Натуральные числа (продолжаем разговаривать о них) бывают четными и нечетными.
Только не говорите сразу, что это элементарно!
Это и вправду элементарно до тех пор, пока умопостигаемо. То есть пока наше воображение может легко представить то, о чем ему говорят.
Итак, четные числа — это числа, делящиеся на 2.
Их всегда можно представить в виде k = 2*n, где n — любое натуральное число.
Нечетные числа — это числа, не делящиеся на 2.
Каждое из них может быть записано как m = 2*n + 1.
Что это значит?
Это значит, что если у нас есть куча из k = 2*n предметов (яблок, апельсинов, кирпичей, etc.), мы ее можем смело разложить на две РАВНЫЕ кучки поменьше. В каждой из них окажется по n предметов.
Если число образующих кучу вещей нечетно: m = 2*n + 1 (n ≥ 0), то как бы мы ни старались, двух одинаковых кучек из нее нам не получить. Один предмет всегда будет лишним.
Любое четное число, большее двух, всегда можно разложить на сумму двух четных чисел или на сумму двух нечетных чисел.
То есть, само собой разумеется, что сумма двух четных числел — всегда четное число.
Но и сумма двух нечетных чисел — тоже четна.
Формально это записывается следующим образом.
Пусть есть два нечетных числа: m = 2*n + 1 и p = 2*r + 1.
Тогда

m + p = (2*n + 1) + (2*r + 1) = 2*n + 1 + 2*r + 1 = 2*(n+r) + 2 = 2 * (n+r+1)

Если мы обозначим натуральное число (n+r+1) через s, получим:

m + p = 2*s.

Это и означает, что суммой двух нечетных чисел всегда является число четное.
Аналогичным образом легко доказать, что сумма четного и нечетного числа — всегда число нечетное.

Чтобы проверить число на четность, необязательно делить его на два (особенно, если оно велико). Достаточно проверить последнюю его цифру.
Числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8 – четные, остальные, соответственно, – нечетные.

А теперь, внимание, вопрос: каких чисел больше в натуральном ряду: четных или нечетных?
Или даже сформулирую задачу иначе.
Каких чисел больше:
- четных;
- нечетных;
- делящихся на три;
- делящихся на пять;
- делящихся на сто;
- всех без разбора.
?
В ответ собираюсь написать о свойствах натурального ряда, но если кто-то хочет присоединиться — you are welcome!