2. Язык математики и его основные элементы
читать дальшеКаждая наука имеет свой язык, понять который «непосвящённому» трудно. Вряд ли любой человек поймёт смысл медицинского диагноза, утверждений механиков, химиков, лингвистов. Имеет такой язык (м.б. точнее – диалект) и математика.
Основой его являются символьные, буквенные обозначения рассматриваемых величин. Смысл их в том, что сформулированные законы сохраняют общность, какие бы конкретные значения ни принимали эти величины:
a+ b = b+a, ab= ba, (a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 ,
какие бы значения ни принимали a и b (2, 3, 10, 100). Это придаёт общность получаемым соотношениям и объясняет, почему рассуждения и выкладки ведутся «в буквах, а не в цифрах» (что, к сожалению, вызывает нередко вопросы у экономистов, воспитанных на популяризованных рассуждениях К. Маркса).
Хотя основные элементы математических рассуждений, формальной логики были заложены Аристотелем, их формализация введена в ХVIII –ХIХ веках и составила предмет «математической логики». Её основные элементы понятие «истинности» (true) и «ложности» (false), а также «кванторы» (значки) всеобщности и существования. Их перевод очевиден («всегда имеет место» и «существует»). А придание им цифровых значений и введение обозначений для основных операций (И, ИЛИ, НЕТ или and, or, not) позволяет превратить логические рассуждения в своеобразное исчисление, формализовать и передать логику компьютерам.
Подобно обычным, естественным языкам эти формальные правила «исчисления высказываний» играют роль грамматики такого специального языка. Но эти правила определяются АКСИОМАМИ, некоторыми простейшими исходными положениями, принимаемыми без доказательства и основанными на некоторых априорных свойствах изучаемых явлений. Такой аксиоматический подход – постулирование некоторых минимальных свойств и формальное изучение всех возможных следствий из них, - характерен для современной математики, хотя в некоторой степени схоластичен, является наследием средневекового стиля.. Но он чётко выделяет ту область изучаемых явлений, её упрощённое представление, которое позволяет выяснить те менее очевидные свойства, которые являются следствием принятых аксиом.
Как уже было отмечено выше, реальные процессы не всегда идут «по Аристотелю» и с интерпретацией формальных выводов нужно быть осторожным. Но аксиоматический подход исключает «различное понимание» тех или иных терминов и понятий, что нередко возникает в гуманитарных науках и является источником напряжённых споров. Однако существует область применения этой формальной системы, где её использование даёт безусловно верные результаты и чрезвычайно важной для применений – это теория электронных схем, лежащая в основе всех приборов, использующих микроэлектронику – от простейших электронных замков до сложнейших регуляторов, анализаторов и компьютеров.
Вследствие этого основным «внутренним» языком почти всех компьютеров является двоичная система счисления («арифметика гуингмов» - мыслящих лошадей из романа Дж. Свифта)* (*Теоретический анализ показывает, что для оптимальной по хранящейся информации системы счисления её основание должно быть 2 или 3; машины с троичной системой счисления строились, но не нашли дальнейшего применения.).
Двоичная система счисления обладает неоценимым техническим преимуществом: она позволяет по неточным сигналам (значениям тока) получать точное кодирование – ведь легко отличит наличие сигнала (1) от его отсутствия (0), но гораздо труднее отличить сигнал уровня 7 от сигнала уровня 6 или 8!
Фундаментальную роль в оценке возможностей аксиоматического подхода играет теорема Гёделя, доказанная в 1931 году и утверждающая, что в любой формальной аксиоматической системе есть факты (утверждения), которые в рамках этой системы нельзя ни доказать, ни опровергнуть. То есть обнаружение таких фактов требует обобщения, расширения этой формальной системы, пополнения или изменения аксиом. Тем самым выявляется путь развития математики как способа познания мира: выделение формальной упрощённой системы, её изучение, выявление фактов, недоступных изучению в рамках этой системы, её расширение и обобщение.
Простейшей формальной системой, с которой знакомы мы все, является арифметика – выделяющая понятие числа и правила действий с ними. И на этом примере легко проследить отмеченный выше процесс познания.
Начальная система – арифметика целых чисел, на которых определены операции сложения и умножения. Но уже в этой простейшей системе попытка обращения операций (по сумме и одному из слагаемых определить второе слагаемое, по произведению и одному из сомножителей найти второй сомножитель) заставило человечество довольно давно расширить эту систему: ввести понятия отрицательных и дробных, рациональных чисел. Кстати, это обобщение довольно трудно воспринималось греками и египтянами и не так уж легко воспринимаются и сейчас школьниками.
Обобщение операции умножения – возведение в степень, an ,введение не целой степени и обращение этой операции опять таки потребовало расширения системы и её аксиоматики – появились понятия логарифма n=log a, иррационального и трансцендентного числа.