5. Множества, мера и их применения
читать дальшеДля математики, как и для большинства других наук, процесс развития идёт по принципу «шаг вперёд, два шага назад». Сначала, без особых обоснований вводятся новые понятия и подходы. Если такой, несколько авантюрный прорыв оказался удачным, позволил получить новые результаты (шаг вперёд), возникает необходимость вернуться назад, оглядеться, обосновать введённые понятия и методы, найти границы их применимости (два шага назад).
Таким обоснованием и понятия числа, и понятия функции, и роли новых классов функций явилась разработка теории множеств.
Множество – простейшее, первоначальное математическое понятие, не определяемое, а лишь поясняется примерами. Это – совокупность некоторых объектов (людей, слов, чисел, функций,…).
В качестве иллюстрации множество представляется некоторой двумерной областью как совокупностью принадлежащих ей точек (непрерывной или дискретной). Характеристикой множества является его мера – аналог площади области или числа содержащихся в множестве точек, элементов.
Естественно вводятся операции над множествами – пересечение их, объединение, дополнение (также хорошо интерпретируемые областями на плоскости) и тесно связанные с математической логикой – алгебра множеств.
Связь между элементами различных множеств является отображением, и в это понятие укладываются и свойства чисел (зачастую неожиданные), и понятие функции, и дальнейшие, возникающие в математике понятия.
Одним из таких важнейших понятий является понятие «структура (structura – строение, расположение, порядок), совокупность устойчивых связей объекта, обеспечивающих его целостность и тождественность самому себе, т.е. сохранение основных свойств при различных внешних и внутренних изменениях (РЭС)» или «В современной. науке понятие С. обычно соотносится с понятиями системы и организации (ФЭС)».
На основе этого понятия можно уяснить смысл введённых ранее математических объектов, ввести классификацию типов отображений и ввести понятие отношения между элементами множеств.
Как всякое понятие, оно также допускает обобщение – основные структуры и построенные на их иерархии составные структуры – например, структура слова (корень, суффиксы. и т.д) и структура предложения, а далее – всего текста, каждая из которых опирается на структуру предыдущего элемента иерархии.
С такой, более общей точки зрения становятся яснее различные обобщения понятия интеграла, во множестве исследованные в ХХ веке. Простейшее рассмотрение интеграла как площади под кривой на некотором отрезке приводит к двум различным подходам:
- совокупность «вертикальных» столбиков и их предел (при уменьшении ширины каждого столбика) – по Риману;
- совокупность горизонтальных слоёв и их предел (при уменьшении толщины каждого слоя) – по Лебегу.
Второй подход оказался более общим, позволяющим найти интеграл и в тех случаях, когда первый подход приводит к затруднениям. Эти подходы аналогичны двум способам подсчёта рассыпанных на столе денег по отдельным участкам на столе и по количеству монет различного достоинства. На практике пользуются именно вторым способом.