Это не флуд )))

[Amicus Plato]

Дорогие читатели!
"Дорогие" — это не просто оборот речи: вы мне все на самом деле очень дороги!
Это я к чему: к тому что двое ПыЧей уже нас покинули.
Ну, одно дело, если они подписались сгоряча, попав под некоторый искусственно созданный ажиотаж ))))
А другое, — если что-то и в самом деле косо.
Так вот, если замечаете большие косяки — пожалуйста, скажите сначала о них! ОК?
Чтоб знать, где оно, — наше светлое будущее ))))

@темы: Техническая запись

---

Числа Фибоначчи и Золотое сечение.

[Amicus Plato]

Постараюсь делать записи максимально короткими.
Помните, как мы получили из приближенных вычислений золотого сечения числа Фибоначчи?
Теперь стало ясно, что числа Фибоначчи и золотая пропорция взаимосвязаны очень тесно. И корни этой связи — не в математике, а в самой природе.
Вернемся к итерационному процессу вычисления φ.

эти картинки уже были раньше

А теперь посмотрим, каким же именно образом отношение соседних чисел Фибоначчи приближает φ.
Оказывается, здесь тоже есть закономерность.
Напомню:

φ = 1.618...

Посмотрим на значения дробей:

1/1 = 1 < φ на 0.618
2/1 = 2 > φ на 0.382

Здесь вскользь замечу, что эти два числа — 0.618 и 0.318 — тоже особенные. Первое из них, назовем его &gamma, число, обратное к золотому сечению φ. Иногда его само называют золотым сечением.

&gamma = 1 / φ

А второе число, 0.382 — это &gamma².
И, при этом, их сумма равна единице:

&gamma + &gamma² = 1

Это свойство очень важно во многих областях, где проявляет себя золотая пропорция.

Но не будем отвлекаться. Итак, продолжим вычислять дроби:

1/1 = 1 < φ на 0.618
2/1 = 2 > φ на 0.382
3/2 = 1.5 < φ на 0.118
5/3 = 1.6667 > φ на 0.0486
8/5 = 1.6 < φ на 0.018
...

Мы видим, что дроби попеременно то превосходят φ, то оказываются меньше него.
Последовательность отношений двух соседних чисел Фибоначчи колеблется возле числа φ.
Колебания затухают с возрастанием членов, но никогда никакая дробь не совпадет с φ полностью.
Иначе говоря, φ представляет собой бесконечную десятичную дробь. Такое число называется иррациональным.

Если мы будем брать обратные отношения: дроби, в числителе которых будет стоять меньшее число Фибоначчи, а в знаменателе — следующее за ним, то есть:

1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, ...

Получим последовательность, сходящуюся к числу
&gamma = 0.618..., обратному φ.
&gamma, как и φ является числом иррациональным, и тоже записывается в виде бесконечной десятичной дроби. Вычисляй мы эти числа хоть миллион лет подряд — всё равно не вычислим точно!
Но это еще не самый страшный подвид иррациональных чисел.
Эти числа — алгебраические. Так они называются потому, что являются корнями уравнений.
А бывают такие иррациональные числа (и их гораздо больше), для которых просто не существует уравнений, корнями которых они могли бы быть!
И примеры нам известны. Самый популярный пример: число π.
Такие числа называются трансцендентными.

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

---

[Паломник Оптимизма!]

Расскажу, что ли о невозможных фигурах?
Когда-то давно я получил от брата книжку "Энциклопедия по математике для детей". Это была большая и ярко иллюстрированная книжка. К тому же написанная понятным русским языком.
В этой книге в конце каждой главы были рисуночки - треугольники, многоугольники, кубики. Довольно долго я не понимал, что там не так но наконец понял - ОНИ НЕ ВОЗМОЖНЫ!
Я днями корпел, перерисовывая их под линеючку с точным соблюдением всех углов и пропорций. В итоге получилась красота. Всем показывал и говорил, что сам придумал. Никто не верил, но все восторглись.

А собственно говоря, что суть есть невозможная фигура?
В 1934 году Оскар Реутерсвард создал первую невозможную фигуру - треугольник составленный из кубиков. До него были художники которые рисовали фигуры, но он этим увлекся и создал тысячи невозможных фигур за что его и называют основателем невозможных фигур. В 1980 году Шведское правительство решило разместить невозможный треугольник Реутерсварда на почтовых марках, которые выпускались с 1982 года примерно два года.

Спустя двадцать лет в 1954 году Роджер Пенроуз после лекции голландского графика М. К. Эшера заново придумал невозможный треугольник правда уже в другой форме. В отличие от треугольника Реутерсварда, треугольник Пенроуза нарисован с использованием линейной (а не параллельной, как у Реутерсварда) перспективы, что придает ему больше невозможности. Он опубликовал свой треугольник в 1958 году в Британском журнале психологии в соавторстве со своим отцом Лайонелом Пенроузом. В 1954 году Эшером еще не были созданы его знаменитые гравюры "Водопад", "Возхождение и спуск" и "Бельведер".



Многие считают, что невозможные фигуры действительно невозможны. Как всегда, коэфициент ума многих равен коэфициенту ума самого глупого, разделенного на весь коллектив. Т.е. многие не правы.
Если что-то нарисованно на бумаге - это проекция какого-то обьемного тела на эту бумагу. Т.е. получается, что бы там не нарисовали - невозможным оно не является.
Отсюда конечно не следует, что взяв к примеру три одинаковые палочки вы состыковав их по хитрому получите невозможный треугольник. Однако если применить те 10% мозга, которые мы используем для решения этой задачи, мы можем получить вот это:

Это можно получить взяв три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии. Данная фотография создана известным популяризатором работ М.К. Эшера, автором большого количества книг Бруно Эрнстом. На переднем плане фотографии мы видим фигуру невозможного треугольника. На заднем плане установлено зеркало, в котором отражается та же фигура с другой точки зрения. И мы видим, что на самом деле фигура невозможного треугольника является не замкнутой, а разомкнутой фигурой. И только с той точки, с которой мы обозреваем фигуру кажется, что вертикальный брусок фигуры заходит за горизонтальный брусок, вследствие чего фигура кажется невозможной. Если бы мы сместили угол обзора немного, ты нам сразу бы стал виден разрыв в фигуре, и она потеряла бы свой эффект невозможности. Тот факт, что невозможная фигура выглядит невозможной только с одной точки зрения характерен для всех невозможных фигур.
Разумеется колличество фигур соответствующей заданной проекции (рисунку на бумаге) целая куча и даже больше.
Как пример, скульптура бельгийского художника Матье Хемакерз. Фотография слева показывает фронтальный вид фигуры, при котором она выглядит невозможным треугольником, центральная фотография показывает ту же фигуру, повернутую на 45°, а фотография справа – фигуру, повернутую на 90°.

