Натуральные числа были открыты — я не говорю "придуманы", потому что вслед за многими математиками разделяю убеждение, что все математические идеи существуют сами по себе в Платоновском царстве идей.
Человеку дано лишь с помощью математической интуиции вдруг понять что-то, открыть то, что было всегда, — просто терпеливо дожидалось своего часа.
Так вот, натуральные числа были открыты в стародавние времена для счета предметов.
Для этой же цели они используются и сейчас. Если нам нужно что-то пронумеровать, мы пользуемся для этого множеством натуральных чисел N.
Что значит «пронумеровать»?
Это значит установить взаимнооднозначное соответствие между нумеруемыми предметами и натуральными числами.
Звучит, может, несколько устрашающе, но вот пример.
Пусть у нас есть шесть одинаковых овец. Чтобы их пронумеровать, их достаточно посчитать так, чтобы каждая овца была посчитана только один раз. Для этого откроем дверь загона, в котором они стоят, и будем выпускать их по одной. На каждую навесим ярлык с ее номером.
Первая вышедшая овца – 1
Вторая вышедшая овца – 2
Третья вышедшая овца – 3
Четвертая вышедшая овца – 4
Пятая вышедшая овца – 5
Шестая вышедшая овца – 6
Вот у нас и установлено взаимнооднозначное соответствие между множеством овец и подмножеством натуральных чисел.
Для тех, кто думает, что это детский сад, скажу, что всё просто только до тех пор, пока речь идет о конечных множествах. С бесконечными начнется куда более беспокойная жизнь.