Вопрос

[дохтар ватцан]

Если не по теме сообщества, удалите, пожалуйста. Но лучше всё-таки ответьте.
Меня давно занимает такой вопрос: как вычислить диаметр радуги?

@темы: Вопросы

---

продолжая тему Minority

[chebur12]

...

Вопрос:
как отделить зрелые томаты от незрелых,если они в большом количестве свалены в одну емкость (подсказка) ... пребирать их в ручную нельзя... все делается достаточно бытро и без человеческого фактора
если вы знаете способ или догадываетесь, объясните на основе чего происходит отбор...

@темы: Вопросы

---

9 лекций. С.В. Жак

[lyambda]

10. Математические модели и гуманитарные науки

Современный мир неожиданно обнаружил,
что математика уверенно расположилась
в самых разных его частях и уголках.
В. Успенский

Вопросы соотношения между формально-логическим и художественно-образным путем познания является крайне важным и с методологической точки зрения, и с точки зрения оценки возможностей применения математики в гуманитарных науках.
Эти пути познания настолько различны по форме (и даже, по данным физиологии, ими ведают разные полушария мозга), что традиционно существует взаимное неприятие «гуманитариями» формальных методов, а «естественниками» – поэтических и образных «красивостей». Однако в последнее время это взаимное неприятие сглаживается, появляется все больше попыток «алгеброй гармонию проверить» и выявить гуманитарный компонент так называемого «точного» знания. Важные шаги на пути такого двустороннего сближения сделаны создателями структурной лингвистики и различных количественных подходов к анализу художественных текстов, формализации процессов создания музыки и обучения музыкантов, а также философами, четко показавшими, что в самых «точных» науках . с одной стороны, не все так уж точно (несмотря на известное высказывание А. Пуанкаре «Можно сказать, что нами достигнута абсолютная строгость»), а с другой стороны, - важнейшую роль в процессе любого творчества играет ментальность, система мировоззренческих взглядов, определяемая, прежде всего, гуманитарной культурой.
Целое направление современной математики основано на понятии «лингвистической переменной». Больше того, краеугольное понятие программирования для ЭВМ – понятие ИДЕНТИФИКАТОРА – имеет очевидное грамматическое происхождение, и отвечает понятию ИМЯ объекта, предмета, а все формальные АЛГОРИТМЫ возникли из простых «правил поведения», детально разработанных для нужд грамматики и этики. Даже терминология прикладной математики в значительной степени заимствована из гуманитарных наук (ЗАГОЛОВОК процедуры, ЛЕКСИКО-ГРАФИЧЕСКОЕ упорядочение объектов и т.п.).
Приведем несколько цитат на тему связей науки (математики) и искусства:
« … вся наука пронизана математикой как тело кровеносными сосудами, и соблазны математики вместе с кровью поражают прежде всего самое больное место науки – философию.»
Фр. Горенштейн (Октябрь,1996, № 1)
«Математика подобна искусству – не потому, что она представляет собой «искусство вычислять» или «искусство доказывать», а потому, что математика, как и искусство, - это особый способ познания»
В.Успенский, Математика в современном мире.
Наука и искусство «связаны между собой как легкие и сердце, так что если один орган извращен, то другой не может правильно действовать».
Л.Толстой.

«В любой области человеческого знания заключается бездна поэзии»
К.Паустовский.
«Между поэтом и ученым
Лежит извечно полоса:
Один пришел открыть законы,
.Другой – на мир открыть глаза!»
А.Марков, Лит. Россия, 13 июня 1986 г.
«Наука делает из человека специалиста, искусство делает из специалиста человека». ( «Число и мысль», в.3, 1980)


Продолжение следует...

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

ТРИЗ, часть 2

[Minority]

Продолжаем разговор...

Разберем еще один простой прием: Сделать заранее

Правильно подготовив опыт, можно во многом преуспеть. Вот например задача:

В хим. лаборатории собрали установку для получения нового минерального удобрения. Две жидкости, назовем их А и Б, распылялись, превращались в потоки мелких капелек, причем капельки А шли навстречу капелькам Б, соединялись, и получалось уобрение АБ. Но оказалось, что получалось еще два побочных продукта: АА и ББ, которые совершенно не нужны. Вопрос стоит в том, как избежать получения этих побочных веществ

Решение просто, для этого достаточно воспользоваться общеизвестным физическим фактом. Подумаете сами, или сразу сказать ответ?)

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

ТРИЗ

[Minority]

Итак, Теория решения изобретательских задач.

Буду потихоньку выкладывать сюда немножко переработанный материал из книжек Альтшуллера.

Что такое изобретение? Это что-то необычное, хотя зачастую не такое уж технически сложное. Мой учитель физики считает, что изобретателем может быть каждый, если ему с детства подкидывать нетривиальные задачи, рассчитанные на сообразительность. Думаю, он прав, да только мало где маленьким детям дают такие развивающие задачи. А уже годам к 15 мы зачастую перестаем мыслить так же гибко, школа загоняет нас в рамки того, что принято.

И мы говорим, что что-то невозможно.

А между прочим зачастую различные открытия были сделаны оттого, что кто-то просто не знал того, что "все знают": того, что что-то невозможно. Не знал и доказал обратное.

Но по сути изобретательские задачи может решить каждый, если не будет изначально ставить на себе крест: я не знаю, я не понимаю... На самом деле ведь просто лень подумать, правда?