Еще один способ создания невозможного треугольника был предложен сотрудником факультета компьютерных наук института Technion в Израиле Элбером Гершоном. Предложенный им вариант невозможного треугольника был сначала спроектирован на компьютере, а затем воссоздан в реальности при помощи трехмерного принтера. Все ребра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнуты, хотя на фронтальном виде фигуры этой изогнутости не видно.











Автор безжалостно стырил картинки с этого сайта, за что ему (сайту) отдельная благодарность
http://imp-world-r.narod.ru/grey/gimp01.html

@темы: Невозможные фигуры

---

Числа Фибоначчи.

[Amicus Plato]

На чем же мы остановились в прошлый раз?
На том, что нехитрый закон размножения кроликов описывается числовой последовательностью, которую открыл Фибоначчи.
Каждый член этой последовательности равен сумме двух предыдущих.

Если обобщить сказанное про кроликов в нескольких словах, получим, что каждое следующее поколение кроликов (n-е число Фибоначчи) состоит из суммы уже живущих кроликов (n-1-е число Фибоначчи) и вновь родившихся (а родилось их столько, сколько было зрелых пар, то есть ровно n-2-е число Фибоначчи.

Казалось бы, очень узкая прикладная задача...
Но, как выяснилось в дальнейшем, не всё так просто. Числа Фибоначчи оказались едва ли не самой распространенной последовательностью, встречающейся в живой природе. Причем, на всех уровнях. От спиралей ДНК и биоритмов мозга до строения еловых шишек, ананасов и подсолнухов.

Сегодня остановимся подробнее именно на растениях и на явлении, получившем название "филотаксис" (иногда пишут с двумя "л" — "филлотаксис". И то и другое написание встречала в серьезной литературе. Как правильно — не знаю. Ворду кажется, что с двумя "л").

Уже давно подмечено, что листья у всех растений вырастают не случайным образом, — они растут, следуя очень строгой закономерности (своей для каждого вида). Это явление и получило название "филлотаксиса". Состоит оно в том, что листья на ветке располагаются вдоль винтовой линии, находясь друг от друга на строго определенном расстоянии и вращаясь вдоль ветки под строго определенным углом. Такое расположение носит название спиральной симметрии.
Так вот, в ботанике существует закон филлотаксиса, в соответствии с которым число шагов между листьями, находящимися в точности на одной прямой (то есть, отстоящими друг от друга на целое количество витков спирали), описывается числами Фибоначчи! Не только число шагов, то есть, число промежутков между соседними листьями, растущими между этими двумя, но также и число самих витков.
Веточка цикория, рисунок которой я приводила раньше — очень наглядный пример этого явления.

Ботаники установили, что для различных растений характерны свои дроби филлотаксиса из последовательности. Например, дробь 1/2 свойственна злакам, березе, винограду; 1/3 - осоке, тюльпану, ольхе; 2/5 - груше, смородине, сливе; 3/8 - капусте, редьке, льну; 5/13 - ели, жасмину и т.д.
Какие же физические явления лежат в основе филлотаксиса? Почему листья вырастают именно так? Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

Но листья — это еще далеко не всё! Практически все соцветья и плотно упакованные ботанические структуры (сосновые и кедровые шишки, ананасы, кактусы, головки подсолнечников и многие другие) также строго следуют числам Фибоначчи.

Наблюдения показывают, что зерна или чешуйки у еловой шишки или ананаса образуют некоторое квазирегулярное покрытие поверхности, в котором соседние ячейки организуются в хорошо различимые спирали, называемые парастихами. Если отдельная ячейка по форме является шестиугольной (как у ананаса), то она принадлежит трем типам парастихов. Если же ячейка ромбическая (как у шишек или подсолнуха), то имеется два типа парастихов, соответствующих вращению либо по часовой стрелке, либо против). В большинстве случаев у растений числа парастихов каждого типа являются последовательными числами Фибоначчи, а их отношение — подходящей дробью для золотого сечения.

Вот довольно условный "подсолнух" с четко прослеживающимися спиралями по часовой и против часовой стрелки.


А вот математически смоделированный филлотаксис (помню, что у всех картинок есть авторы, за что им отдельное спасибо!):

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

---

Я в небольшом затруднении...

[Amicus Plato]

Скажите, что делать.

Пишу про Фибоначчи — никто не комментирует (а тема очень обширна и освоена еще очень мало). Вполне ведь возможно, что никто и не читает...

Но зато много просьб (две пока))) рассказать о других вещах.
Понятно, что совместить всё не удастся.

То ли бросать Фибоначчи, раз он никому не интересен, и начинать заниматься Алисой и апориями Зенона, то ли продолжать начатое, отставив просьбы на загоризонтное "потом".
Я, честно говоря, и правда не знаю, что делать.
Как скажете, так и будет.
)))

@темы: Техническая запись, Вопросы

---

[Паломник Оптимизма!]

Народ, хелп ми.
У нас препод по мат. анализу. дал домашнее задание и сказал, что тот кто решит может получить на экзамене - пять. А тот кто не решит выше четверки не получит.
Так вот. Я на пятерку вряд ли пойду но надежда умирает последней пиф-паф... ой ой ой ....
Я честно пытался решить сам. Но нифига не получилось. Я бы и у препода спросил, но он сказал, что с этим ИДЗ к нему не подходить.
Надеялся сначала на помощь народа в сообществе для решения математических задачек - не помогли - проигнорировали.
Надеялся на помощь Лямбды - но завал на работе.
А препод внезапно решил что следующая неделя де последняя когда можно ему тащить домашку. Как же так ить!
Поэтому кто может - решить пожалста!


