Золотое сечение III

[Organon]

Теперь перейдем к более нетривиальным результатам, связанным с золотым сечением.
Помните уравнение, из которого нами было получено значение φ?
φ² - φ -1 = 0

В следующей формуле с ним сделаны элементарные преобразования. φ и единица перенесены в правую сторону, и затем, обе части уравнения разделены на φ:

φ = 1 +1/φ

Далее следуем за объяснениями в тексте картинки.




Давайте присмотримся к этим дробям внимательно.
Каждая из этих дробей составлена из соседних чисел Фибоначчи!
Числа Фибоначчи представляют собой последовательность вида:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…,

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих:

2 = 1 + 1;
3 = 2 + 1;
5 = 3 + 2;
8 = 5 + 3;
…
То есть, это последовательность, заданная рекуррентной формулой:

F_n+2 = F_n+1 + F_n

Названы эти числа в честь итальянского купца Леонардо из Пизы (1180-1240), который более известен под прозвищем Фибоначчи, что означает ни больше ни меньше:

что?

"сын Боначчи". Боначчи — так действительно звали его отца.
О самом Фибоначчи и о истории возникновения этого ряда чисел — в следующий раз.