В продолжении темы о фигурных числах
На примере пробного ЕГЭ от 09 апреля 2011 года
читать дальше
Вар.1 C6. Найти все целые значения `x` и `y`, для которых верно равенство `x(x+1)=y^2`
Левая часть равенства - прямоугольное число, со сторонами в `x` и `x+1` камушков, правая - те же камушки, но уложенные в квадрат. Очевидно, лишний ряд в прямоугольнике в `x` камушков никак не разбросаешь до квадрата, значит задача не разрешима, т.е. нет в природе такого, другими словами, одна из сторон 0. Тогда получаем, (0,0) и (-1,0)
Вариант 3. C6. Найдите все натуральные `m`, `n`, `p`, для которых выполняется условие `mnp=m+n+p`
Левая часть - телесное число (для определенности положим длину `m`, ширину `n`, высоту `p`). Значит, столько камушков(кубиков) в прямоугольном параллелепипеде. Правая часть всего лишь сумма трех его измерений. Левая часть может равняться правой только когда высота в 1 кубик. Тогда `p=1`. Теперь сумма длины и ширины +1 (лишний их совместный кубик) есть прямоугольное число. Такое возможно только при длине и ширине 3 и 2.
Т.о. размеры исходного числа 3 ; 2; 1.
Вар.2 С6 Найдите все целые значения `x` и `y`, при которых верно равенство: `y^2-1=3*2^x`
Для натуральных чисел:
Левая часть - прямоугольник со сторонами `y-1` и `y+1`.(`y > 1`) клеток. Правая - тоже прямоугольник, но интересно сконструированный: (Знаменитый принцип удвоения). В основе - прямоугольник со сторонами 3 и 1, который `x` раз удваивается.
Проведем обратное преобразование - деление пополам. Раз левая и правая часть равенства одно и то же число, то прямоугольной листок бумаги размерами (у-1) на (у+1) будем складывать пополам.
Причем, зная, что одна из сторон делится на 2, тут же делается вывод, что и вторая тоже (поскольку разница между ними 2). Складываем лист пополам сначала, например, по горизонтали, потом по вертикали. Теперь разница между шириной и длиной 1, это значит, что если число продолжает делится на 2, то делится теперь только одна сторона.
(Если уже ничто не делится, то мы дошли до того самого числа размером 3 на 1, тогда `(y+1)/2=3`, а `(y-1)/2=1` - нет такого `y`, удовлетворяющего обоим соотношениям)
Складываем пополам снова лист, зная, что та сторона, что не складывается, раз не складывается, в силу конструкции числа `3*2^x`
равна 3. Тогда либо `(y+1)/2=3`, откуда `y=5` и вторая сторона `(5-1)/2=2`, либо `(y-1)/2=3` откуда `y=7` и вторая сторона `(7+1)/2=4`. Т.о. при`y=5` будет совершаться ровно 3 сложения пополам листа, т.е. `x=3`; при`y=7` `x=4`.
Случай не натуральности: учтем `y=2` и `x=0`и симметричность по`y` в найденных парах.
Ответ: `(3, 5)`, `(3, -5)`, `(4, -7)`, `(4, 7)` `(0,2)`, `(0,-2)`.
C6 (Вариант 80)
Найдите все натуральные m, n, p, для которых выполняется условие `2mnp=m^2+n^2+p^2`
что-то не решается
(последний решенный мне больно нравиться, жаль мы со студентами не публикуемся сейчас)