Четыре задания:

Первое:
Найти предел последовательности, предел Хn, если не существует левый и правый предел
UPD: у однокурсника на всякий случай проверил у него говорится "...если не существует ВЕРХНИЙ и НИЖНИЙ пределы..." [от себя добавлю недоумение - если левый и правый предел не существует, ВРОДЕ БЫ, не существует и сам предел разве нет?]
Хn = [(-1)^n/n] + [(1 + (-1)^n)/2]
-=-
Со второго по четвертое - задание: Найти предел фунции.
Второе: Пусть P(x) = a1*x + ... + an*x^n [а1 - это а с индексом внизу один, аn соответственно а с индеском n, т.е. дана последовательность]; m - целое число.
lim ([(1 + P(x))^1/m - 1] / x) = а1/m, при x->0
[Честно говоря если первый пример я еще как-то пытался решить, но ничего не вышло, то второй пример я вообще не могу понять откуда начать его решать]
-=-
Третье:
lim ([1 - ctg^3(x)] / [2 -ctg(x) - ctg^3(x)), при x->П/4
[ctg^3(x) это значит котангенс в кубе от икса]
-=-
Четвертое:
lim ([(x +a)^(x + a)*(x + b)^(x + b)] / [(x + a + b)^(z*x + a + b)]), при х-> бесконечности
[этот пример я решал и в итоге получилось у меня lim ([x^(2-z)]^x), при x-> бесконечности. Неопределенность Бесконечность в степени бесконечность минус бесконечность, как решать не пойму.]

Буду черезвычайно благодарен за помощь.
-=-=-=-

@темы: Вопросы

---

Занятная математика

[Teo1974]

Примеры решений некоторых математических примеров (тавтология применена умышленно) нетрадиционным, небанальным, а также нетривиальным (и не сказать что абсолютно неверным) методом

небольшая текстовая иллюстрация к рисункам

© как Эйнштейн пил на лекции пиво все уже знают, ниже о том как сдавал экзамен по физике другой известный ученый
Данное имело место на квалификационном экзамене по физике где-то в Копенгагене
Вопрос: "Объясните, как рассчитать высоту небоскрёба с помощью барометра?"

Один из студентов ответил так:
"Привяжите кусок прочной верёвки к основанию барометра, затем опустите барометр на веревке с крыши небоскрёба так, чтобы он достал до земли. Длина верёвки и длина барометра в сумме дадут высоту небоскрёба."

Высокооригинальный ответ настолько поразил преподавателя (в плохом смысле этого слова), что студент получил "неуд". Студент подал жалобу, утверждая, что его ответ был абсолютно точен и университет попросил независимого судью решить дело. Судья установил, что решение было верным и достаточно точным, но студенту необходимо прийти и за шесть минут предоставить устный ответ, который показывал бы знание хотя бы основных принципов физики.

В течение первых пяти минут студент сидел молча, собираясь с мыслями. Судья напомнил ему, что время подходит к концу, на что студент ответил, что у него есть несколько абсолютно точных вариантов решения и он не знает, какой из них выбрать.
Наконец студент сказал следующее:

"Для начала, вы можете поднять барометр на крышу, перекинуть его через парапет и засечь время, за которое он достигнет земли. Высота здания в таком случае может быть рассчитана по формуле H = 0.5g x t. К сожалению, барометр в таком случае мы потеряем"

"В случае, если стоит солнечная погода, вы можете измерить длину барометра, а затем вычислить отношение полученного числа к высоте его тени. Затем вы измеряете длину тени небоскрёба и нахождение решения будет возможно путём несложных арифметических вычислений"

"Но если вы хотите себя показать настоящим учёным, вы можете привязать барометр к верёвке и качать его, как маятник, с нижней точкой у земли и верхней - на уровне крыши небоскрёба. Высота находится путём вычисления разницы между силой гравитации T = 2 Пи (l / g)." <за точность формулы не ручаюсь>

"Если пожарная лестница находится на внешней стене небоскрёба, будет легче пройти её и вычислить длину небоскрёба в барометрах, затем соответственно умножив на длину прибора"

"Конечно, если вы - скучный сторонник консервативных методов, вы можете использовать барометр для измерения давления воздуха на крыше небоскрёба и на земле, перевести разницу в метры и получить искомое число"

"Но пока мы упражняем нашу силу ума в применении исключительно научных методов, несомненно, лучшим способом было бы постучать к швейцару и сказать ему: "- Если вы хотите получить отличный новенький барометр, всего лишь скажите мне высоту этого небоскрёба"

умному подурачиться- милое дело, ибо этим студентом был Нильс Бор, единственный датский учёный, получивший позже Нобелевскую премию по физике!

@темы: ))), Головоломки и занимательные задачи, Поп-математика, Люди

---

Продолжаю про Фибоначчи.

[Amicus Plato]

Вот и он, собственной персоной, Леонардо из Пизы, сын Боначчи.


Он был величайшим математиком своего времени.
Самый знаменитый его труд называется "Kнига абака".
Большая часть материала в этой книге излагалась в виде практических задач с прилагаемыми решениями.
В одной статье я прочитала, что именно по этой книге европейцы познакомились с арабскими цифрами.

Так вот, в "Книге абака" была помещена следующая задача:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Попытаемся посчитать.

Изначально у нас 1 пара. Считаем ее новорожденной.

Спустя месяц она по-прежнему будет одна.
Т.е. последовательность начинается двумя единицами: 1, 1, ...

На третий месяц эта пара даст первое потомство и пары станет 2.
1, 1, 2, ...

На четвертый месяц из этих двух пар даст потомство только одна — более взрослая, и всего пар станет 3 (3 = 1 + 2).
1, 1, 2, 3, ...

На пятый месяц взрослых пар из трех окажется две. Обе они дадут потомство,и всего пар окажется 5 (5 = 2 + 3).
1, 1, 2, 3, 5, ...