Разберем один из приемов решения задач на простом примере. Думаю, многие его даже встречали.

Девочка справляла день рождения. кто-то из гостей принес большую коробку конфет. Конфеты были сделаны в виде шоколадных бутылочек, наполненных густым малиновым сиропом. Один из гостей спросил:
- Интересно, как изготавливают бутылочки?
- Сначала делают шоколадную бутылочку, потом заливают в нее сироп, - пояснил другое гость.
- Сироп обязательно должен быть густым, иначе конфета получится непрочное. А густой сироп трудно залить в бутылочку. Можно, конечно, нагреть сироп, он станет более жидким. Но беда - горячий сироп расплавит шоколадную бутылочку. Выиграем в скорости, проиграем в качестве, будет больше брака...

Думаю, многие из вас знают правильный ответ на задачу: все делается как раз наоборот. Сироп разливают в формочки и замораживают, а потом поливают шоколадом - и конфеты готовы.

Итак, первый принцип ТРИЗ:

Сделать наоборот

запись создана: 03.12.2006 в 11:03

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

9 лекций. С.В. Жак

[lyambda]

9. Проблемы и перспективы современной прикладной математики

Они, в первую очередь, связаны с прогрессом вычислительной техники. Чрезвычайно быстрый прогресс её, рост быстродействия, объёма памяти, удобства обращения, возможностей ввода и обработки текстов и изображений создали возможности для качественного скачка методов и подходов. Активно ведутся работы по словарному, голосовому вводу и дальнейшей интеллектуализации компьютеров. В перспективе предполагается создание «клеточного» компьютера, вводимого внутрь организма и регулирующего его функции.
Современная математика ставит и решает задачи, немыслимые для предыдущего «докомпьютерного» периода – анализ текста и его характеристик, модели рекламы, демографического и экономического развития, модели музыкальных произведений.
Это и «исторические» модели – анализ Пелопоннесских войн, модель «Войны между Грецией и Римом» (между двумя странами с разным уровнем развития и разным менталитетом, агрессивностью), модели «ядерной зимы» - перспектив существования (точнее, несуществования, гибели) цивилизации на Земле после даже локальных ядерных войн. Нужно отметить и роль «ростовчан» в этих разработках, и безусловное значение последней модели в изменении отношения к перспективам холодной войны.
Развитие новых методов и моделей требует создания новых языков, специализированных для решения определённых классов задач. Идея создания «универсального» языка опровергнута человечеством ещё на уровне попытки строительства Вавилонской башни. Формализованные языки не должны допускать неоднозначности истолкования текста – к чему может привести игнорирование этого требования, наглядно показывает притча о заячьей лапке и трёх желаниях, ею выполняемых.
Реальные языки обладают высокой избыточностью, которая, по мнению палеолингвистов является одним из существенных элементов, отличающих человека от животных (наряду с чувством юмора, по мнению французского писателя Веркора). Это ярко иллюстрирует наличие, например, у языка эвенков 60 слов для обозначения снега, 50 слов для указания, как пройти. Избыточность, позволяющая заменять одни понятия другими, иллюстрирует и отсутствие в языке бушменов (по сведениям английского коммуниста Корнфорта) отсутствие слова «болит» - если болит голова, то они говорят «у меня есть голова».
Взаимодействие лингвистики и математики не ограничивается сопоставлением реальных и формальных языков, заимствовании при их создании законов и особенностей (в том числе и языков типа Эсперанто). Наблюдение над реальными языками привело к введению в арсенал математики так называемых лингвистических переменных, не имеющих определённого количественного значения, а отвечающих словам большой, средний, малый или высокий, средний, низкий и т. д. с определённой степенью принадлежности, близкой к понятию вероятности, но не совпадающей с ней. С помощью этого аппарата оказалось возможным не только описывать рассуждения, более близкие к реальным рассуждениям, чем математическая логика, но и решать оптимизационные задачи.
В заключение заметим, что для современной математики по существу нет задач, которые она не могла бы более или менее адекватно изучать.

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

9 лекций. С.В. Жак

[lyambda]

