[Паломник Оптимизма!]

Давным давно... Т.е. четыре года назад я участвовал в городской Олимпиаде по математике. Занял на ней пятое место, но сейчас не о том.
А о том, что была там задача, которая значилось графой "легкая" и которую я не могу решить вот уже четыре года.
Суть задачи.
Дан прямоугольный отрез ткани. Как не используя ничего - сложить его на три равные части?
Совсем недавно вспомнил эту задачу и даже немного решил ее.
С тканью мы можем делать только одно. А именно - складывать пополам.
А что бы сложить в итоге на три части нужно складывать пополам столько раз, чтобы получившиеся число "половинок" было кратно трем.
Т.е. формула выглядит так. 2^x=3^y, где x,y - целые числа
Ну так вот. Есть такая теорема, что любое сложное число можно разложить на произведения простых чисел. И при этом ряд этих простых чисел будет единственно возможным.
Я рассуждал следующим образом - 2^x = 2*2*2*2*2*2*...*2*...
И вот если бы хотя бы один из множителей можно было кратно 3, тогда нужно просто посчитать порядок этого множителя и задача фактически решена.
Т.е. в итоге ответ у задачи - невозможно никак.
Но вот в чем проблема. В девятом классе (а именно тогда была олимпиада) я просто не мог знать о показательных функциях.
Может есть какое то другое решение?

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

---

Золотое сечение II

[Amicus Plato]

Теперь немного математики.

Как писал в предисловии своей книги "Краткая история времени" Хокинг, каждая формула уменьшает потенциальную аудиторию книги вдвое.
Я помню об этом, но совсем без формул обойтись не смогу.
Будем же снисходительны!

Что же такое "Золотое сечение"? Что же это за такая удивительная пропорция?
А ведь золотое сечение — на самом деле пропорция именно в математическом смысле. И сам термин "сечение" был введен (не поверите)))) Леонардо да Винчи. А до этого оно так и называлось: "Золотое деление".

Итак, золотое сечение – это такое деление целого на две неравные части, при котором целое так относится к большей части, как большая – к меньшей.
На картинке это выглядит следующим образом:



Если у нас есть отрезок длины а, то нужно разделить его в такой пропорции, чтобы выполнилось:



Это и есть основное равенство золотого сечения.
Длина всего отрезка а так относится к длине его части х, как х относится к длине оставшейся части: а-х.
Еще это называется делением отрезка в крайнем и среднем отношениях.

Но чему же равно золотое сечение. Как оно выражается в численном виде? КАК нам делить отрезок?
Основной нашей задачей будет найти отношение длин отрезков а и х.
Дальше идет обилие формул, поэтому вставляю скриншот из ворда.



φ = 1, 618... и есть искомое нами золотое сечение.
Буквой "φ" оно обозначается в честь Леонардо Фибоначчи, о котором я расскажу позже.
Иногда, правда, золотым сечением называют величину, обратную φ.
Она составляет 0.618....
Поскольку фи — число трансцендентное, то есть, являющееся непериодической бесконечной дробью, то и число, обратное к нему, — тоже бесконечная дробь.

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

---

9 лекций. Жак С.В.

[lyambda]

2. Язык математики и его основные элементы

Каждая наука имеет свой язык, понять который «непосвящённому» трудно. Вряд ли любой человек поймёт смысл медицинского диагноза, утверждений механиков, химиков, лингвистов. Имеет такой язык (м.б. точнее – диалект) и математика.
Основой его являются символьные, буквенные обозначения рассматриваемых величин. Смысл их в том, что сформулированные законы сохраняют общность, какие бы конкретные значения ни принимали эти величины:
a+ b = b+a, ab= ba, (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 ,
какие бы значения ни принимали a и b (2, 3, 10, 100). Это придаёт общность получаемым соотношениям и объясняет, почему рассуждения и выкладки ведутся «в буквах, а не в цифрах» (что, к сожалению, вызывает нередко вопросы у экономистов, воспитанных на популяризованных рассуждениях К. Маркса).
Хотя основные элементы математических рассуждений, формальной логики были заложены Аристотелем, их формализация введена в ХVIII –ХIХ веках и составила предмет «математической логики». Её основные элементы понятие «истинности» (true) и «ложности» (false), а также «кванторы» (значки) всеобщности и существования. Их перевод очевиден («всегда имеет место» и «существует»). А придание им цифровых значений и введение обозначений для основных операций (И, ИЛИ, НЕТ или and, or, not) позволяет превратить логические рассуждения в своеобразное исчисление, формализовать и передать логику компьютерам.
Подобно обычным, естественным языкам эти формальные правила «исчисления высказываний» играют роль грамматики такого специального языка. Но эти правила определяются АКСИОМАМИ, некоторыми простейшими исходными положениями, принимаемыми без доказательства и основанными на некоторых априорных свойствах изучаемых явлений. Такой аксиоматический подход – постулирование некоторых минимальных свойств и формальное изучение всех возможных следствий из них, - характерен для современной математики, хотя в некоторой степени схоластичен, является наследием средневекового стиля.. Но он чётко выделяет ту область изучаемых явлений, её упрощённое представление, которое позволяет выяснить те менее очевидные свойства, которые являются следствием принятых аксиом.
Как уже было отмечено выше, реальные процессы не всегда идут «по Аристотелю» и с интерпретацией формальных выводов нужно быть осторожным. Но аксиоматический подход исключает «различное понимание» тех или иных терминов и понятий, что нередко возникает в гуманитарных науках и является источником напряжённых споров. Однако существует область применения этой формальной системы, где её использование даёт безусловно верные результаты и чрезвычайно важной для применений – это теория электронных схем, лежащая в основе всех приборов, использующих микроэлектронику – от простейших электронных замков до сложнейших регуляторов, анализаторов и компьютеров.
Вследствие этого основным «внутренним» языком почти всех компьютеров является двоичная система счисления («арифметика гуингмов» - мыслящих лошадей из романа Дж. Свифта)* (*Теоретический анализ показывает, что для оптимальной по хранящейся информации системы счисления её основание должно быть 2 или 3; машины с троичной системой счисления строились, но не нашли дальнейшего применения.).
Двоичная система счисления обладает неоценимым техническим преимуществом: она позволяет по неточным сигналам (значениям тока) получать точное кодирование – ведь легко отличит наличие сигнала (1) от его отсутствия (0), но гораздо труднее отличить сигнал уровня 7 от сигнала уровня 6 или 8!
Фундаментальную роль в оценке возможностей аксиоматического подхода играет теорема Гёделя, доказанная в 1931 году и утверждающая, что в любой формальной аксиоматической системе есть факты (утверждения), которые в рамках этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть. То есть обнаружение таких фактов требует обобщения, расширения этой формальной системы, пополнения или изменения аксиом. Тем самым выявляется путь развития математики как способа познания мира: выделение формальной упрощённой системы, её изучение, выявление фактов, недоступных изучению в рамках этой системы, её расширение и обобщение.
Простейшей формальной системой, с которой знакомы мы все, является арифметика – выделяющая понятие числа и правила действий с ними. И на этом примере легко проследить отмеченный выше процесс познания.
Начальная система – арифметика целых чисел, на которых определены операции сложения и умножения. Но уже в этой простейшей системе попытка обращения операций (по сумме и одному из слагаемых определить второе слагаемое, по произведению и одному из сомножителей найти второй сомножитель) заставило человечество довольно давно расширить эту систему: ввести понятия отрицательных и дробных, рациональных чисел. Кстати, это обобщение довольно трудно воспринималось греками и египтянами и не так уж легко воспринимаются и сейчас школьниками.
Обобщение операции умножения – возведение в степень, an ,введение не целой степени и обращение этой операции опять таки потребовало расширения системы и её аксиоматики – появились понятия логарифма n=log a, иррационального и трансцендентного числа.