Нетрудно продолжить эти рассуждения дальше.
Каждый последующий член этого ряда чисел (число пар кроликов в следующем месяце) равен сумме двух предыдущих членов.
Полученная последовательность и называется последовательностью Фибоначчи, или "кроличьей" последовательностью.



Первые члены последовательности таковы:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

О других свойствах этой замечательной последовательности расскажу несколько позже.

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato, Люди

---

[chebur12]

Amicus Plato и все все все . У меня вопрос!
Какие математические понятия использованы в книге "Алиса в зазеркалье"

@темы: Вопросы

---

Теория систем on-line

[lyambda]

По просьбе модератора и для систематизации собственных усилий по написанию учебного пособия начинаю публикацию параграфов предполагаемой книги. Я не знаю во что это выльется и будет ли закончен учебник, но...

Предисловие

Мы живем в мире разнообразных систем и настолько привыкли к этому, что почти не задумываемся над самим понятием «система». Вселенную, свод жизненных правил, государственное устройство, экономические законы, градостроительство, автомобиль, процесс ремонта квартиры – мы привычно называем системами, понимая под этим нечто сложное и многогранное. Себя мы тоже причисляем к системам, а точнее часто ощущаем себя частью системы или хотим ощущать. Системность придает уверенности в причастности ко всему происходящему вокруг нас, заставляет задуматься над многими вопросами мироздания и помогает упорядочить собственный процесс мышления.
Людям свойственно два формата мышления: аналитический и синтетический и две формы познания мира: логическая и эмпирическая. Человечество за тысячелетия выработало своеобразный баланс мыслительных процессов и форм познания. Считается, что аналитики это люди с узко профильным багажом знаний и прагматичным подходом к жизни, а обладателей синтетического мышления не редко сравнивают с «блондинками» витающими в облаках. Генетически люди наследуют эмпирический стиль познания, основанный на инстинктах, традиция, опыте предыдущих поколений и плохо формализуемой «логике здравого смысла». Именно такое мышление позволило человечеству выживать в трудных ситуациях, сохранять традиции и обряды, чтобы в итоге прийти к понятиям ментальность и менталитет. Во все времена жили логики, но их всегда было меньшинство, но именно они сделали большинство мировых открытий.
Двадцатый век в корне изменил ситуацию, привнеся вместе с научно-технической революцией тотальное системообразование во все сферы человеческой деятельности. Бурное развитие технических средств и информационных коммуникаций привело к информационному взрыву. На человечество обрушился огромный поток разнородной информации, воспринять и разумно использовать который невозможно без понимания системности происходящего. Для нормального существования в мире сложных системных отношений и интенсивных информационных потоков, требовался новый подход к анализу проблем и принятию управленческих решений, который позволил бы оценивать ситуацию в целом, а не по частям. Однако стиль мышления человечества в информационную эру практически не изменился!
Эмпиризм нашел свое выражение и в структуре построения научных знаний: физические, технические, биологические, социальные науки изучают системы поэлементно или локальными фрагментами. Чем больше наук изучают систему, тем труднее становится использовать полученные знания в их совокупности. Даже специалисты родственных областей знания, изучая одну и туже систему, перестают понимать друг друга, потому как рассматривают ее каждый со своей стороны и подчас не видят проблемы в целом.
В середине XX века в недрах науки зародилось новое направление, изначально получившее название системный подход. Вначале это был лозунг, призыв обратиться к античному представлению о целостности мироздания и на базе интеграции последних научных достижений создать общую теорию систем. Предметом теории должны были стать принципы и закономерности, справедливые для систем в целом, независимо от их физической, биологической или социальной природы. Вскоре стало очевидным, что, двигаясь в этом направлении, можно создать только новую, еще более абстрактную теорию, чем уже существующие в науке. Но все же именно этот призыв ознаменовал переход от господствующей тогда одномерной парадигмы к принципиально новой многомерной. Системный подход на практике вылился в разработку новых конструктивных методологий позволяющих формализовать и анализировать объекты и процессы быстро развивающегося мира и получил название системный анализ или теория систем.
Системный анализ является приемником исследования операций – научного направления кибернетики, основанного на методах математического моделирования, теории массового обслуживания, математической статистики, теории игр и др. Возникновение его на практике было, по сути, реакцией прикладной науки на потребности разрешения военно-технических проблем середины XX века. В период становления системному анализу пришлось выдержать не мало нападок со стороны сторонников традиционных научных направлений. Жизнь все расставила по своим местам, и системный анализ занял свою нишу в комплексе научных знаний, необходимых для разрешения крупномасштабных проблем любой сферы деятельности человека.
Заказчику и потребителю по большому счету все равно, каким способом, системным или бессистемным будет решена возникшая проблема. Потребителям нужен конечный результат и знание «цены вопроса». Наиболее полный ответ на поставленные заказчиком вопросы может дать правильное применение моделей и методов системного анализа, а бессистемность рассмотрения проблемы наоборот может породить массу новых еще более сложных. Сегодня сложилась ситуация, когда многие понимают необходимость системного подхода к разрешению проблем социального, технического, экологического и любого другого характера, но далеко не всегда представляют каким образом воплотить в жизнь это понимание.
Системность, как и раньше, служит не более чем лозунгом, а чаще всего ширмой, прикрывающей, по сути, не системные исследования. Одна из причин такого положения заключается в отсутствии достаточного количества публикаций по вопросам современного состояния теории систем и системного анализа (основная масса крупных монографий датируется семидесятыми годами прошлого века). В формулировании основных концепций и постулатов системного анализа автор видит основную цель книги и приглашает к сотрудничеству всех участников и читателей сообщества.

P.S. Автор питает нежные чувства ко всей теории систем и может говорить о ней бесконечно, поэтому его следует прерывать когда он забалтывается.
P.P.S. Автор безграмотен во всех языках кроме языков программирования, вследствие чего с радостью примет корректные замечания по обнаруженным орфографическим, синтаксическим и стилистическим ошибкам наверняка имеющимся в тексте.

