит. Разбиравшийся здесь парадокс брадобрея — лишь его альтернативная интерпретация.

Парадокс Рассела
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?
Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие.
Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Как мы видим, если бы речь шла о брадобрее, а не о математических понятиях, мы бы сказали, что здесь у нас слова, принадлежащие разным уровням иерархии: "множество всех множеств" — это слово метаязыка, в то время как "множество" слово предметного языка.
Если мы уберем путаницу в терминах, парадокс исчезнет.
Всё бы хорошо, но в Mengenlehre Кантора множество множеств тоже является множеством и такие рассуждения попросту неприменимы!

О том, каким ударом по самым основам математики стал этот парадокс, я расскажу позже.

Для его преодоления было предложено несколько способов.

Первым способом стал поиск непротиворечивой формализации теории множеств, которая определяла бы какие именно операции применимы к множествам; какие являются легитимными, а какие таковыми не являются. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

В процессе поиска такой формализации теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций.
Однако ирония судьбы состоит в том, что ни для одной из них нельзя найти доказательства непротиворечивости.
По теореме Гёделя о неполноте, такого доказательства просто не существует!

Совершенно иной реакцией на открытие парадокса Рассела явилось новое течение в математике (и философии) — интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра.
Интуиционизм — это такая система идей и методов, которая признает только «интуитивно убедительные» построения. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением.
Интуиционизм отверг напрочь теоретико-множественный подход к определению математических понятий, потому что объект "множество" относится к объектам с "интуитивно не ясной природой".
Например, что такое натуральное число — интуитивно ясно. Кроме того мы можем мысленно представить себе определенное количество предметов, соответствующее заданному натуральному числу. А вот термину "множество" не соответствует никакой мысленной конструкции. Значит, множество не имеет права на существование!
Из моего рассказа может показаться, что интуиционизм просто убог, однако это не так.
Интуиционисты добились определенных успехов в разных разделах математики, таких, например, как функциональный анализ, дифференциальные уравнения и др.
Кроме того, была разработана специальная интуиционистская логика, законы которой отличались от классической. То есть в некоторых областях математики интуиционизм оказался вполне жизнеспособным.

Однако я сейчас делаю упор на "психологический аспект". Парадоксом Рассела математике был нанесен удар такой силы, что многим ученым было гораздо легче "вычеркнуть из жизни" огромные разделы этой науки, полностью отказать им в праве на существование, чем смириться с возможностью подобных парадоксов.
Почему такой невинный парадокс вызвал целую бурю, попробую написать в следующий раз.

@темы: Парадоксы, Теория множеств, Amicus Plato, Люди

---

Наивная теория множеств Георга Кантора

[Amicus Plato]

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (по моему и, думаю, не только по моему мнению) — один из величайших математиков за всю историю человечества. Пафосно, может быть, чересчур, но зато искренне ))

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

Теорию множеств (возможно, немножко не в том виде, в котором мы знаем ее сейчас), основал именно он.
В это трудно поверить, но он первый ввел в математике понятие множества и дал ему неформальное определение. И случилось это во второй половине XIX века.
Раньше множествами в математике не оперировали!
Та теория множеств, которую выдвинул Кантор впоследствии получила название Наивной теории множеств.

Понятие множества сейчас входит в число так называемых первичных, неопределяемых, понятий. Таких, как, предположим, точка в математике или информация в теории информации.
Сам Кантор определял множество следующим образом: «множество есть многое, мыслимое как единое».

Кантор разработал программу стандартизации математики, в основу которой как раз было положено понятие множества. Любой математический объект должен был рассматриваться как «множество».
Например, натуральный ряд представляет собой множество, удовлетворяющее аксиомам Пеано. Каждое натуральное число в отдельности — тоже множество, но состоящее всего из одного элемента.

Сам термин "теория множеств" был введен в математику позднее. Кантор же называл свою теорию "Mengenlehre" — учение о множествах.

Появление Mengenlehre вызвало нешуточные битвы в математических кругах. Учение имело как горячих поклонников (среди выдающихся математиков того времени), так и ярых противников.

Но в своем первоначальном виде теория оказалась нежизнеспособна.

Вот что написано в Википедии:
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Виновником провала стал не кто иной как Бертран Рассел.
Однако теория эта успела безраздельно завладеть умами современников.

Вот что пишет о Канторе и его Mengenlehre Давид Гильберт (о котором я уже здесь рассказывала):

Никто и никогда не изгонит нас из его рая.
(с) Давид Гильберт. В защиту канторовой теории множеств.