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

Золотое сечение I

[Amicus Plato]

Решила писать маленькими партиями и без определенного плана. Потому что в очередной раз оказалось, что лучшее — враг хорошего, и попытки создать идеальный текст не доводят до добра.
Поэтому начну с лирики. Расскажу нематематическую часть.
(Историческую справку, может быть, дам позже).



Мы все различаем предметы окружающего мира по форме. Одни нам нравятся, другие — нет. И очень часто подсознательно мы считаем красивыми те формы, которые подчиняются Золотой пропорции. Это известно многие и многие века, но сейчас психологи, вооружившись достижениями современной науки, проводят всё новые и новые тесты и выясняют, что из всех предоставленных форм люди в ПОДАВЛЯЮЩЕМ большинстве выберут ту, в которой присутствуют пропорции Золотого сечения. Я читала потрясающие результаты: люди чувствуют себя гораздо увереннее в себе, надежнее, спокойнее, лучше во всех отношениях, когда смотрят на предметы с золотыми пропорциями.
И это диктуется не только соображениями "эстетики". В нашем подсознании где-то там глубоко имеются и соображения по "функциональной и структурной целесообразности". То есть любой объект должен всегда иметь наилучшее сложение из возможных, чтобы выполнять свои функции таким же наилучшим образом. Оказывается, Золотое сечение и является признаком этой самой целесообразности.
Почти ВСЁ в природе тем или иным образом несет в своей форме частички этого "золота".
Вот, смотрите (рисунки все взяты в Интернет — копирайт оттуда)

Веточка цикория:


Яйцо птицы:


Человек:


Куски человека:


Ящерица


На рисунках присутствуют пока никак мною не объясненные обозначения.
Это будет темой следующей записи.

Кстати, Золотое сечение уже давно взято на вооружение создателями рекламы. Умный разработчик знает, что любой метод воздействия на подсознание хорош, а метод применения Золотой пропорции — очень действенен.
Когда я читала книги по Веб-дизайну, с удивлением узнала, что и баннеры в Интернете строятся с учетом Золотого сечения.
Да и, думаю, вся наружная реклама — тоже.

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

---

[Amicus Plato]

У меня вопрос к Чебуру и к другим физикам.

В школе, в девятом классе, я писала контрольную по физике. Там было, как всегда, много обязательных задач и одна дополнительная. Для особо одаренных. ))))
И задача эта была следующей:

Что будет если к экрану телевизора поднести магнит?

Я как ребенок подкованный в школьном курсе физики, написала, что электроны в электронно-лучевой трубке отклонятся от своего движения под воздействием поля, и, соответственно, изображение поменяет очертания.

Написала, значицца. Пришла домой. Взяла магнитищще. Включила НОВЕХОНЬКИЙ цветной телевизор (купленный ценой невероятных душевных усилий и материальных затрат), и поднесла магнит к экрану.
Сразу говорю: красота была неописуемая.
Цветовые пятна на экране были фантастических и неземных оттенков.
Я завороженно водила магнитом с полчаса... вслед за рукой по экрану тянулся разноцветный радужный след. Можно было заверчивать спирали, рисовать узоры...
...
А потом...
Началось непредвиденное.
Все эти пятна так и остались на экране!
Починить телевизор так и не смогли.
Купить новый в то время было практически немыслимо.
Так мы и были вынуждены долгие годы лицезреть дикторов с сине-зелеными мордами.
Моя физичка, в которой я души не чаяла, выслушав эту историю, никак не могла понять, что меня сподвигло проверять это дело на практике, и в конце-концов произнесла сакраментальное: "А если б тебе сказали прыгнуть с десятого этажа, ты бы тоже прыгнула?"
((((
Так вот вопрос, который с тех пор не дает мне покоя: ПОЧЕМУ ВСЁ ПОТОМ НЕ ВОССТАНАВЛИВАЕТСЯ НАЗАД?