Публикуемый материал является авторским, а Интернет - средством массовой информации на которое распространяется действие закона "Об авторском праве", поэтому любое цитирование только с согласия автора.

@темы: Теория систем

---

9 лекций. Жак С.В.

[lyambda]

5. Множества, мера и их применения

Для математики, как и для большинства других наук, процесс развития идёт по принципу «шаг вперёд, два шага назад». Сначала, без особых обоснований вводятся новые понятия и подходы. Если такой, несколько авантюрный прорыв оказался удачным, позволил получить новые результаты (шаг вперёд), возникает необходимость вернуться назад, оглядеться, обосновать введённые понятия и методы, найти границы их применимости (два шага назад).
Таким обоснованием и понятия числа, и понятия функции, и роли новых классов функций явилась разработка теории множеств.
Множество – простейшее, первоначальное математическое понятие, не определяемое, а лишь поясняется примерами. Это – совокупность некоторых объектов (людей, слов, чисел, функций,…).
В качестве иллюстрации множество представляется некоторой двумерной областью как совокупностью принадлежащих ей точек (непрерывной или дискретной). Характеристикой множества является его мера – аналог площади области или числа содержащихся в множестве точек, элементов.
Естественно вводятся операции над множествами – пересечение их, объединение, дополнение (также хорошо интерпретируемые областями на плоскости) и тесно связанные с математической логикой – алгебра множеств.
Связь между элементами различных множеств является отображением, и в это понятие укладываются и свойства чисел (зачастую неожиданные), и понятие функции, и дальнейшие, возникающие в математике понятия.
Одним из таких важнейших понятий является понятие «структура (structura – строение, расположение, порядок), совокупность устойчивых связей объекта, обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, т.е. сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях (РЭС)» или «В современной. науке понятие С. обычно соотносится с понятиями системы и организации (ФЭС)».
На основе этого понятия можно уяснить смысл введённых ранее математических объектов, ввести классификацию типов отображений и ввести понятие отношения между элементами множеств.
Как всякое понятие, оно также допускает обобщение – основные структуры и построенные на их иерархии составные структуры – например, структура слова (корень, суффиксы. и т.д) и структура предложения, а далее – всего текста, каждая из которых опирается на структуру предыдущего элемента иерархии.
С такой, более общей точки зрения становятся яснее различные обобщения понятия интеграла, во множестве исследованные в ХХ веке. Простейшее рассмотрение интеграла как площади под кривой на некотором отрезке приводит к двум различным подходам:
- совокупность «вертикальных» столбиков и их предел (при уменьшении ширины каждого столбика) – по Риману;
- совокупность горизонтальных слоёв и их предел (при уменьшении толщины каждого слоя) – по Лебегу.
Второй подход оказался более общим, позволяющим найти интеграл и в тех случаях, когда первый подход приводит к затруднениям. Эти подходы аналогичны двум способам подсчёта рассыпанных на столе денег по отдельным участкам на столе и по количеству монет различного достоинства. На практике пользуются именно вторым способом.

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

[foenix]

Математику уже затем учить следует,
что она ум в порядок приводит
(С)Ломоносов М.
По просьбе Amicus Plato
Я бы добавила - она делает нас спокойней..

@темы: Цитаты

---

Золотое сечение III

[Amicus Plato]

Теперь перейдем к более нетривиальным результатам, связанным с золотым сечением.
Помните уравнение, из которого нами было получено значение φ?
φ² - φ -1 = 0

В следующей формуле с ним сделаны элементарные преобразования. φ и единица перенесены в правую сторону, и затем, обе части уравнения разделены на φ:

φ = 1 +1/φ

Далее следуем за объяснениями в тексте картинки.




Давайте присмотримся к этим дробям внимательно.
Каждая из этих дробей составлена из соседних чисел Фибоначчи!
Числа Фибоначчи представляют собой последовательность вида:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…,

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих:

2 = 1 + 1;
3 = 2 + 1;
5 = 3 + 2;
8 = 5 + 3;
…
То есть, это последовательность, заданная рекуррентной формулой:

F_n+2 = F_n+1 + F_n

Названы эти числа в честь итальянского купца Леонардо из Пизы (1180-1240), который более известен под прозвищем Фибоначчи, что означает ни больше ни меньше:

что?

"сын Боначчи". Боначчи — так действительно звали его отца.
О самом Фибоначчи и о истории возникновения этого ряда чисел — в следующий раз.

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

---

9 лекций. Жак С.В.

[lyambda]

4. Интегральное исчисление и его приложения.

Выше уже отмечалось, что основной путь развития математики – это обобщения введённых понятий и операций, а также обращение введённых операций. То же произошло с дифференциальным исчислением.
Обобщения были связаны с увеличением размерности аргумента – рассмотрение многих аргументов, функций от многих переменных, введение «частных производных» (по одному из многих аргументов), производных по направлению. Эти обобщения не представляли больших трудностей и были легко реализованы.
Обращение операции дифференцирования – поиск исходной функции (первообразной, интеграла) по её производной оказалось более трудной задачей. По шутливому выражению одного из самых остроумных преподавателей РГУ Е.Л. Литвера «дифференцировать можно научить даже обезьяну, а интегрировать – не всякого студента». И дело не только в технических трудностях (они в последнее время могут считаться снятыми, так как в программное обеспечение компьютеров теперь включены блоки, реализующие поиск интеграла, первообразной). Оказалось, что далеко не все элементарные функции имеют первообразную, также выражающуюся через конечную комбинацию элементарных функций!
Как и в обращении арифметических операций, операций над величинами, обращение потребовало расширение класса рассматриваемых функций.
Интегральное исчисление также имеет свою грамматику (общие правила) и свой словарь – значительно более сложный, чем при дифференцировании.
Кроме того, оказалось, что процедура интегрирования тесно связана с широким классом практических задач – вычисления площадей, объёмов, моментов инерции, осреднённых значений, решения уравнений, включающих производные, дифференциальных уравнений, описывающих различные динамические и распределительные процессы.
И для этих задач создание интегрального исчисления позволило предложить общие методы, взамен индивидуальных приёмов, например, «метода исчерпывания», применявшегося Архимедом, или метода тонких слоёв, применявшегося Кавальери. Геометрическая интерпретация производных (как углового коэффициента касательной к кривой в данной точке) и интегралов (как площади под рассматриваемой кривой) позволило разработать процедуры вычисления этих величин с требуемой точностью, особенно важные в связи с применением компьютеров.
Формализация этих процедур привела к понятию алгоритма – последовательности действий, приводящих к получению нужных величин или функций. Понятие алгоритма является ключевым для работы с компьютером, но аналог его легко проследить в бытовых условиях (алгоритм кипячения воды или молока, алгоритм анализа слова или предложения и т. д.). Вопросам построения и анализа алгоритмов будет уделено особое внимание при изучении основ информатики.

