6. Комбинаторика и теория вероятностей
читать дальшеВ предыдущих рассуждениях (и в истории развития указанных разделов математики) предполагалось, что значения всех величин – детерминированы, мы можем присвоить им те или иные значения по своему усмотрению. В то же время уже в древности существовали процессы, где этими значениями распоряжаемся не мы, а «его величество Случай», - например, игра в орлянку или игра Morra, где выигрыш определялся сравнением количества выброшенных игроками пальцев.
Разработка теории таких процессов систематически началась лишь в ХVIII веке, а в последнее столетие очень активно развивалась для всё более сложных процессов в экономике, политике, в военных действиях.
Простейшим случаем, который здесь изучается, является тот, где некоторая (случайная) величина может принимать – независимо от нашего желания, - лишь конечное число значений (исходов). Основной вопрос заключается в том, чтобы как-то оценить возможность интересующих нас, «благоприятных» исходов. К такой оценке можно подойти двумя путями:
- по наблюдениям – если в n испытаниях (или реализациях) k раз мы имели благоприятный исход, то частота благоприятных исходов равна k/n и называется частотой появления благоприятного события;
- по теоретической возможности – как отношение числа K всех возможных благоприятных исходов к числу N всех возможных исходов K/N - эта величина называется вероятностью искомого, благоприятного события.
Теоретически доказано, что при большом числе наблюдений эти величины близки, но для априорной оценке вероятности нужно научиться подсчитывать меру множеств всех исходов и благоприятных. Эти множества называются событиями и их мера определяется комбинаторными формулами: числом возможных размещений n элементов в k ячейках, их перестановок и сочетаний (размещений без учёта перестановок). Эти величины определяются соответственно формулами:
Последняя величина как раз определяет число k благоприятных исходов («орёл») при игре в орлянку с n бросаниями монеты и при n=5, k =3 равно 10, а вероятность трёх выпадений орла при 5 бросаниях равна 10/32 = 0.3125 (так как всего 25 =32 варианта).
Процесс последовательных испытаний, в каждом из которых благоприятный исход имеет вероятность p (в орлянке, при честном бросании и уравновешенной монете p=1/2) называется процессом Бернулли и вероятности всех исходов описываются известной формулой бинома Ньютона:
Каждый элемент n-й строки, равный сумме двух элементов над ним, даёт соответствующий коэффициент биномиального разложения, а сумма всех элементов строки равна 2^n .
Возвращаясь к орлянке, найдём, что вероятность выиграть не менее трёх раз равна сумме трёх первых слагаемых (отвечающих 5, 4 и 3 выигрышам) из 6, то есть
1/32 + 5/32+10/32 = 16/32 =1/2.
Наряду с вероятностями, в изучении случайных процессов играют математическое ожидание или средний выигрыш(при частотном подходе) – он равен сумме выигрышей, умноженных на вероятности каждого исхода, - и среднее квадратическое отклонение от него (при вероятностном подходе его квадрат называется дисперсией).
Если при каждом бросании ставится и выигрывается (или проигрывается)10 рублей, то за 5 бросаний игрок выиграет
50/32 + 40· 5/32 + 30· 10/32 + 20·10/32 + 10· 5/32 +0·1/32 = 800/32 = 25 (рублей) -
половину поставленных денег; этого и нужно было ожидать, так как вероятность одиночного выигрыша равна 1/2.. Отметим, что эти средние характеристики, подтверждающиеся при большом числе испытаний, не исключают на практике более высокого выигрыша или полного проигрыша.
Более детальные исследования игрового поведения представляют предмет отдельного раздела математики – теории игр, широко использующего теорию вероятностей. Теории игр, в частности, посвящён фильм «Игры разума», героем которого является лауреат Нобелевской премии Нэш.
Как и ранее, в рассматриваемой области можно выделить грамматику и словарь. Грамматика состоит из общих положений, почти очевидных:
- утверждение полноты – сумма вероятностей всех возможных исходов равна 1;
- теорема умножения – вероятность двух независимых исходов определяется произведением их вероятностей (И-теорема);
- теорема сложения – вероятность хотя бы одного из независимых исходов равна сумме их вероятностей (ИЛИ- теорема).
Если исходы не являются независимыми (формального определения здесь не приводится), то последняя теорема должна быть подправлена – иначе «вероятность» может стать больше 1 (а, как известно, обязательство пожарных тушить 110% пожаров невыполнимо).
Словарь состоит из расчётов вероятностей для различных типов процессов с дискретными случайными величинами – выше приведен такой расчёт для схемы Бернулли. Приведём ещё вероятность того, что случайная величина принимает значение n при математическом ожидании l (закон редких событий, закон Пуассона):
Теория вероятностей всё шире применяется в самых разных областях исследования – в медицине, генетике, истории, криминалистике. Она помогает установить авторство текста, родственные связи, происхождение человека, место производства различных изделий.
Однако следует помнить, что вероятностные связи, мерой которых являются, например, коэффициент корреляции, говорят лишь о возможности причинных связей и вывод о наличии причинной связи может быть ошибочным. Так, коэффициент корреляции между любовью к солёным огурцам и инфарктом миокарда близок к 1, но причинной связи здесь нет. На самом деле в этом случае есть накладка двух явлений: любви к солёным огурцам и склонности к алкоголизму (и то не всегда), и связи между алкоголизмом и сердечными заболеваниями, - тут причинные связи имеют место! Близкими псевдо - доказательствами изобилует «новая хронология» академика Фоменко, смещающая ряд исторических явлений на несколько веков.
Есть ещё один характерный пример, вероятностный парадокс. Одна из замечательных теорем А.А. Маркова в применении к альпинизму звучит так: Поскольку у каждого альпиниста имеется ненулевая вероятность упасть в глубокую трещину, из которой нельзя выбраться, то с вероятностью 1 за конечное время он там и окажется! Однако мы видим, к счастью, множеству живых альпинистов! Нет противоречия с теоремой – просто альпинисты прекращают восхождения раньше, чем «срабатывает» теорема.