@темы: физика, Вопросы

---

Лирика о магнитной индукции (советское детство - железные игрушки). Часть 3.

[chebur12]

Сегодня уже подросло поколение молодых людей, которые не видели ламповых телевизоров. Они не знают: как изнутри выглядит радио, прицепленное к радио-точке, прислоненное к батарее лицевой стороной и со снятой задней крышкой, чтобы можно было прицепить проводок к конденсатору для приема маяка и отцепить проводок для ликвидации приема маяка. Они не знают, что самые классные игрушки получаются как раз из сломанного радио и других хозяйственных предметов, находящихся под рукой. Они не знают, что с магнитной индукцией можно играть в гаишника.
Игра – опасная для жизни ребенка. Игрок выступает в роли гаишника.

Подготовительная работа.

Нужно взять магнит от динамика радио ( лучше чтобы магнит был расколот и с рваным краем тускло поблескивающим зернами слома для пущей красоты). Если магнитов будет два еще лучше – можно играть двумя руками. Нужны штук несколько катушек ниток… чем больше тем лучше. Несколько английских булавок (они очень легкие потому подходят, при желании булавки можно заменить скрепками). Надо найти какую-нибудь крышку от какой-нибудь баночки. Хорошо бы заполучить тройку-четверку маленьких кукол или других зверьков (какие найдутся). Для проведения игры понадобится кухонный стол (у него столешница тонкая). Одну из куколок пристроить в крышечку на столе и предположить, что это гаишник. Катушки ниток расставить по столу в беспорядке. Между катушек разбросать булавки. Найти два лезвия (в бытность очень подходило лезвие «Нева»), усадить на них оставшихся куколок. Тем куколкам, которым не досталось лезвий, придется быть пешеходами (мне их уже жалко). Взять два магнита в руки.

Правила.

Поднести магниты к столешнице под столом в тех местах, где на поверхности стола расположены лезвия. Автомобили готовы. Скрепки, или булавки – это мотоциклисты.
Автомобили можно передвигать между катушками и сбивать пешеходов. Булавки и скрепки, если автомобили движутся быстро, при попадании в магнитное поле начинают крутиться и сбивать дорожные столбы-катушки.
Если лезвия заменить на железные линейки, а магниты взять побольше, то «мотоциклы» начнут втыкаться в катушки при хорошем разгоне.

Физика

И так, что же происходит с нашими «мотоциклами», когда игрок двигает магнит. Наши булавки и скрепки становятся магнитными стрелками, попадая в поле воздействия магнита. Расположение булавок и скрепок совпадает с направлением магнитного поля. «Молекулярные токи» железа из состояния «беспорядочного» устанавливаются по направлению магнитного поля.
Если магнит не двигать, а булавок будет достаточно много, мы увидим лини магнитного поля.
Движение магнита – заставляет вертеться булавки, так как направление магнитного поля при перемещении магнита изменяется, то на них действует вращающий момент вследствие изменения приложения силы. Булавки будут двигаться по закону электромагнитной индукции под воздействием электродивижущей силы (ЭДС) индукции. Так, что в данной игре… даже не «автомобили» фунциклируют, а в полнее экологически чистые «электромобили!»
Фарадей-то чудило долго мучался… выдумывал, как бы так бы ему узнать бы, что же происходит… Гальванометры цеплял, извел кучу проволоки, втыкивал и вытыкивал в намотанную катушкой проволоку кусок магнита. Ну, выяснил все, слава богу, что изменение магнитного потока пронизывающего контур замкнутого проводника вызывает электрический ток в течение всего процесса изменения магнитного потока.
Не знал бедолага, что в нужно лишь в гаишников поиграть….

@темы: физика

---

Мощность множества натуральных чисел

[Amicus Plato]

Мой вопрос: каких же чисел больше: четных или нечетных — не вызвал большого ажиотажа )))
Отвечаю на него сама.
Начну с теории.
И этот вопрос подведет нас к понятию самой «простой» бесконечности.
Истоки того, о чем сейчас пойдет речь, лежат в теории множеств, но в нее я сейчас углубляться не буду.
Расскажу только, что любое множество состоит из некоторых элементов. Количество элементов может быть конечным или бесконечным. Множество яблок в корзинке, множество квартир в доме, множество книг на полке… — всё это примеры конечных множеств. Если в корзинке 10 яблок, — число элементов множества яблок в корзинке равно десяти.
Как же определяется число элементов в бесконечном множестве?
Обобщенным понятием количества элементов на произвольные множества является понятие мощности.
Т.е. в примере с корзинкой речь идет о мощности множества яблок. И эта мощность равна 10.
Мощность множества на самом деле — это абстракция. Она определяется как то общее, что есть у всех множеств, (количественно) эквивалентных данному.
И вот тут самое главное:

Два множества называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Помните пример с овцами?

Первая вышедшая овца — 1
Вторая вышедшая овца — 2
Третья вышедшая овца — 3
Четвертая вышедшая овца — 4
Пятая вышедшая овца — 5
Шестая вышедшая овца — 6

Это и есть пример взаимнооднозначного соответствия между множеством, состоящим из шести овец и множеством чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
*Это нам пригодится чуть ниже, как только мы закончим с теорией.

Мощности часто называются кардинальными числами.

Наименьшей бесконечной мощностью является мощность НАТУРАЛЬНЫХ чисел. Обозначается она алеф-нуль.

