7. Непрерывные случайные величины
читать дальшеЕсли случайные величины – скалярные, одномерные или многомерные, векторные,- могут принимать непрерывное множество значений, то указанные подходы необходимо обобщить. При этом частотный подход, развивавшийся Мизесом, уступил место подходу А.Н. Колмогорова, основанному на мере множеств возможных значений случайной величины, и связаных с ними так называемыми s-алгебрами. В одномерном случае, которым изложение здесь ограничивается, всё проще, и может излагаться без применения этого аппарата.
Пусть для начала случайная величина Х принимает все возможные значения от -Ґ до +Ґ. Тогда можно оценить вероятность (Pr) того, что случайная величина Х принимает значения, не превосходящие число х и назвать её функцией распределения:
F(x) = Pr{ X<= x}; F(-беск)=0, F(+ беск) =1
(эта функция монотонно растёт).
Производная этой функции f(x) = F'(x)>=0 называется плотностью распределения случайной величины Х. На этот случай понятия математического ожидания и дисперсии легко переносятся и представляются интегралами, в которых участвует плотность распределения.
Естественно, что разные случайные величины имеют разные функции распределения, среди которых отметим две наиболее употребительных.
1. Экспоненциальное распределение:
Такому распределению обычно удовлетворяет время обслуживания клиента
мастером или прибором. Параметр m равен среднему числу требований
(клиентов), обслуженных в единицу времени. Естественно, при этом xі 0.
2. Нормальное распределение, возникающее, в частности, когда имеется сумма многих независимых случайных величин с одинаковыми плотностями распределения:
При такой плотности распределения интеграл от неё, функция распределения не выражается через элементарные функции («интеграл не берётся»), но имеются удобные таблицы, которыми можно пользоваться, если предварительно преобразовать интеграл к стандартному виду – за счёт масштабов получить нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию.
Рассматриваются и используются и другие функции распределения – их применение обосновывается различными дополнительными свойствами рассматриваемых вероятностных процессов.
Обобщение функций распределения (в том числе и упомянутых выше) на конечный отрезок возможного изменения случайной величины требует её дополнительной нормировки – умножения на множитель, зависящий от величины этого отрезка.
Математических трудностей не вызывает и перенос функций распределения на многомерные случайные величины – возникают соответственно функции многих переменных и многомерные интегралы.
В более сложных случаях строятся эмпирические функции распределения по имеющимся опытным данным на основе уже упоминавшегося метода наименьших квадратов или специфического для вероятностных процессов метода максимума правдоподобия. Однако при этом необходимо помнить о дополнительных условиях: положительности некоторых параметров, неотрицательности плотности распределения, равенстве 1 интеграла от функции распределения по всей области её определения.
С помощью функций распределения можно решать все возникающие задачи оценки характеристик («статистик») для процессов, где участвуют случайные параметры.