8. Математическая статистика и прикладные задачи

«Математическая статистика, наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов» (РЭС).
Таким образом речь идёт об использовании разработанных и упомянутых выше методов для применения в различных предметных областях – в данном случае в лингвистике, литературоведении и т.д.
Кроме тех задач, о которых шла речь выше (оценка параметров, идентификация функций распределения, расчёт характеристик вероятностных связей, оценка вероятности превышения некоторого уровня) значительная часть математической статистики посвящена проверке гипотез – оценке адекватности сделанных предположений о виде функции распределения, о значении тех или иных параметров.
Широко практикующиеся в лингвистике и литературоведении оценки частот отдельных слов, выражений, стихотворных размеров и стилей с помощью этих методов получают твёрдую количественную основу, легко автоматизируются, перекладываются «на плечи» компьютеров. В частности, легко повторить и дополнить результаты монографии [6].
Те же методы позволяют исследовать вопросы авторства по анализу почерка и текста.
Косвенно связаны с математической статистикой ( как приложениями теории вероятностей) разработанные новые подходы – уже упомянутая теория игр и теория массового обслуживания – «теория очередей». Последняя позволяет, в частности, обосновать тираж произведений искусства (печатных и изобразительных), оценить спрос и последствия решений менеджеров (зачастую – ошибочные, приводящие к значительным убыткам).
Теория игр в гуманитарных науках обычно не имеет в явном виде «противника», но почти всегда связана с «игрой против Природы», поведение которой, по выражению А. Эйнштейна, «не злокозненно, но неизвестно и замысловато».
Важной задачей математической статистики является и оценка объёма словарей. Более или менее субъективный отбор «необходимого» запаса слов привел, например, к тому, что в 7 учебниках французского языка общими оказалось лишь… 10% слов!
То есть учебники посвящены по существу разным языкам!
Одной из важнейших задач прикладной статистики являются проблемы кластеризации – выделения групп объектов (областей представляющих их точек), объединённых некоторыми общими свойствами, разбиения множества объектов на типовые группы, классификация их. Эти проблемы актуальны и в археологии, ив литературоведении.
В связи с всё растущим применением вероятностных и статистических методов возникает вопрос о роли случайности.
С одной стороны – это объективная реальность, практически все параметры окружающих нас процессов являются более или менее случайными, изменяющимися независимо от нас в большем или меньшем диапазоне. Поэтому учёт таких изменений необходим.
С другой стороны, такой учёт всегда усложняет возникающие задачи, делает их более трудными для решения, и неизвестно, нужно ли «платить» таким усложнением или можно ограничиться детерминированными задачами со средними значениями параметров? Ответ на этот вопрос требует как раз решения стохастических задач и сравнения результатов.
Но есть ещё и третья сторона вопроса об учёте случайности. Оказывается, что при решении достаточно сложных детерминированных задач нередко возникают серьёзные трудности – появление «оврагов» при задачах оптимизации, «зацикливание» процессов решения задач и т.п. И выход необходимо искать … в применении случайности, в организации случайного поиска, случайного «наброса» точек, то есть случайность оказывается, хоть и медлительной, но «палочкой-выручалочкой». Тот же эффект даёт применение так называемого «метода Монте Карло» - статистической имитации почти любых сложных процессов (от ремонта локомотивов до изучения спроса и вкусов для литературных произведений).

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

Ответ на вопрос Лямбды

[Amicus Plato]

Гармонический ряд.
Сходимость гармонического ряда.

Пусть у нас есть гармонический ряд (который выглядит следующим образом):

1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n+…

Ясно, что при n стремящемся к бесконечности, слагаемые этой бесконечной суммы стремятся к нулю. Но стремится ли к какому-то определенному значению вся сумма? Иными словами, сходится ли ряд? Существует ли для него конечный предел при n стремящемся к бесконечности? Или сама сумма растет неограниченно и тоже уходит в бесконечность?
Казалось бы, ответ очевиден: слагаемые стремятся к нулю, значит, сумма должна быть ограниченной сверху какой-то константой. Пусть, быть может, очень большой, но конечным конкретным числом. Не тут то было! Ряд расходится. Сумма равна бесконечности и возрастает она со скоростью логарифма.

А доказательство на пальцах сейчас попробую изобразить.

Посмотрим на ряд еще раз.

1+1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n+…

Сгруппируем члены ряда следующим образом:
первая единица,
потом 3 следующих члена,
потом 9,
потом 27,
потом 81 и. т. д.
Оказывается, что если брать каждый раз количество членов, равное степеням тройки, то сумма членов каждой такой группы будет больше единицы. Поскольку ряд бесконечен, то число таких групп тоже бесконечно. А бесконечное количество слагаемых, бОльших единицы, естественно, в сумме дает бесконечность. То есть, гармонический ряд расходится.

Осталась самая малость: доказать, что любая такая группа слагаемых будет больше единицы. Сейчас попытаюсь это сделать.

Возьмем первую из них:

1/2+1/3+1/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (*)

ясно, что можно просто сложить дроби, и получить в результате 13/12, — число, превышающее единицу. Но нас это совсем не устраивает, потому что сосчитать сумму последующих групп будет уже не столь легко.

Поэтому, подойдем к делу с другого бока.
У нас три слагаемых. Среднее из них равно 1/3. Если мы докажем, что эту сумму можно представить в виде трех слагаемых, каждое из которых будет равно 1/3, (плюс еще какое-то положительное число в качестве довеска), это и будет означать, что сумма больше единицы.
Сейчас объясню.
Если выражение (*) можно записать в виде:

S1 = 1/3+1/3+1/3+eps (где eps>0), то получим:

S1 = 1/3+1/3+1/3+eps = 3*(1/3)+eps = 1+eps > 1

Посмотрим, что мы имеем. Разберемся отдельно с каждым слагаемым.
Сперва выразим 1/2 через 1/3.

1/2=1/3+1/6

Теперь 1/4:

1/4=1/3-1/12.