@темы: Теория множеств, Amicus Plato, Люди

---

Аксиомы Пеано

[Amicus Plato]

Никак не дойду до описания парадокса Рассела, хотя, казалось бы, все предпосылки уже налицо.
Но всё-таки придется сначала чуть-чуть остановиться на истории. Иначе не будет очевидным весь драматизм ситуации: парадокс Рассела у многих ученых выбил твердую почву из-под ног. Некоторые после этого так и не смогли оправиться от депрессии...

***
Все мы привыкли со школьных лет пользоваться привычными математическими обозначениями и нотациями. И нам кажется (мне, во всяком случае, казалось) что так было если не "всегда", то очень и очень долго.
Однако же нет!
Вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована (что уж говорить про другие разделы математики!).
Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, определяющих натуральный ряд.
Только с помощью аксиом Пеано стало возможным формализовать арифметику.
И только после их введения у математиков появился инструмент для доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также возможность использовать целые числа для построения чисел рациональных и вещественных.

Джузеппе Пеано

Джузеппе Пеано

Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Конечно же, существует и их формулировка в математическом виде, но здесь я ее приводить не буду.

*На самом деле когда-то очень давно меня сразило теоретико-множественное определение натуральных чисел: определение через ординальные числа.
Когда я впервые его прочитала, мне казалось, что просто мир переворачивается.... Казалось бы самое простое, что есть в математике, имеет такое двойное дно, такие бездонные глубины, что просто руки опускаются, и сознание отказывается с этим хоть как-то мириться.
Если интересно, то очень кратко можно посмотреть в Википедии:

Здесь я пишу про аксиоматику Пеано с тем чтобы плавно перейти к наивной теории множеств Георга Кантора, чтобы затем написать как с ней разделался Бертран Рассел. Человек с абсолютно холодным сердцем и очень живым умом.

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato, Люди

---

[Robot]

Дорогие члены сообщества!
Поздравляю вас от себя лично и от сообщества !Не решается алгебра/высшая математика? ... ПОМОЖЕМ! с волшебным праздником - Новым Годом! Желаю всем большого счастья, успехов, силы и удачи!

Еще, быть может, маг и чародей - вечерний сумрак - бродит по прихожей. Как пьяный заблудившийся прохожий, блуждает он и не найдёт дверей. Сегодня праздник, все навеселе Всё в этом мире кажется чудесней: и озаряет холод черных лестниц небесных звёзд магический полет. И кажется: за двери лишь шагнуть - и ты в иной судьбе и новом мире. И дважды два там вовсе не четыре, и новый ждёт необычайный путь. Вещей полночных шорох и возня и тонких занавесок шевеленье то мир, невидимый при свете дня, своё сегодня празднует явленье. На крыльях снов спускается зима, меняя мир одним прикосновеньем, и заполняет спящие дома совсем иным и странным населеньем...(c)

@темы: Поздравления

---

И еще одно поздравление)

[Amicus Plato]

(с) Википедия

@темы: Поздравления

---

Предновогоднее

[Amicus Plato]

Поздравляю всех участников и членов сообщества с наступающим Новым годом!
Хочу искренне и от всей души поблагодарить всех вас за проявленный интерес и очень интересные дискуссии!

Желаю всем здоровья в Новом году, а также творческих, учебных и научных успехов!
В качестве небольшого презента позволю себе привести цитату. Может, некоторым пригодится блеснуть эрудицией при случае и назвать число Пи до двадцатого знака )))

Фундаментальные константы нашего мира, о природе которых мы говорили, известны не только физикам, но и лирикам. Так, иррациональное число π, равное 3,14159265358979323846.., вдохновило выдающегося польского поэта ХХ века, лауреата Нобелевской премии 1996 года Виславу Шимборскую на создание стихотворения "Число Пи", цитатой из которого мы закончим эти заметки:

π - число, достойное восхищения:
Три запятая один четыре один.
Каждая цифра дает ощущение
начала - пять девять два,
ведь до конца не дойти никогда.
Взглядом всех цифр не объять -
шесть пять три пять.
Арифметических действий -
восемь девять -
уже не хватает, и трудно поверить -
семь девять -
что не отделаться - три два три
восемь -
ни уравнением, которого нет,
ни шутливым сравнением -
оных не счесть.
Двинемся дальше: четыре шесть...

