Мощность множества натуральных чисел

[Organon]

Мой вопрос: каких же чисел больше: четных или нечетных — не вызвал большого ажиотажа )))
Отвечаю на него сама.
Начну с теории.
И этот вопрос подведет нас к понятию самой «простой» бесконечности.
Истоки того, о чем сейчас пойдет речь, лежат в теории множеств, но в нее я сейчас углубляться не буду.
Расскажу только, что любое множество состоит из некоторых элементов. Количество элементов может быть конечным или бесконечным. Множество яблок в корзинке, множество квартир в доме, множество книг на полке… — всё это примеры конечных множеств. Если в корзинке 10 яблок, — число элементов множества яблок в корзинке равно десяти.
Как же определяется число элементов в бесконечном множестве?
Обобщенным понятием количества элементов на произвольные множества является понятие мощности.
Т.е. в примере с корзинкой речь идет о мощности множества яблок. И эта мощность равна 10.
Мощность множества на самом деле — это абстракция. Она определяется как то общее, что есть у всех множеств, (количественно) эквивалентных данному.
И вот тут самое главное:

Два множества называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Помните пример с овцами?

Первая вышедшая овца — 1
Вторая вышедшая овца — 2
Третья вышедшая овца — 3
Четвертая вышедшая овца — 4
Пятая вышедшая овца — 5
Шестая вышедшая овца — 6

Это и есть пример взаимнооднозначного соответствия между множеством, состоящим из шести овец и множеством чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
*Это нам пригодится чуть ниже, как только мы закончим с теорией.

Мощности часто называются кардинальными числами.

Наименьшей бесконечной мощностью является мощность НАТУРАЛЬНЫХ чисел. Обозначается она алеф-нуль.

Так вот, теперь посмотрим, что мы можем сказать о четных, нечетных и других числах.
Согласно очень красивой теории бесконечных чисел, автором которой является отец-основатель теории множеств Георг Кантор, мощности множеств четных чисел, нечетных чисел, чисел делящихся на три, пять, десять, сто, миллион, и т.д., СОВПАДАЮТ и равны алеф-нуль!
То есть, «количество» всех этих чисел одинаково!
Невероятно?
Это еще не всё.
Может создаться впечатление, что, скажем, целых чисел больше, чем натуральных, потому что целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными, а натуральные только положительны! А еще более «очевидным» кажется тот «факт», что ДРОБЕЙ больше, чем натуральных чисел!
НЕТ!

Общее количество всех целых чисел, натуральных чисел и дробей равны одному и тому же бесконечному кардинальному числу алеф-нуль!

Чтобы доказать любое из этих утверждений достаточно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством натуральных чисел и конкретным множеством, мощность которого мы хотим найти. Если такое соответствие есть, множества эквивалентны по данному выше определению.

Построим соответствие, предположим, для четных чисел.
Получим (Ч — четные числа; Ц — целые):


Ч — Ц
2 — 1
4 — 2
6 — 3
8 — 4
10 — 5
…
2n — n
…

Заметим, что каждое число в левом и правом столбцах встречаются один и только один раз. Соответствие взаимнооднозначно.
Это и доказывает ОДИНАКОВОСТЬ количества элементов множества четных и всех натуральных чисел.
Со всеми остальными множествами (кроме дробей) разобраться столь же легко.
С дробями (рациональными числами) разбираться будем потом. Но их количество, как это ни парадоксально, — тоже равно алеф-нуль.