Так вот, теперь посмотрим, что мы можем сказать о четных, нечетных и других числах.
Согласно очень красивой теории бесконечных чисел, автором которой является отец-основатель теории множеств Георг Кантор, мощности множеств четных чисел, нечетных чисел, чисел делящихся на три, пять, десять, сто, миллион, и т.д., СОВПАДАЮТ и равны алеф-нуль!
То есть, «количество» всех этих чисел одинаково!
Невероятно?
Это еще не всё.
Может создаться впечатление, что, скажем, целых чисел больше, чем натуральных, потому что целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными, а натуральные только положительны! А еще более «очевидным» кажется тот «факт», что ДРОБЕЙ больше, чем натуральных чисел!
НЕТ!

Общее количество всех целых чисел, натуральных чисел и дробей равны одному и тому же бесконечному кардинальному числу алеф-нуль!

Чтобы доказать любое из этих утверждений достаточно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством натуральных чисел и конкретным множеством, мощность которого мы хотим найти. Если такое соответствие есть, множества эквивалентны по данному выше определению.

Построим соответствие, предположим, для четных чисел.
Получим (Ч — четные числа; Ц — целые):


Ч — Ц
2 — 1
4 — 2
6 — 3
8 — 4
10 — 5
…
2n — n
…

Заметим, что каждое число в левом и правом столбцах встречаются один и только один раз. Соответствие взаимнооднозначно.
Это и доказывает ОДИНАКОВОСТЬ количества элементов множества четных и всех натуральных чисел.
Со всеми остальными множествами (кроме дробей) разобраться столь же легко.
С дробями (рациональными числами) разбираться будем потом. Но их количество, как это ни парадоксально, — тоже равно алеф-нуль.

@темы: Бесконечность, Натуральные числа, Теория множеств, Amicus Plato

---

Просветите меня...

[Тимурио]

Еще со школьной скамьи меня мучает вопрос. Всем известны операции дифференцирования, то есть нахождения производной и интегрирования, которые, по сути, являются обратными друг другу. И вот я никак не могу понять, почему у этих обратных операций различный геометрический смысл? В первом случае – это тангенс наклона касательной к функции, а во втором (конечно, когда рассматриваем определенный интеграл) – площадь. Ведь, если следовать логике, у обратных операций должен быть обратный смысл.
И на это вопрос я не знаю как ответить. Я вижу, что никакой связи между смыслами нет. А вообще должна ли быть она?

@темы: Вопросы

---

Бесконечно большие и бесконечно малые

[lyambda]

Попрубуем раскрыть своими словами.
С точки зрения математики бесконечно большая величина - это величина, которая все время возрастает, но никогда не достигает какого-либо определенного значения: y(t1)>y(t) при t1>t или t1<t. Такая бесконечность называется потенциальной, потому что она существует лишь в принципе; ее геометрический образ - прямая, неограниченно продолженная в обе стороны (см. рисунки из комментов к вопросу Киже про бесконечность). Если же мы зафиксируем y=n при n>>t1. Такая бесконечность называется актуальной, поскольку она как бы завершена к моменту, когда мы ей воспользовались; ее геометрический образ - любой конечный отрезок прямой.
Бесконечно малая величина обратна бесконечно большой, то есть x=1/y. Бесконечно малая величина есть такая переменная величина, предел которой есть 0.
Какая бесконечность более "правильная"? По сути дела, эта проблема была поставлена еще в знаменитых апориях Зенона (например, "Ахилл и черепаха" ждем поста модератора на эту тему), но спор математиков (а также логиков и философов) на эту тему не завершен до сих пор. А вот физики зачастую не делают никаких различий между потенциальной и актуальной бесконечностями и очень раздражаются, когда в результате вычислений получают бесконечно большие величины, называемые расходимостями. И часто подменяют их просто очень большими, но конечными числами.
Вместе с тем не следует забывать, что для экспериментатора бесконечно больших (равно как и бесконечно малых) величин действительно не существует, он всегда получает конечные результаты, а хвост бесконечности упрятывает в ошибку с помощью теории вероятности. Что же касается бесконечностей, с которыми имеет дело теоретик, то к ним можно относиться двояко: считать их либо потенциальными, либо актуальными.
Актуальная бесконечность поддается так называемой калибровке, ее можно в любой момент приравнять к нулю и начать отсчет сызнова, с t0=0; потенциальная бесконечность такой процедуре не поддается, поскольку вообще существует вне времени и, соответственно, вне реальной физики.
Часто даже при расчетах в Excel можно увидеть, например, 2Е-24 или -2Е-24, которые в последствии принимаются за ноль. А вот мы и подошли к разным нулям

@темы: Бесконечность, Поп-математика

---

Римские цифры

[Minority]

Римские цифры появились около 500 до нашей эры у этрусков.

Эти цифры образуют непозиционную систему счисления (т.е. система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа.).
С их помощью записываются только натуральные числа. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая — перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Последнее правило применяется только во избежание четырёхкратного повторения одной и той же цифры.

*****
Список цифр:
I - 1
V - 5
X - 10
L - 50
C - 100
D - 500
M - 1000

*****
Чтобы правильно прочитать число, записанное римскими цифрами, надо сначала разделить его на разряды.
Например, CDXCVIII
VIII - 8 единиц
XC - 9 десятков
CD - 4 сотни.
Т.е., записано число 498.

*****
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.

Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.

*****
Другие примеры:
0 - отсутствует
4 - IV (иногда IIII)
8 - VIII
31 -XXXI
46 - XLVI
99 - XCIX
666 - DCLXVI (все отдельные цифры, кроме M, по порядку. Мне просто понравился этот факт =))
1984 - MCMLXXXIV

*****
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу. В частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз.