Тогда получим:

S1 = 1/2+1/3+1/4 = (1/3+1/6) + 1/3 + (1/3 -1/12) = (1/3+1/3+1/3) + (1/6 – 1/12) = 1 + 1/12 >1

Здесь у нас eps=1/12

Для следующей суммы S2, у которой девять слагаемых, получим (это просто так – для наглядности):

S2 = 1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+1/13

Здесь слагаемых, как уже сказано, 9, и центральным, пятым по счету, является 1/9.
Если девять раз сложить по 1/9, получим единицу. Значит, как и в предыдущем случае, когда мы всё выражали через 1/3, здесь надо выразить все слагаемые через 1/9, и посчитать остаток. Если он положителен, то сумма будет больше единицы, т.е. надо доказать, что

S2 = 9 * (1/9) + eps (eps>0)

Посмотрим, что собой представляют наши слагаемые. Пойдем от центра: от 1/9 влево и вправо:

1/8 = 1/9 + 1/72, то есть, 1/8 = 1/9 + 1/(8*9)
1/10 = 1/9 – 1/90, то есть, 1/10 = 1/9 – 1/(10*9)

теперь буду лирику опускать, кто захочет, может проверить:

1/7 = 1/9 + 2/(7*9)
1/11 = 1/9 – 2/(11*9)

1/6 = 1/9 + 3/(6*9)
1/12 = 1/9 – 3/(12*9)

1/5 = 1/9 + 4/(5*9)
1/13 = 1/9 – 4/(13*9)

Я не зря сгруппировала эти члены по парам. В довесках к 1/9 у них стоят одни и те же числители! Посмотрим, как же в таком виде будет выглядеть сумма S2. Пары по-прежнему буду писать рядышком: первое слагаемое: 1/9 – середина ряда, а затем суммы пар, всё удаляющихся от центра:

S2 = 1/9 + (1/8 + 1/10) + (1/7 + 1/11) + (1/6 + 1/12) + (1/5 + 1/13)

Подставим выражения для каждого слагаемого. Все слагаемые «1/9» (их 9 штук) просуммируем сразу. Оставим только попарные довески к ним. Имеем:

S2 = 9* 1/9 +
+ {1/(8*9) – 1/(10*9)} +
+ 2*{1/(7*9) – 1/(11*9)} +
+ 3*{1/(6*9) –1/(12*9)} +
+ 4*{1/(5*9) – 1/(13*9)}

Первое слагаемое: 9*1/9 дает единицу. Посмотрим на хвост:
В каждой фигурной скобке видно, что из большего числа вычитается меньшее, то есть хвост положителен, и S2 > 1.

Можно сказать, что для S3, S4,…Sn… рассуждения аналогичны, но лучше всё же представить общую формулу.

Она такова:

Sn+1= 1 +
+ {1/((3^n – 1)*(3^n)) – 1/((3^n + 1)*(3^n))} +
+ 2* {1/((3^n – 2)*(3^n)) – 1/((3^n + 2)*(3^n))} +
+ 3*{1/((3^n – 3)*(3^n)) – 1/((3^n + 3)*(3^n))} +…
...
+ ((3^n –1)/2)* {1/((3^n – ((3^n –1)/2))*(3^n)) – 1/((3^n + ((3^n –1)/2))*(3^n))}

Формула в таком плоском виде получилась неприглядной, но на самом деле она очень проста.
Каждое слагаемое положительно, т.к. в каждой скобке из большего числа вычитается меньшее.

Сумма гармонического ряда S состоит из бесконечной суммы Sn, каждая из которых больше единицы.
Таким образом, ряд расходится.
Ч.т.д.
УРА!

UPD: Не могу не похвастаться: я сама до этого додумалась! (В смысле: до того, как доказывать, что каждая сумма Sn больше единицы).
Не считая того, что это задачка для школьников, есть, чем гордиться! )))))))))))

@темы: Бесконечность, ответы, Amicus Plato, Вопросы

---

9 лекций. С.В. Жак

[lyambda]

7. Непрерывные случайные величины

Если случайные величины – скалярные, одномерные или многомерные, векторные,- могут принимать непрерывное множество значений, то указанные подходы необходимо обобщить. При этом частотный подход, развивавшийся Мизесом, уступил место подходу А.Н. Колмогорова, основанному на мере множеств возможных значений случайной величины, и связаных с ними так называемыми s-алгебрами. В одномерном случае, которым изложение здесь ограничивается, всё проще, и может излагаться без применения этого аппарата.
Пусть для начала случайная величина Х принимает все возможные значения от -Ґ до +Ґ. Тогда можно оценить вероятность (Pr) того, что случайная величина Х принимает значения, не превосходящие число х и назвать её функцией распределения:
F(x) = Pr{ X<= x}; F(-беск)=0, F(+ беск) =1
(эта функция монотонно растёт).
Производная этой функции f(x) = F'(x)>=0 называется плотностью распределения случайной величины Х. На этот случай понятия математического ожидания и дисперсии легко переносятся и представляются интегралами, в которых участвует плотность распределения.
Естественно, что разные случайные величины имеют разные функции распределения, среди которых отметим две наиболее употребительных.
1. Экспоненциальное распределение:

Такому распределению обычно удовлетворяет время обслуживания клиента
мастером или прибором. Параметр m равен среднему числу требований
(клиентов), обслуженных в единицу времени. Естественно, при этом xі 0.
2. Нормальное распределение, возникающее, в частности, когда имеется сумма многих независимых случайных величин с одинаковыми плотностями распределения:

При такой плотности распределения интеграл от неё, функция распределения не выражается через элементарные функции («интеграл не берётся»), но имеются удобные таблицы, которыми можно пользоваться, если предварительно преобразовать интеграл к стандартному виду – за счёт масштабов получить нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.
Рассматриваются и используются и другие функции распределения – их применение обосновывается различными дополнительными свойствами рассматриваемых вероятностных процессов.
Обобщение функций распределения (в том числе и упомянутых выше) на конечный отрезок возможного изменения случайной величины требует её дополнительной нормировки – умножения на множитель, зависящий от величины этого отрезка.
Математических трудностей не вызывает и перенос функций распределения на многомерные случайные величины – возникают соответственно функции многих переменных и многомерные интегралы.
В более сложных случаях строятся эмпирические функции распределения по имеющимся опытным данным на основе уже упоминавшегося метода наименьших квадратов или специфического для вероятностных процессов метода максимума правдоподобия. Однако при этом необходимо помнить о дополнительных условиях: положительности некоторых параметров, неотрицательности плотности распределения, равенстве 1 интеграла от функции распределения по всей области её определения.
С помощью функций распределения можно решать все возникающие задачи оценки характеристик («статистик») для процессов, где участвуют случайные параметры.

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

Объясните, пожалуйста

[lyambda]

на пальцах почему гармонический ряд Un=1/n расходится. Я знаю доказательство наизусть, но понять "на пальцах", а тем более объяснить не могу! Необходимое условие выполняется, каждый следующий член ряда меньше предедущего, а ряд расходящийся.
Спасибо за помощь

@темы: Вопросы

---

Лента Мёбиуса и бутылка Клейна

[Amicus Plato]

Все мы знаем про лист (ленту) Мёбиуса. Но, думаю, немногие слышали о бутылке Клейна. Сейчас расскажу про эти удивительные поверхности.
Лента Мёбиуса получается из обыкновенной бумажной полоски, склеенной концами, но не в обычное кольцо, а в кольцо, перекрученное на пол-оборота. То есть, склеивая кольцо из полосы бумаги, мы просто совмещаем верх одного ее конца с низом другого. Для того чтобы сделать ленту Мёбиуса, нужно перевернуть один конец, и тогда получится, что низ склеится с низом, или, что то же самое, верх с верхом. Иначе говоря, мы должны совместить одноименные стороны обоих концов. Как еще проще? Если одна сторона полоски белая, а другая – черная, то белое должно быть склеено с белым, или черное с черным – лицом к лицу. Тогда на стыке получится переход, граница между двумя цветами. Что мы знаем о такой поверхности?
Мы знаем, что у нее только одна сторона, в то время как у кольца, естественно, две. То есть, как в школе, ставим ручку и проводим, не отрывая ее от бумаги, линию вдоль бумажной полосы, пока эта линия не замкнется. Что будет у кольца? Одна сторона – с линией, другая – пустая. Что будет у ленты Мёбиуса? Линия будет везде! Пустого места не останется. Это и означает, что лента является односторонней поверхностью. Второй стороны просто нет!
Но и это еще не все! Если разрезать обычное кольцо вдоль, получатся всего лишь два таких же кольца потоньше. А если разрезать ленту Мёбиуса – получим ОДНУ новую ленту, но уже с двукратным перегибом.
Но ленту Мёбиуса нельзя разрезать сколько хочешь! При разрезании в первый раз, как я уже говорила, она становится перекрученной дважды. А любое четное скручивание дает две стороны! Дальше уже режь не режь – удвоением можно вновь получить только четное – нечетного не получишь! Хотя, при следующем разрезании получается не одно, четыре раза скрученное кольцо, как следовало бы по логике вещей, а два, скрученных дважды, продетые одно через другое. Это все, может быть, по-своему занимательно, но свойство односторонности утрачено полностью и безвозвратно. То есть, как и все нестабильные искусственные образования, как все особо неустойчивые гибриды, такие поверхности не размножаются себе подобными.

Что такое бутылка Клейна?
«Бутылка Клейна – это односторонняя поверхность. В трехмерном пространстве она имеет линию самопересечения. Без самопересечения может быть построена только в четырехмерном пространстве».
Представьте себе обыкновенную бутылку, которая сделана из «пластичного» стекла, которое можно гнуть и скручивать. И вот мы проделываем в ее боку дырку, берем за горлышко, сгибаем, и вставляем горлышко в эту дырку. Пропускаем его внутри до самого дна. В дне проделываем еще одну дырку. Края горлышка и дырки аккуратно склеиваем. Готово!!!
Получилась тоже ОДНОСТОРОННЯЯ поверхность! Но так как ручкой по ней не повозишь – неудобно, – пустим по ней ползать муху. И вот эта муха будет ползать везде, ни разу не перейдя изнутри наружу (или снаружи вовнутрь). В отличие от любой обычной бутылки, у которой есть внутренняя и внешняя стороны, и граница между ними проходит по горлышку, у этой бутылки нет ничего внешнего и внутреннего. Она как бы ввернута сама в себя.
На картинке это выглядит вот так:




А вот здесь:
http://klein.zen.ru/zen-spirit/salo...ka/klein-01.htm
лежит эта бутылка, которая вращается вслед за мышью, и ее можно рассмотреть со всех сторон.

@темы: Односторонние поверхности, Amicus Plato

---

Специально для лингвистов,...

[Amicus Plato]

...а точнее, для семиотиков!
С восхищением и белой завистью!