(Перевод с польского)
Доктор геолого-минералогических наук, кандидат физико-математических наук Б. ГОРОБЕЦ.

Цитата взята отсюда: oceanography.narod.ru/uchoba/biblioteka/nauch_p...
Статья называется Мировые константы "Пи" и "е" в основных законах физики и физиологии
Рекомендую почитать. Я узнала для себя много нового )))

А от себя расскажу наверное всем известный способ запоминания числа е:
(вот, я его разделила пробелами):
e = 2,7 1828 1828 45 90 45 ...
2,7 придется запомнить просто так,
затем идут два раза подряд годы рождения Льва Толстого: 1828,
затем углы прямоугольного равнобедренного треугольника: 45, 90, 45.
...
(дальше не знаю)))

@темы: Поздравления, Amicus Plato

---

[Amicus Plato]

Задам сейчас вопрос, который с одной стороны очень прост, а с другой, мне кажется, что чего-то я не понимаю, что-то от меня решительно ускользает.

Вот представьте себе числовую ось. Мы выбрали произвольно шкалу, единицы на этой шкале и прекрасно ими пользуемся. У нас есть числа целые, рациональные и иррациональные. Все они вместе всюду плотны.
А вот теперь (всё ведь в наших руках) мы хотим задать другую шкалу.
В ней есть всё тот же ноль, а за единицу я хочу взять П (иррационально число пи). То есть единица шкалы — это у меня отношение половины длины окружности к ее радиусу. По-моему всё корректно.
Но однако тогда получается, что все числа целые в нашей нынешней шкале, станут иррациональными! 1, 2, 3, .... — всё это в новой системе счисления бесконечные десятичные дроби.
Тогда если длина окружности выражается формулой: L=2ПR, то отсюда получается вот что:
П — целое число. В наших координатах П=1.
2 — иррациональное число.
Тогда L и R ничего не остается как тоже быть иррациональными.
Получается мы НИКОГДА не сможем построить окружность с целым радиусом?

А если мы хотим что-то разделить пополам (в обыденном смысле этого слова), нам вновь придется делить на иррациональное число?
Вот, предположим, есть у нас два яблока.
Одно яблоко — это 1 по-новому или П по-старому.
Два яблока — это 2 по-новому или (Сколько???) по старому? 2П? То есть 1+1=2. А по-старому? П+П=?П? А с точки зрения умножения как это будет?

И это только начало всех проблем.


Неужели действительно всё так сложно?

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Amicus Plato, Вопросы

---

Информационное

[Amicus Plato]

В комментариях к предыдущей записи:
organon.diary.ru/?comments&postid=38921431
Trotil выложил очень интересный рассказ!
Настоятельно рекомендую! )))

Trotil, еще раз — большое спасибо!

@темы: Техническая запись

---

Про счетную бесконечность

[Amicus Plato]

Читаю сейчас книгу "Кочерга Витгенштейна. История десятиминутного спора между двумя великими философами".
И как раз вычитала пассаж в тему! В тему парадоксов теории множеств, связанных с бесконечностью.
Сейчас процитирую.
...
По Кантору два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному.
Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3, 4, 5, ... равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20, ..., потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10, и т.д.
Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности.
Оказалось, однако, что и этот подход порождает парадоксы. Один из них выявил Бертран Рассел, приводивший в качестве примера роман Лоренса Стерна "Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена". В романе Шенди описывает первые два дня своей жизни, на что у него уходит два года. Он беспокоится, что с такими темпами никогда не закончит автобиографию.
Рассел утверждал, что если применить здесь подход Кантора, то, как ни странно, получится, что если Тристрам Шенди будет жить вечно, то в летописи его жизни не будет упущен ни один день.

Если начиная со дня, когда ему исполнилось двадцать, Шенди в течение двух лет трудился над описанием первых двух дней своей жизни, то, когда ему исполнится 22, он приступит к описанию следующих двух дней; когда исполнится 24 — следующих двух дней, и так далее. Разумеется, отставание по времени будет всё больше и больше; но отношение один к одному сохранится: каждому дню его жизни будет соответствовать один период его автобиографической деятельности:

20 — 21 год — — — — дни 1 — 2
22 — 23 года — — —- дни 3 — 4
24 — 25 лет — — — — дни 5 — 6
...
Получается, бессмертный Тристрам Шенди способен описать все до единого дни своей жизни.

@темы: Бесконечность, Amicus Plato, Цитаты