*****
Существует сокращённый способ для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется некоторыми. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:

* 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 — MIM вместо MCMXCIX
* 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
* 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 — MLM вместо MCML

*****
Повсеместно записывать число четыре как IV стали только XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись IIII. Однако запись IV можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1381 годом. Использование «IIII» вместо «IV» на циферблатах часов традиционно оправдывают эстетическими (дизайнерскими) соображениями.

@темы: Поп-математика, Непозиционные системы счисления

---

9 лекций. Жак С.В.

[lyambda]

Что такое математика, кому и зачем она нужна?

Полная версия

Испокон веков противопоставлялись холодная, рассудочная математика и яркие, образные гуманитарные науки, сухие математики («А ему хорошо и не нудно, что живёт он сух и покорен! Зато он может ежесекундно извлекать квадратный корень!») и яркие поэты, артисты, художники («Юноша бледный со взором горящим, ныне даю я тебе три завета. Первый прими – не живи настоящим, только грядущее область поэта…»).
Наступило время, когда такое противопоставление не вполне корректно. И дело не только в том, что любопытные и агрессивные математики активно вторгаются в «святая святых» гуманитариев – анализируют стихи и прозу, корректируют художественные фотографии, расшифровывают древние письмена, пытаются разобраться в причинах и факторах исторических событий (от Пелопоннесских войн до перспектив атомной войны). И не в том, что теперь почти невозможно гуманитариям обойтись без достижений математиков – без использования компьютеров с автоматическим анализом и коррекцией текста, без электронных копий картин и симфоний.
Дело в гораздо более глубоких связях, очень чётко отмеченных математиком и богословом Ю.А. Шрейдером. Дело в том, что «точные» науки совсем не так точны, как кажется и как нередко заявляют их представители – в них всегда присутствуют многие ограничения, условия, выделяющие объект исследования из действительности и требующие со временем снятия хотя бы части условий, уточнения, приближения к действительности. С другой стороны, гуманитарные науки во многом определяют менталитет, систему мировоззрения исследователя во всех науках, в том числе и «точных». Кроме того, эти науки вынуждены «идти на выучку» друг к другу. Математики, создавая языки общения с компьютерами обязаны изучать естественные языки, гуманитарии всё чаще вынуждены для обоснования своих положений пользоваться математическими методами вместо «мне нравится…» или « я полагаю…».
Современная культура едина, она в равной степени включает знания гуманитарных и естественных наук (шутливое противопоставление им «неестественных» наук, разумеется, шутка). И если вряд ли можно считать культурным человека, не имеющего представления о Пушкине, Толстом, Чайковском и Ренуаре, то так же трудно считать культурным человека, ничего не знающего об Архимеде, Декарте, Эйнштейне.
Взаимоотношения математики и гуманитарных наук, прежде всего – искусства, всегда являлись предметом размышлений поэтов и мыслителей. Примером тому являются работы А. Белого, В. Хлебникова, Н. Гумилёва и современных поэтов:

Между поэтом и учёным
Лежит извечно полоса:
Один пришёл открыть законы,
Другой – на мир открыть глаза.

(А. Марков)

Замечательные строчки Н. Гумилёва «…потому что все оттенки смысла умное число передаёт» прекрасно иллюстрирует телеграмма знаменитого математика Дирихле, которой он сообщал родным о рождении у него ребёнка:
2 + 1 = 3!
Интересно сопоставить два «слогана»: математики говорят «Бог создал 0 и 1, остальное – дело рук человеческих» (то есть из первых простейших абстракций математики вывели огромное множество достаточно тонких законов мира), а на телевидении в последнее время введена рубрика «Как искусство создало мир».
Существенно и то, что многие гуманитарии интересовались возможностью применения математики, а многие учёные, специалисты естественных наук пытались изучать проблемы искусства. Опять же примерами являются работы А. Колмогорова, Ю. Шрейдера, Б. Раушенбаха.
Известный «компьютерщик» В.Губайловский в последние годы регулярно публикует статьи в журнале «Новый мир». Название одной из его статей звучит характерно: «Геометрия Достоевского». А в другой статье, изучая процессы изменения языка, он отмечает: «Учёным удалось построить математическую модель распространения новых слов»!
Один из самых популярных писателей последнего времени Ю. Давыдов отмечает: «Ошибки математические, будучи и логическими, свидетельствуют об изъянах нравственных».
Определений математики существует множество. От философского определения Ф. Энгельса (существенно устаревшего и по объектам, и по методам исследования) до анекдотических «определений Шерлока Холмса» или фразы «Математика это то, чем занимаются математики». Одно из наиболее корректных определений таково:
«Математика – это методы построения формальных моделей различных процессов и анализа этих формальных моделей».
Разумеется, при этом возможны такие упрощения, которые выхолащивают смысл изучаемых явлений и процессов, и обнаружение таких фактов требует пересмотра моделей (а не реплики «Тем хуже для фактов»). Яркие примеры несоответствия формальной логики действиям реальных людей неоднократно приводились Д.А. Поспеловым. Как всякая формальная система, математика имеет и порождает свои «внутренние» проблемы, которые столь же важны для развития математики, как и поставляемые ей «внешние» задачи и проблемы. В этом отношении у математики много общего с гносеологией, наукой о познании, а формализованность моделей позволяет «в чистом виде» изучать закономерности познания. Важным примером такого результата является знаменитая теорема Гёделя, ограничивающая пределы формального познания мира.
При построении математических моделей, выписывании соотношений и зависимостей между различными факторами и параметрами важным моментом является выбор масштабов измерения каждого параметра. Одним из первых с этим вопросом столкнулся Галилей при изучении законов падения тел – в каких единицах мерить время? В отсутствие удобных часов он мерил время падения камня… в строфах Данте! В дальнейшем даже этот частный вопрос измерения времени приобрёл более общий смысл: очевидно, что при изучении различных задач масштаб времени должен быть разный, и меньше всего он может быть связан с астрономическими единицами – сутками, часами, секундами. Например, при изучении оптимального числа бомб, которые должен брать на борт бомбардировщик, ищущий над акваторией подводные лодки противника, время надо мерить… в бомбах (то есть единицей времени является тот отрезок времени, который может пролететь бомбардировщик на горючем, равным по весу одной бомбе)! Похоже это на измерении длины удава в попугаях или в обезьянках.
На основе механики возникла целая теория подобия и размерностей, позволяющая так выбрать масштабы, чтобы задача приобрела наиболее простой вид (так называемые П-теоремы).
«Потребители» математики (прежде всего физики) давно и неоднократно отмечали «непостижимую эффективность математики», обусловленную прежде всего общностью и абстрактностью моделей изучаемых объектов. Так, например, законы развития заболеваний и эпидемий формально совпадают с законами распространения публикаций, посвящённых различным проблемам.
Естественно, как и в гуманитарных науках, нас многому учит история развития математических знаний, подходов и методов.
Огромна заслуга арабской культуры – в создании позиционной системы счисления (в ней до сих пор легко найти их следы – в чтении чисел «справа налево»), во введении символьных обозначений, в многих терминах от алгебры до алгоритма.
Замечательны работы древнегреческих учёных – от Евклида (до недавних времён преподавание геометрии шло непосредственно по его «Началам…»), Пифагора, Диофанта до Архимеда (по существу заложившего почву для исчисления бесконечно малых величин).
В последнее время имеются попытки формального рассмотрения проблем филологии. Примером могут служить теория мифа и классификация сюжетов сказок и преданий, предпринятая Леви-Строссом, а также попытки классификации методов рекламы в СМИ и «иммунитета» к ним, опубликованные в Литературной газете (2006, № 29) Г. Дубовым.