***
Шалтай-Болтай взял книжку и уставился в нее.
- Кажется, здесь нет ошиб... - начал он.
- Вы ее держите вверх ногами, - прервала его Алиса.
- Ну, конечно, - весело заметил Шалтай-Болтай и взял перевернутую Алисой книжку. - То-то я смотрю, как странно все это выглядит! Поэтому я и сказал: "_Кажется_, здесь нет ошибки!", - хоть я и не успел разобраться как следует... Значит так: триста шестьдесят четыре дня в году ты можешь получать подарки на день нерожденья...
- Совершенно верно, - сказала Алиса.
- И только _один_ раз на день рожденья! Вот тебе и слава!
- Я не понимаю, при чем здесь "слава"? - спросила Алиса.
Шалтай-Болтай презрительно улыбнулся.
- И не поймешь, пока я тебе не объясню, - ответил он. - Я хотел сказать: "Разъяснил, как по полкам разложил!"
- Но "слава" совсем не значит: "разъяснил, как по полкам разложил!" - возразила Алиса.
- Когда _я_ беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше и не меньше, - сказал Шалтай презрительно.
- Вопрос в том, подчинится ли оно вам, - сказала Алиса.
- Вопрос в том, кто из нас здесь хозяин, - сказал Шалтай-Болтай {e}. - Вот в чем вопрос!
Алиса вконец растерялась и не знала, что и сказать; помолчав с минуту, Шалтай-Болтай заговорил снова.
- Некоторые слова очень вредные. Ни за что не поддаются! Особенно глаголы! Гонору в них слишком много! Прилагательные попроще - с ними делай, что хочешь. Но глаголы себе на уме! Впрочем, я с ними со всеми справляюсь. Световодозвуконепроницаемость! Вот что я говорю!
- Скажите, пожалуйста, что это такое? - спросила Алиса.
- Вот теперь ты говоришь дело, дитя, - ответил Шалтай, так и сияя от радости. - Я хотел сказать: "Хватит об этом! Скажи-ка мне лучше, что ты будешь делать дальше! Ты ведь не собираешься всю жизнь здесь сидеть!"
- И все это в одном слове? - сказала задумчиво Алиса. - Не слишком ли это много для одного!
- Когда одному слову так достается, я всегда плачу ему сверхурочные, - сказал Шалтай-Болтай.
- Ах, вот как, - заметила Алиса.
Она совсем запуталась и не знала, что и сказать.
- Посмотрела бы ты, как они окружают меня по субботам, - продолжал Шалтай, значительно покачивая головой. - Я всегда сам выдаю им жалованье.
(Алиса не решилась спросить, чем он им платит, поэтому и я ничего не могу об этом сказать.)
- Вы так хорошо объясняете слова, сэр, - сказала Алиса. - Объясните мне, пожалуйста, что значит стихотворение под названием "Бармаглот".
- Прочитай-ка его, - ответил Шалтай. - Я могу тебе объяснить все стихи, какие только были придуманы, и кое-что из тех, которых еще не было!
Это обнадежило Алису, и она начала:

Варкалось. Хливкие шорьки
Пырялись по наве.
И хрюкотали зелюки,
Как мюмзики в мове.

- Что же, хватит для начала! - остановил ее Шалтай. - Здесь трудных слов достаточно! Значит, так: "варкалось" - это четыре часа пополудни, когда пора уже варить обед.
- Понятно, - сказала Алиса, - а "хливкие"?
- "Хливкие" - это хлипкие и ловкие. "Хлипкие" значит то же, что и "хилые". Понимаешь, это слово как бумажник. Раскроешь, а там два отделения! {f} Так и тут - это слово раскладывается на два!
- Да, теперь мне ясно, - заметила задумчиво Алиса. - А "шорьки" кто такие?
- Это помесь хорька, ящерицы и штопора!
- Забавный, должно быть, у них вид!
- Да, с ними не соскучишься! - согласился Шалтай. - А гнезда они вьют в тени солнечных часов. А едят они сыр.
- А что такое "пырялись"?
- Прыгали, ныряли, вертелись!
- А "нава", - сказала Алиса, удивляясь собственной сообразительности. - Это трава под солнечными часами, верно?
- Ну да, конечно! Она называется "нава", потому что простирается немножко направо... немножко налево...
- И немножко назад! - радостно закончила Алиса.
- Совершенно верно! Ну, а "хрюкотали" это хрюкали и хохотали... или, может, летали, не знаю. А "зелюки" это зеленые индюки! Вот тебе еще один бумажник!



- А "мюмзики" - это тоже такие зверьки? - спросила Алиса. - Боюсь, я вас очень затрудняю.
- Нет, это птицы! Бедные! Перья у них растрепаны и торчат по все стороны, будто веник... Ну а насчет "новы" я и сам сомневаюсь. По-моему, это значит "далеко от дома". Смысл тот, что они потерялись. Надеюсь, ты теперь довольна! Где ты слышала такие мудреные вещи?
- Я прочитала их сама в книжке, - ответила Алиса. - А вот Траляля... да, кажется, Траляля, читал мне стихи, так они были гораздо понятнее!
- Что до стихов, - сказал Шалтай и торжественно поднял руку, - _я_ тоже их читаю не хуже других. Если уж на то пошло...
- Ах, нет, пожалуйста, не надо, - торопливо сказала Алиса.
Но он не обратил на ее слова никакого внимания.
- Вещь, которую я сейчас прочитаю, - произнес он, - была написана специально для того, чтобы тебя развлечь.
Алиса поняла, что придется ей его выслушать. Она села и грустно сказала:
- Спасибо.

