4. Интегральное исчисление и его приложения.
читать дальшеВыше уже отмечалось, что основной путь развития математики – это обобщения введённых понятий и операций, а также обращение введённых операций. То же произошло с дифференциальным исчислением.
Обобщения были связаны с увеличением размерности аргумента – рассмотрение многих аргументов, функций от многих переменных, введение «частных производных» (по одному из многих аргументов), производных по направлению. Эти обобщения не представляли больших трудностей и были легко реализованы.
Обращение операции дифференцирования – поиск исходной функции (первообразной, интеграла) по её производной оказалось более трудной задачей. По шутливому выражению одного из самых остроумных преподавателей РГУ Е.Л. Литвера «дифференцировать можно научить даже обезьяну, а интегрировать – не всякого студента». И дело не только в технических трудностях (они в последнее время могут считаться снятыми, так как в программное обеспечение компьютеров теперь включены блоки, реализующие поиск интеграла, первообразной). Оказалось, что далеко не все элементарные функции имеют первообразную, также выражающуюся через конечную комбинацию элементарных функций!
Как и в обращении арифметических операций, операций над величинами, обращение потребовало расширение класса рассматриваемых функций.
Интегральное исчисление также имеет свою грамматику (общие правила) и свой словарь – значительно более сложный, чем при дифференцировании.
Кроме того, оказалось, что процедура интегрирования тесно связана с широким классом практических задач – вычисления площадей, объёмов, моментов инерции, осреднённых значений, решения уравнений, включающих производные, дифференциальных уравнений, описывающих различные динамические и распределительные процессы.
И для этих задач создание интегрального исчисления позволило предложить общие методы, взамен индивидуальных приёмов, например, «метода исчерпывания», применявшегося Архимедом, или метода тонких слоёв, применявшегося Кавальери. Геометрическая интерпретация производных (как углового коэффициента касательной к кривой в данной точке) и интегралов (как площади под рассматриваемой кривой) позволило разработать процедуры вычисления этих величин с требуемой точностью, особенно важные в связи с применением компьютеров.
Формализация этих процедур привела к понятию алгоритма – последовательности действий, приводящих к получению нужных величин или функций. Понятие алгоритма является ключевым для работы с компьютером, но аналог его легко проследить в бытовых условиях (алгоритм кипячения воды или молока, алгоритм анализа слова или предложения и т. д.). Вопросам построения и анализа алгоритмов будет уделено особое внимание при изучении основ информатики.