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

[Minority]

Мне интересны апории Зенона, с помощью которых доказывается утверждение Парменида о том, что движения не существует. Ну про движение - это уже вопрос философии, а сами апории - вещь математическая =)

Увы, я знаю только две самых известных:
1. Быстроногий Ахиллес не догонит черепаху.
2. Летящая стрела покоится.

Ну и также было бы интересно, все-таки, что именно привело к тому, что они не верны?

@темы: Апории, Вопросы

---

Правила сообщества (техническое)

[Amicus Plato]

Добро пожаловать в сообщество «Поп-математика для взрослых детей».

Сообщество организовано как Клуб Наивной Математики, и имеет популяризаторские, просветительские и развлекательные цели. Углубленного изучения ни одной из областей математики не предполагается.
На настоящий момент каждый желающий, независимо от возрастной, национальной, социальной и гендерной принадлежности, может вступить в сообщество, а также стать его постоянным читателем.
Вступивший автоматически принимает лицензионное соглашение правила сообщества.

Правила сообщества.

Записи должны быть одного из нижеперечисленных видов:

1. Записи по любому разделу математики, написанные СВОИМИ СЛОВАМИ, и в терминах как максимум школьной программы.
2. Четко сформулированные вопросы по любому разделу математики, теории информации и искусственного интеллекта, математическому моделированию и системному анализу.
3. Занимательные задачи и головоломки, а так же нетривиальные флэш-игры.
*Записи по физике не возбраняются, но оговариваются с модератором по у-мейл.

Не приветствуются:
1. Цитации чужих статей и ссылки на интернет-ресурсы (только в крайних случаях, когда это действительно продиктовано жизненной необходимостью).
2. Нематематический флуд.

Запрещается:
1. Несоблюдение правил сообщества.
2. Оскорбление участников, унижение их чести и достоинства.
3. Нарушение устава @diary.ru

Модератор оставляет за собой право на удаление постов и комментариев, нарушающих правила сообщества.

* Модератор, как человек деликатный, просит уважаемых действительных членов сообщества, а также членов-корреспондентов строго придерживаться правил, потому что удалять записи и комментарии к ним ему (модератору) не доставляет никакого удовольствия.

Будем же толерантны, вежливы, политкорректны, ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫ и ОТЗЫВЧИВЫ.

С уважением, Amicus Plato.

*Принимаются любые комментарии, возражения и дополнения к уставу.
Окончательный вариант будет вывешен в профиль.
** Спасибо Лямбде за помощь в составлении правил

@темы: Техническая запись

---

Четные и нечетные числа

[Amicus Plato]

Натуральные числа (продолжаем разговаривать о них) бывают четными и нечетными.
Только не говорите сразу, что это элементарно!
Это и вправду элементарно до тех пор, пока умопостигаемо. То есть пока наше воображение может легко представить то, о чем ему говорят.
Итак, четные числа — это числа, делящиеся на 2.
Их всегда можно представить в виде k = 2*n, где n — любое натуральное число.
Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2.
Каждое из них может быть записано как m = 2*n + 1.
Что это значит?
Это значит, что если у нас есть куча из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, etc.), мы ее можем смело разложить на две РАВНЫЕ кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Один предмет всегда будет лишним.
Любое четное число, большее двух, всегда можно разложить на сумму двух четных чисел или на сумму двух нечетных чисел.
То есть, само собой разумеется, что сумма двух четных числел — всегда четное число.
Но и сумма двух нечетных чисел — тоже четна.
Формально это записывается следующим образом.
Пусть есть два нечетных числа: m = 2*n + 1 и p = 2*r + 1.
Тогда

m + p = (2*n + 1) + (2*r + 1) = 2*n + 1 + 2*r + 1 = 2*(n+r) + 2 = 2 * (n+r+1)

Если мы обозначим натуральное число (n+r+1) через s, получим:

m + p = 2*s.