(с) Л. Кэрролл. Алиса в Зазеркалье.

@темы: Цитаты

---

Для разминки...

[Amicus Plato]

— Будьте так добры... — проговорила, задыхаясь, Алиса. — Давайте сядем на минутку... чтоб отдышаться немного.
— Сядем на Минутку? — повторил Король. — И это ты называешь добротой? К тому же Минутку надо сначала поймать. А мне это не под силу!
Она пролетает быстро, как Брандашмыг! За ней не угонишься!

Л. Кэрролл. Алиса в Зазеркалье.

@темы: Цитаты

---

9 лекций. С.В. Жак

[lyambda]

6. Комбинаторика и теория вероятностей

В предыдущих рассуждениях (и в истории развития указанных разделов математики) предполагалось, что значения всех величин – детерминированы, мы можем присвоить им те или иные значения по своему усмотрению. В то же время уже в древности существовали процессы, где этими значениями распоряжаемся не мы, а «его величество Случай», - например, игра в орлянку или игра Morra, где выигрыш определялся сравнением количества выброшенных игроками пальцев.
Разработка теории таких процессов систематически началась лишь в ХVIII веке, а в последнее столетие очень активно развивалась для всё более сложных процессов в экономике, политике, в военных действиях.
Простейшим случаем, который здесь изучается, является тот, где некоторая (случайная) величина может принимать – независимо от нашего желания, - лишь конечное число значений (исходов). Основной вопрос заключается в том, чтобы как-то оценить возможность интересующих нас, «благоприятных» исходов. К такой оценке можно подойти двумя путями:
- по наблюдениям – если в n испытаниях (или реализациях) k раз мы имели благоприятный исход, то частота благоприятных исходов равна k/n и называется частотой появления благоприятного события;
- по теоретической возможности – как отношение числа K всех возможных благоприятных исходов к числу N всех возможных исходов K/N - эта величина называется вероятностью искомого, благоприятного события.
Теоретически доказано, что при большом числе наблюдений эти величины близки, но для априорной оценке вероятности нужно научиться подсчитывать меру множеств всех исходов и благоприятных. Эти множества называются событиями и их мера определяется комбинаторными формулами: числом возможных размещений n элементов в k ячейках, их перестановок и сочетаний (размещений без учёта перестановок). Эти величины определяются соответственно формулами:

Последняя величина как раз определяет число k благоприятных исходов («орёл») при игре в орлянку с n бросаниями монеты и при n=5, k =3 равно 10, а вероятность трёх выпадений орла при 5 бросаниях равна 10/32 = 0.3125 (так как всего 25 =32 варианта).
Процесс последовательных испытаний, в каждом из которых благоприятный исход имеет вероятность p (в орлянке, при честном бросании и уравновешенной монете p=1/2) называется процессом Бернулли и вероятности всех исходов описываются известной формулой бинома Ньютона:

Каждый элемент n-й строки, равный сумме двух элементов над ним, даёт соответствующий коэффициент биномиального разложения, а сумма всех элементов строки равна 2^n .
Возвращаясь к орлянке, найдём, что вероятность выиграть не менее трёх раз равна сумме трёх первых слагаемых (отвечающих 5, 4 и 3 выигрышам) из 6, то есть
1/32 + 5/32+10/32 = 16/32 =1/2.
Наряду с вероятностями, в изучении случайных процессов играют математическое ожидание или средний выигрыш(при частотном подходе) – он равен сумме выигрышей, умноженных на вероятности каждого исхода, - и среднее квадратическое отклонение от него (при вероятностном подходе его квадрат называется дисперсией).
Если при каждом бросании ставится и выигрывается (или проигрывается)10 рублей, то за 5 бросаний игрок выиграет
50/32 + 40· 5/32 + 30· 10/32 + 20·10/32 + 10· 5/32 +0·1/32 = 800/32 = 25 (рублей) -
половину поставленных денег; этого и нужно было ожидать, так как вероятность одиночного выигрыша равна 1/2.. Отметим, что эти средние характеристики, подтверждающиеся при большом числе испытаний, не исключают на практике более высокого выигрыша или полного проигрыша.
Более детальные исследования игрового поведения представляют предмет отдельного раздела математики – теории игр, широко использующего теорию вероятностей. Теории игр, в частности, посвящён фильм «Игры разума», героем которого является лауреат Нобелевской премии Нэш.
Как и ранее, в рассматриваемой области можно выделить грамматику и словарь. Грамматика состоит из общих положений, почти очевидных:
- утверждение полноты – сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1;
- теорема умножения – вероятность двух независимых исходов определяется произведением их вероятностей (И-теорема);
- теорема сложения – вероятность хотя бы одного из независимых исходов равна сумме их вероятностей (ИЛИ- теорема).
Если исходы не являются независимыми (формального определения здесь не приводится), то последняя теорема должна быть подправлена – иначе «вероятность» может стать больше 1 (а, как известно, обязательство пожарных тушить 110% пожаров невыполнимо).
Словарь состоит из расчётов вероятностей для различных типов процессов с дискретными случайными величинами – выше приведен такой расчёт для схемы Бернулли. Приведём ещё вероятность того, что случайная величина принимает значение n при математическом ожидании l (закон редких событий, закон Пуассона):