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

ТАКИЕ НЕОБЫКНОВЕННЫЕ - ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

[chebur12]

Части целого, частное, личное – эти слова мы используем ежедневно и не задумываемся об их происхождении, о тайном и явном значении, открыто наполняющем космическую простоту. Так, слоги являются частью слов, слова – частями предложений. Доброта и злость, ярость и упрямство, радость и слезы частные проявления личного, своего, целого отношения к событиям жизни. Каждый миг мы из частей составляем единое и завершенное, не требующее штрихов, но часто заканчивающееся паузой для вескости и полноты.
Итак, определю целое как состояние чего-либо не требующее дополнений на обусловленном отрезке бытия.
Равные части целого – половинки. Четыре равные части целого – четветрные. Восемь равных частей целого – восьмые. Шестнадцать равных частей целого – шестнадцатые.. И так, далее можем записать, что целое моно разделить на (2^n) равных частей, если.n является множеством натуральных чисел. Эту возможность – дробление целого на равные части (ноты), не одно столетие используют для записи длительности звуков . Ноты - ряд обыкновенных дробей.

Ряд равных делимостей целого, можно записать, используя арабские цифры:
Целая:1
Половинка: ½
Четверть:¼
Восьмая : 1/8
Шестнадцатая: 1/16
Тридцатьвторая: 1/32
Шестьдесятчетвертая: 1/64
…………………………….

Примечательно, что не только звуки имеют размер, но и перерывы в звучании (паузы) тоже.

Из предыдущей записи видно, что числить от целого часть можно знаменуя (указывая) величину части, то есть, показывать какой удел от целого взят. Поэтому компонент дроби над чертой называют числителем, а компонент под чертой - знаменателем. Правильной – называют дробь, если числитель меньше знаменателя (то есть a/b – правильная дробь, если a<b).
В музыкальных записях звуков (нот) и пауз используются только правильные дроби. По-моему это связано с представлением о «фразе» – как о вербальном целом. Это касается не только языка музыки.
Музыка, как и речь, представляют собой структурированную последовательность длительностей.
Вновь, мы сталкиваемся с понятием делимости целого - долей. Доля – часть целого. Количество долей звуков в музыке относящихся к их длительности образуют размер. В музыке - доли бывают сильными и слабыми. Сильные доли это «ударения» в словах языковой речи. Есть сильные (ударные) доли и слабые (безударные). Количество долей между соседними сильными долями называют тактом. Так вот, у такта есть размер! Размер такта записывается в виде правильной дроби! В числителе указывается количество долей, в знаменателе длительность ноты, которая будет служить мерой длительности долей являющихся частями целого (бррр, если кто понял я рада, сама с трудом осмысливаю).

Я оговорилась ранее, что в записях музыки используются только правильные дроби. Подтверждаю, но только в ЗАПИСЯХ, то есть в использовании нотного «алфавита». Очень часто длительности целой, для полноты и выразительности музыкальной фразы недостаточно. Склонна считать, что появление этого «но» связано с чувственно-физиологическими особенностями человека. С человеческим мировосприятием. Звук может длиться и больше целого.
Поэтому в нотном письме используют специальные знаки, увеличивающие длительность. Эти знаки представляют собой точки. Точки увеличивают целостность на его половину. За целостность принимается длительность, которую хотят увеличить.


Две точки увеличивают целостность на половину и еще на четверть.
Следуя путем обратных аналогий можно говорить о том, что наряду с правильными дробями существуют и неправильные дроби. Не правильной – называют дробь, если ее числитель больше или равен знаменателю (то есть a/b – неправильная дробь, если a=или>b).
Боже! Два определения заняли почти две страницы. На этом, пожалуй, закончу… хоть и не литературно .

PS
1.Все здесь сказанное является полным ИМХО и на истинность не претендует.
2. иллюстрации из инета
3. Амикус! твое «добро» на пост было опрометчивым шагом… гы
4. если интересно могу продолжить

@темы: Поп-математика

---

Великая теорема Ферма

[Паломник Оптимизма!]

Вы спросите какое отношение имеет фермер к математике? Да очень прямое!
Как то раз, а может и не раз, в общем, было сё давно и неправда...
Короче, потомки обнаружили во второй "Арифметике" Диофанта на полях, напротив задачи 8 [Заданный квадрат разложить на два квадрата] загадочное утверждение. И нет бы сжечь эту несчастную книженку - так ведь нет же, начали доискиваться и вот что они там узрели:
x² + y² = z²
А еще дальше было накорябанно: "Нельзя разложить ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат на два квадрато-квадрата, и вообще никакую степень выше квадрата и до бесконечности нельзя разложить на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки".