Это и означает, что суммой двух нечетных чисел всегда является число четное.
Аналогичным образом легко доказать, что сумма четного и нечетного числа — всегда число нечетное.

Чтобы проверить число на четность, необязательно делить его на два (особенно, если оно велико). Достаточно проверить последнюю его цифру.
Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 – четные, остальные, соответственно, – нечетные.

А теперь, внимание, вопрос: каких чисел больше в натуральном ряду: четных или нечетных?
Или даже сформулирую задачу иначе.
Каких чисел больше:
- четных;
- нечетных;
- делящихся на три;
- делящихся на пять;
- делящихся на сто;
- всех без разбора.
?
В ответ собираюсь написать о свойствах натурального ряда, но если кто-то хочет присоединиться — you are welcome!

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato

---

Цифры и Числа

[Amicus Plato]

Небольшое лирическое отступление.
И да простят меня те, кто считает это само собой разумеющимся.
Я хочу рассказать о разнице между числами и цифрами. Это совсем не одно и то же.
Цифры — это знаки, строительный материал для чисел.
Как буквы алфавита являются строительным материалом для слов, неким семиотическим базисом языка, так и цифры представляют собой алфавит арифметики.
Поскольку мы пользуемся десятичной системой счисления, нам вполне достаточно десяти цифр. Вот они, герои и труженики:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Больше цифр (арабских))) НЕТ!
Для 16-ричной системы придуманы нотации чисел из цифр вперемешку с буквами, но нам это сейчас не интересно. Про римские цифры тоже можно будет поговорить отдельно.

12, 579, 12456789, 765,... — это уже числа.

Но как бывают однобуквенные слова, так и одна цифра может образовывать число.
Если я говорю, что на руке у меня пять пальцев, "5" здесь будет числом.
Если же я говорю, что в нотации числа 25 есть пятерка, то "5" будет уже цифрой.

@темы: Поп-математика, Amicus Plato

---

Лирика о магнитной индукции. Часть 2.

[chebur12]

Если представить пустоту …. Нет, пустота не подходит. Вполне подходит планета Земля. Вся такая сферическая, но наполненная из вНутри, а иногда снаружи всякими железистыми рудами, в которых полно электронного газа. Залито все это сФерху мировым оушеном, в котором растворено всяких солей-взвесей уму не постижимо. В общем, эдакая галактическая лейденская банка-конденсатор. Поверху планетка обмотана атмоСферой, которая приплюскивается к поверхности тяготением (кудыж без него). Атмосферой понятно, дело не ограничивается, а ограничивается ионосферой. Ионосфера эта такая штука, которая вроде и есть, но вроде ее и нет. Нету ее, это если смотреть на все это дело в видимой части спектра, а если в видимо-невидимой это еще спорный вопрос. Ионо - потому, что состоит из сплошных плюсов, а минусов в ней нет, хотя может и есть, кто ее знает…
Болтается в пространстве такой вот агрегат, при этом не стоит забывать, что «… она все-таки вертится!».

Солнышко вокруг которого Земля и оборачивается (так говорят), плюется в Землю всякими активными продуктами ядерного распада. Продукты эти долбят в ионосферу, которая в ответ явственно гудит (в слышимой части спектра, если постараться). Гудит не просто так, а со смыслом… получается вот такая ох-балденная разность потенциалов, по которой мы с одной стороны ходим, а с другой стороны, она нам на голову давит. Возникает в результате всех перечисленных факторов электронный и ионный ток в размерах планеты. Известно уже как минимум 2 столетия что там, где заряды движутся, есть магнитное поле, при этом магнитные силовые линии всегда замыкаются вокруг тока.
Раз есть ток, то два - есть магнитное поле Земли. Мало того, Южный Полюс с магнитной точки зрения не только не южный, но еще и не полюс, что полностью относится к не северному Северному Полюсу. Это означает, что завораживающий всех в детстве магнитный компас никогда и не думал показывать синей стрелкой на Северный полюс. Ко всему прочему магнитный полюс смещен по отношению к географическому. Магнитная стрелка указывает лишь направление магнитного поля в точке земной поверхности. Судя по тому, как по ученому выглядят магнитные меридианы - ток, который протекает на нашей планете явственно замкнутый. Силовые линии магнитного поля Земли на экваторе практически параллельны к поверхности по всей окружности сферы… На полюсах же силовые линии в идеале совсем к ней (поверхности) перпендикулярны.

Так вот и живем в полном.. магнетизме с природой…

To be continued….

@темы: физика

---

Простые числа

[Amicus Plato]

Похоже, о натуральных числах можно говорить бесконечно.
Сейчас я расскажу о «специфических» натуральных числах, называемых простыми.

Простое число – это натуральное число, большее единицы, которое имеет ровно два делителя. Оно делится на единицу и на само себя.

Именно вследствие такого жесткого определения сама единица не попадает в разряд простых чисел: у нее-то делитель только один: она сама.
Поэтому ряд простых чисел начинается с двойки.
Вот первые его члены:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Понятие простого числа является основным при изучении делимости натуральных чисел.
Всем известно (проходят это в средних классах школы) что любое число, отличное от 1, можно единственным образом (с точностью до порядка множителей) разложить в произведение простых чисел.
Ну, например,

54=2*3*3*3
102=2*3*17
1000=2*2*2*5*5*5

Простых чисел бесконечно много. Это предложение называется теоремой Евклида, потому что ее доказательство приводится в знаменитых Евклидовых «Началах».