Теория вероятностей всё шире применяется в самых разных областях исследования – в медицине, генетике, истории, криминалистике. Она помогает установить авторство текста, родственные связи, происхождение человека, место производства различных изделий.
Однако следует помнить, что вероятностные связи, мерой которых являются, например, коэффициент корреляции, говорят лишь о возможности причинных связей и вывод о наличии причинной связи может быть ошибочным. Так, коэффициент корреляции между любовью к солёным огурцам и инфарктом миокарда близок к 1, но причинной связи здесь нет. На самом деле в этом случае есть накладка двух явлений: любви к солёным огурцам и склонности к алкоголизму (и то не всегда), и связи между алкоголизмом и сердечными заболеваниями, - тут причинные связи имеют место! Близкими псевдо - доказательствами изобилует «новая хронология» академика Фоменко, смещающая ряд исторических явлений на несколько веков.
Есть ещё один характерный пример, вероятностный парадокс. Одна из замечательных теорем А.А. Маркова в применении к альпинизму звучит так: Поскольку у каждого альпиниста имеется ненулевая вероятность упасть в глубокую трещину, из которой нельзя выбраться, то с вероятностью 1 за конечное время он там и окажется! Однако мы видим, к счастью, множеству живых альпинистов! Нет противоречия с теоремой – просто альпинисты прекращают восхождения раньше, чем «срабатывает» теорема.

@темы: С.В. Жак, Публикации

---

Просьба к Лямбде

[Amicus Plato]

Лямбда, если не тяжело, не бросай, пожалуйста, выкладывать лекции Жака и Системный анализ!

---

Соломоново решение

[Amicus Plato]

Флуд непобедим...
Потому что ту черту, где кончается "содержательная часть" комментария и начинается "бессодержательная" — каждый определяет по-своему и зачастую весьма субъективно....
Поэтому предлагается следующее: свои записи я буду дублировать в своем же дневнике, и неформально пообщаться можно будет там ))))

А в остальных записях — как пожелает автор*.

*Это не относится к вопросам. Там, где вопрос предполагает квалифицированный ответ, как это было у Неунывающей улитки, флуд считаю абсолютно недопустимым**.

**Но поскольку у меня слова всегда расходятся с делом, и на убийство комментов, думаю, я так и не сподоблюсь, давайте проявим сознательность ))))

@темы: Техническая запись

---

о! божественная простота :)

[chebur12]

Что такое n-мерный кирпич, для n>3

@темы: Вопросы

---

БАРМАГЛОТ

[Дилетант]

Варкалось. Хливкие шорьки
Пырялись по паве,
И хрюкотали зелюки.
Как мюмзики в мове.

О бойся Бармаглота, сын!
Он так свиреп и дик,
А в глуще рыщет исполин -
Злопастный Брандашмыг!

Но взял он меч, и взял он щит,
Высоких полон дум.
В глущобу путь его лежит
Под дерево Тумтум.

Он стал под дерево и ждет,
И вдруг граахнул гром -
Летит ужасный Бармаглот
И пылкает огнем!

Раз-два, раз-два! Горит трава,
Взы-взы - стрижает меч,
Ува! Ува! И голова
Барабардает с плеч!

О светозарный мальчик мой!
Ты победил в бою!
О храброславленный герой,
Хвалу тебе пою!

Варкалось. Хливкие шорьки
Пырялись по наве.
И хрюкотали зелюки.
Как мюмзики в мове.

смотреть дальше

@темы: Цитаты

---

А вот еще по поводу...

[Amicus Plato]

...четности и нечетности!
Поговорила с Fiona-Eva и поняла, что на эту тему еще кое-что можно сказать.
Древние греки с большим пиететом относились к числам.
Пифагор обладал вообще экстремальным взглядом на бытие, и говорил, что "Все вещи суть числа".
Но Пифагора не хочу упоминать всуе. Про него надо писать отдельно и много.
А пока расскажу про четность и нечетность в понимании Платона.
Даже не сама расскажу. Вот цитата из А.Ф. Лосева:

Четность числа, предполагающая его разделение на равные части, и нечетность числа, выражающая полную невозможность такого распадения, понимались Платоном чрезвычайно конкретно и красочно и уже по одному этому имеют ближайшее отношение к эстетике. Так, олимпийским богам подобает нечет, подземные же боги характеризуются чётом. Но это касается не только богов, но и вообще всего существующего, хотя арифметическое понятие чёта и нечета – совершенно чистое, самостоятельное и не зависит от тех вещей, к которым оно применяется, будучи вполне универсальным.

@темы: Натуральные числа, Amicus Plato, Люди

---

Вопросы

[feet of flame]

У меня трудности с вопросами. Дело в том, что математика у нас на немецком, а как эти термины на русском - я не знаю, попытаюсь объяснить, а вы мне можете "популярно" рассказать/объяснить, что же это такое?
Зараннее спасибо!
Лимесса (пишется как lim) - что за жук такой?
Была в формуле парциальных производных - то есть производная от функции с двумя неизвестными, когда производная берётся по одной неизвестной, а другая - как константа.
Расскажите, пожалуйста, для чего эти парциальные производные делаются?
А еще смешанные производные есть.
Можно тоже про них

@темы: Вопросы