Нет бы сразу понять, что если человек не в состоянии просто сказать "четвертая степень", а говорит какое-то извращение: "квадрато-квадрат" - то дело нечисто!
Ферма явно был садистом. Написал, что доказательство есть и не написал его. Но ведь не поленился же написать, почему он его не написал. Короче отмазался халявщик.
А в сущности, что он имел ввиду? Он имел ввиду, что вот такое уравнение:
xª+ yª= zª
При a > 2 (а должно быть целым) не имеется рациональных решений уравнения. При этом x,y,z, не должны быть равны нулю. Сразу же можно заметить что x,y,z могут быть равны еденице. Но это частный случай и разбирать его смысле нет.
Ферма даже чуть позже написал:
"Быть может, потомство будет признательно мне за то, что я доказал ему, что древние не все знали, и это может проникнуть в сознание тех, которые придут после меня для передачи факела сыновьям..."
Надо заметить - тут он был прав. Ну разве кто из древних знал, как осуществить такую простую вещь, как запуск компьютера или хотя бы отправку СМС?
Докозательство этой теоремы математики искали более 350 лет.
Причем сам Ферма соблаговолил оставить докозательство только для a=4. В 1738 году этот же случай доказал Леонард Эйлер (ну, нравится матиматикам одно и тоже доказывать, нравится). Еще спустя треть века он же доказал для а=3.
Разберем эти муторные докозательства.
Заодно, я может, что пойму...
Итак, мы имеем это уравнение: x²+ y²= z², рад бы его иметь, ан нет. Разбирать нужно.
Тот самый Диофант, который написал кучу книг по Арифметике, предложил для начала взять и выполнить подстановку:
y = kx - a
Где k - произвольное рациональное число.
В результате получаем:
( kx – a )²+ x²= z²
Оттуда можно мне получить, вы уж поверьте мне на слово, х и y:


Вот так при параметре z (т.е. фактически, при данном z) мы можем найти x и y. А можем и не находить - забить на все и пойти смотреть телек.
x²+ y²= z²
Можно записать как:
( x\z )²+ ( y\z )²= 1
Применяя тот же метод получим:

Чтобы найти решения в целых числах, положим k=m\n где m,n - произвольные целые и n не равно нулю.
Тады:

И можно взять x = 2mn, y = m²- n², z = m²+ n² - сё рекут пефагоровыми тройками.
В итоге при а = 2 мы видим - существует множество решений - ( 3,4,5 ), ( 5,12,13 ) и т.д.
-=-
Ферма дал безупречное доказательство для а = 4, но оно муторное и посему решено предложить доказатлество Эйлера.
Предположим невероятное - мы нашли тройку чисел x,y,z для которых
( x² )²+ ( y² )²= z²
Воспользуемся формулами для пифагоровых троек и получим:
x² = m² - n² , y² = 2mn, z = m²+ n²
будем считать, что числа x, y, а так же m, n - взаимно простые
Тогда y² = 2mn - четное x² - нечетное. Но x² = m² - n² - следовательно m и n - числа разной четности, причем m должно быть нечетным, стал быть n уже никто и не спрашивает - четное и баста.
Вновь получилось пифагорово уравнение x² + n² = m², чтоб его.
А с учетом того неоспоримого факта, что n четно, можем рискнуть здоровьем и записать в виде:
x = r² - s², n = 2rs, m = r²+ s²
Поелику x и q взаимно просты, числа r и s также просты, как интеграл втрого рода.
При этом rs( r² + s² ) = mn\2 = y²\4 - квадрат, следовательно оба этих числа и число r² + s² должны быть квадратами: r = d², s = f², r² + s² = w²
Вуаля, у нас новые участники нашей викторины - d, f, w, - удовлетворяющие все тому же несчастному уравнению:
( d² )²+ ( w² )²= f²
Наибольшее число из этого уравнения ясен пень - f. Но при этом если пошевелить остатками серого вещества то f < z: f² = r² + s² = m < m² + n² = z < z²
Тем самым мы осуществили всю эту лабудень.
Здесь мы тормознемся подумаем и скажем - а не пошло бы это все...
И окажемся правы! Ибо именно на этом месте Эйлер заключил что теорема доказана.
Фанфары, звуки труб, барабанный бой, салют и общее рукоплескание.

@темы: Теорема Ферма

---

Спираль Архимеда

[Amicus Plato]

Существует несколько видов спиралей, совсем не похожих друг на друга. Некоторые из них и на спирали-то непохожи.
Но я хочу рассказать только об одном виде.
О спирали Архимеда.
Она и является спиралью в "обыденном" понимании этого слова.
А получается она очень интересным образом.
Представим себе луч. Он закреплен на плоскости в своем начале: точке О.
И этот луч начинает совершать вращение вокруг этой точки с постоянной угловой скоростью. Как стрелка на циферблате.
Только в нашем случае циферблат и стрелка бесконечны, и стрелка движется равномерно, без скачков.
И вот представим, что из этой самой точки О вдоль этого луча начинает двигаться "самописец". Нечто в форме точки, оставляющее след на плоскости. Относительно луча эта точка движется равномерно прямолинейно. Но так как сам луч вращается, ее траектория относительно плоскости будет не так проста.

А почему я заговорила об этой спирали именно сейчас?
Да потому что, каждая четвертушка ее витка (если двигаться от центра к периферии) вписывается в квадрат, надстроенный на стороне золотого прямоугольника.



И тем самым каждый полный оборот луча рисует четыре золотых прямоугольника!
Можете себе представить?

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato

---

Котёнок

[Amicus Plato]

Хочу тоже отметиться задачей.
Но задача моя будет совсем иного рода — не "на смекалку". Решение она имеет элементарное, — дело тут совсем не в этом.
Моя цель — показать, как парадоксален мир, в котором мы живём, к которому мы привыкли, и о котором думаем иногда со скукой.
Давайте открывать глаза на такие мелочи! Себе и друг другу.

Задача. Представьте себе, что мы обвязали веревкой земной шар по экватору. Обвязали очень туго, так что между землей и веревкой нет никакого зазора. (Рельефом пренебрегаем))).
А теперь представьте, что мы взяли другой кусочек веревки длиной 1 метр (с запасом на узелки), разрезали большую веревку в любом месте экватора, и вставили туда этот метровый отрезок. То есть, увеличили длину веревки на один метр.
Спрашивается: Пройдет ли котенок в зазор, образовавшийся между земной поверхностью и веревкой.

(Задача почерпнута в детстве из какого-то математического научпопа).

Еще раз повторяю — решение очень легкое. Дело не в нем, дело в ответе!

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Amicus Plato

---

9 лекций. Жак С.В.