Алгоритм нахождения простых чисел называется решетом Эратосфена.
Состоит он в следующем.
Выписываем весь натуральный ряд, начиная с двойки:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,…

Число 2 – простое.
Зачеркиваем все натуральные числа, делящиеся на два, – просеиваем их, убираем из рассмотрения. Получим:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27,…

Число 3 – первое неотсеянное число после 2, – простое. Выбросим все числа, делящиеся на 3:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27,…

имеем:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, …

Число 5 – следующее неотсеянное число – будет простым.
Вычеркиваем всё, что делится на 5.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

И так, пока хватит терпения. Будем получать все больше и больше простых чисел.

В книжке, которую я читала в детстве, было нарисовано сито, из которого сыпались четверки, восьмерки, девятки…
И описано было для детишек весьма и весьма доходчиво. Есть числа «чистые», – то бишь, простые, – и вся остальные – составные, которых медом не корми – дай только на что-нибудь поделиться. Трясем, трясем сито, отделяем зерна от плевел, – вся шелуха просыпается вниз. И вот они, – сияющие своим ослепительным блеском, – остались одни только простые числа. Жемчужины среди навоза. До меня ну никак не доходило, в чем их такая особая заслуга, но, наверное, не в последнюю очередь и поэтому, от непонимания, возникал такой божественный пиетет перед этим решетом, из которого сыплется числовой дождь…

И это еще не всё!
Никто не знает, как распределены в натуральном ряду простые числа. Есть ли закономерность? Нет ли? В среднем, при увеличении чисел, простые среди них попадаются более редко. И это всё, что математики могут сказать на сегодняшний день.
Существуют сколь угодно длинные отрезки ряда натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа.
С другой стороны, встречаются даже ОЧЕНЬ большие простые числа, разность между которыми равна 2. Такие простые числа называются «близнецами».
До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество таких близнецов.
Вот парочка из них (чрезвычайно громадных):

10 006 427 и 10 006 429.

Но и это еще не всё!
Есть такая неразрешенная доныне задача, которая носит название предположения Гольдбаха. Заключается это предположение в том, что любое четное число больше двух может быть представлено в виде суммы двух простых чисел.
Вот примеры:

6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14= 3 + 11 = 7 + 7, и т.д.

Пока человечеству не удалось ни доказать это предположение в общем виде, ни найти хотя бы один контрпример.
А казалось бы – чего проще ))))

Простые числа...

@темы: Натуральные числа, простые числа, Amicus Plato

---

9 лекций

[lyambda]

С согласия автора д.т.н., профессора Жака С.В. начинаю публикацию его учебного пособия "9 лекций. Или математика для гуманитариев", изданного в РГУ в 2006 г.

Лекция 1

Что такое математика, кому и зачем она нужна?
Испокон веков противопоставлялись холодная, рассудочная математика и яркие, образные гуманитарные науки, сухие математики («А ему хорошо и не нудно, что живёт он сух и покорен! Зато он может ежесекундно извлекать квадратный корень!») и яркие поэты, артисты, художники («Юноша бледный со взором горящим, ныне даю я тебе три завета. Первый прими – не живи настоящим, только грядущее область поэта…»).
Наступило время, когда такое противопоставление не вполне корректно. И дело не только в том, что любопытные и агрессивные математики активно вторгаются в «святая святых» гуманитариев – анализируют стихи и прозу, корректируют художественные фотографии, расшифровывают древние письмена, пытаются разобраться в причинах и факторах исторических событий (от Пелопоннесских войн до перспектив атомной войны). И не в том, что теперь почти невозможно гуманитариям обойтись без достижений математиков – без использования компьютеров с автоматическим анализом и коррекцией текста, без электронных копий картин и симфоний.
Дело в гораздо более глубоких связях, очень чётко отмеченных математиком и богословом Ю.А. Шрейдером. Дело в том, что «точные» науки совсем не так точны, как кажется и как нередко заявляют их представители – в них всегда присутствуют многие ограничения, условия, выделяющие объект исследования из действительности и требующие со временем снятия хотя бы части условий, уточнения, приближения к действительности. С другой стороны, гуманитарные науки во многом определяют менталитет, систему мировоззрения исследователя во всех науках, в том числе и «точных». Кроме того, эти науки вынуждены «идти на выучку» друг к другу. Математики, создавая языки общения с компьютерами обязаны изучать естественные языки, гуманитарии всё чаще вынуждены для обоснования своих положений пользоваться математическими методами вместо «мне нравится…» или « я полагаю…».

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

Вопрос таки созрел

[Minority]

В последнее время приходится сталкиваться с различными системами координат...

Было бы любопытно поподробнее услышать о сферической, цилиндрической и т.п. системах координат.

И какие еще есть системы координат? (нц кроме полярной)

@темы: Вопросы

---

Лирика о магнитной индукции. Часть 1.

[chebur12]

Поразмышляв о магнитной индукции, я пришла к выводу, что начать надо из далека.

Проводник. Все знают, что такое проводник! Это дядька или тетка, при благоприятном раскладе - парень или девица, одетые в одинаковую одежду и свободно передвигающиеся внутри длинного железного сооружения. Так вот, на самом деле ПРОВОДНИК – сооружение. Сооружение это имеет жесткую решетку из койко-мест на которых размещаются определенно и положительно заряженные пассажиры. Свободно передвигающиеся проводники определенно заряжены отрицательно по отношению к пассажирам, ибо те едят, спят, часто пьют и все время пытаются соскочить со своих койко-мест и стукнуться о проводников по пути в туалетную комнату, поэтому совокупный заряд проводников равен заряду пассажиров во всей своей отрицательности.
Вот бы так представить, что проводников в вагон впускают только через дверь в последнем вагоне. Ну, такая дверка, посредине тамбура за окном которой видно как рельсы сужаются на горизонте, а шпалы, будто перекладины на шведской стенке. Вот впускать значит проводников через эту дверку, а перед входом говорить им, что в головном вагоне их зарплата ждет. В результате получим – ТОК…..

To be continued….

@темы: физика