[lyambda]

3. Функции и операции над ними

Следующим за понятием числа и его обобщением, величины – исторически и логически, - объектом математики является понятие функции: результат некоторых действий над одной величиной x, приводящий к значению другой величины f(x), зависимость f от x. Уже упоминавшееся выше масштабирование позволяет существенно уменьшить число рассматриваемых параметров и сократить необходимую информацию, потому что один параметр требует задания строчки данных, два – таблицу (страницу), три – книгу, 4 – библиотеку книг, и т.д.
Действительность даёт неисчислимое множество таких объектов, зависимостей скорости и пути от времени, требуемой теплоты нагрева от температуры, затрат и прибыли от объёма выпуска продукции и т.п.
Неявно это понятие было освоено уже в древней Греции, но тогда же были обнаружены и некоторые парадоксы – знаменитые апории Зенона (догонит ли Ахиллес черепаху, летит ли стрела и др.).
Простейшей формой описания функции является график её – кривая на плоскости, где абсцисса - аргумент, а ордината – значение функции. Для работы с компьютером надо задать порядок действий вычисления f по x или достаточно «густую» таблицу значений f и x. Изучение возможных графиков функций и апорий Зенона привели (уже значительно позже) к понятию о непрерывности функции, формализованному с помощью теории пределов, связанной с изучением динамики изменения величин и функций.
Важной характеристикой функции, зависимости f(x) является быстрота, скорость изменения её при изменении аргумента, то есть отношение приращений Df/Dx или его предельная форма (при Dx->0) f'(x), введённая Ньютоном и Лейбницем в конце ХVII века. Правила вычисления производных составляют предмет дифференциального исчисления и, как всякий язык, имеют свою грамматику (общие правила) и словарь (таблицы производных). Эти правила позволяют вычислять производные практически всех обычно встречающихся функций (кроме исключительных случаев, важных для теории, но для практики не существенных). Знание производных позволяет применять их для решения важных прикладных задач: отличать рост функции от её убывания, оценивать приближённые значения прироста функций (Df ~ f'(x)*Dx), решать уравнения, искать экстремальные значения (максимум и минимум) функции, которые отвечают нулевым значениям производной.
Тот же аппарат позволил решать и ещё одну важную прикладную задачу: получать зависимость, отвечающую некоторым наблюдаемым данным. Зависимость выбранного вида (например, многочлен) с неопределёнными коэффициентами должна дать минимум сумме квадратов отклонений теоретических значений от наблюдаемых. Этот метод получил название метод наименьших квадратов.
Открытие и развитие дифференциального исчисления явилось очень важной вехой в развитии математики, дав общий метод решения этих задач (до тех пор каждая задача требовала индивидуального подхода). Как всякое крупное открытие, оно привлекло внимание философов, осмысливавших его – от самого Г. Лейбница до К. Маркса.
Можно отметить ещё один характерный момент исторического развития математики. В школе многим с трудом давалась геометрия, так как для решения геометрических задач нет «железных правил», требуется индивидуальный подход и пространственное воображение. Поэтому величайшей заслугой Рене Декарта было «сведение геометрии к алгебре», разработка основ аналитической геометрии. Но наука, как и всё познание мира человечеством, развивается по спирали! И в ХХ веке возник обратный процесс: далеко продвинутые отрасли математики (алгебра, функциональный анализ и т.п.) получили «геометрическую интерпретацию». Было введено, разработано и использовано понятие функционального пространства. Не давая здесь его определения, отметим, что при этом сложные математические объекты рассматриваются как точки обычного, привычного геометрического пространства. На этом языке удобно описывать и литературные произведения, отмечать сходство и различие классов статей и книг (например, характеризуя их длиной фраз и слов).

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

"Золотые" фигуры

[Amicus Plato]

Если построить прямоугольник, стороны которого удовлетворяют золотой пропорции (такой прямоугольник, как нетрудно понять, и называется "золотым"), окажется, что он обладает очень интересными свойствами.
Если от него отрезать квадрат, то останется вновь золотой прямоугольник. Если от второго пямоугольника поменьше вновь отрезать квадрат, опять получим золотой прямоугольник еще меньшего размера.
Этот процесс можно продолжать до бесконечности.


(не очень удачный рисунок, но какой нашелся)

А если провести диагональ первого и второго прямоугольника, то точка их пересечения будет принадлежать всем получаемым золотым прямоугольникам.

Такой прямоугольник — самая простая, но далеко не единственная золотая фигура.
Есть еще золотой треугольник. Это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равно фи, то есть, 1.618.



И, конечно, никуда не деться без пятиконечной звезды.



Каждый из ее лучей представляет собой золотой треугольник, а каждая из пяти линий, составляющих звезду, делит другую в отношении золотого сечения.
К этой фигуре особое пристрастие питали пифагорейцы. Не только они, конечно, — примеров мы знаем много, но именно они искали гармонию в числах, и в пятиконечной звезде они открыли не один пласт скрытых отношений между отрезками.
Всем ведь известно, что в маленький пятиугольник, из которого отходят лучи звезды, можно вписать такую же звезду поменьше. И так без конца.
Из-за ее удивительных свойств пифагорейцы сделали звезду своим символом.
Есть такая правдивая история (помню я ее плохо, поэтому расскажу коротко).
В дом к одному человеку ("древнему греку") постучался изможденный путник. Путник был устал, худ, и очень болен. Человек ухаживал за ним как мог. Делал для него всё возможное, но стало ясно, что путник умрет.
Перед смертью он сказал: "Мне нечем отблагодарить тебя за доброту. Я сейчас покажу тебе знак, — нарисуй его на своих воротах. Это всё, что я могу для тебя сделать". И показал пятиконечную звезду. С тем он и умер.
Человек совершил все, как он велел. Нарисовал на воротах звезду, и вскоре забыл об этом.
Прошло несколько лет, и в тех краях появился еще один путник. Увидев звезду на воротах, он сказал хозяину: "Это ты проявил доброту к нашему брату. Возьми же скромную награду. Ты заслужил ее". И дал ему кувшин (мешок(?)) денег.
Вот такими были пифагорейцы.

И, заметьте, о тимуровцах они ничего не слышали!

@темы: Золотое сечение, Amicus Plato