Комплексные числа.

[Organon]

Надо заметить, что учусь я только на первом курсе. И мне довольно таки интересно учится.
Но вот теория Комплексных чисел буквально разрушила все мое мировозрение! Это даже круче чем пределы, ей-богу.
Ну, думаю - че я один страдать буду чтоль? Вот и ...это.. того... мучайтесь.

Итак, комплексные числа.
Как мы знаем все целые, рациональные, дробные, отрицательные, иррациональные числа находятся на некой прямой, и все эти числа называются "действительными числами". Прямую не мучаясь назвали "числовой прямой". Т.е. грубо говоря - числа находятся в одномерном пространстве.
Если же построить декартовую систему координат, т.е. к числовой прямой присобачить такую же прямую перпендикулярную ей и пересекующую ее в точке ноль, то мы получим двумерное пространство комплексных чисел.
Самое важное в комплексных чиселах - это константа "мнимая еденица". Это корень из минус еденицы.
Когда препод эту чушь написал на доске, я было вякнул, что такого не бывает. Меня осадили.
Соответственно квадрат мнимой еденицы, это есть минус один.
Грубо говоря, в начальных классах и позже, нас подло обманывали говоря, что квадрат ЛЮБОГО числа - есть число положительное.
Как оказалось сё - цветочки. А ягодки пошли на следующих минутах.
Математики покумекали, покумекали и порешили - считать комплексные числа по формуле Z = a + ib. Быть посему.
Напоследок они пояснили что Z - это собственно точка и есть, а - это ее действительная координата, b - мнимая, i - мнимая еденица. При этом и а и b - действительные числа.

Соответственно энта вот стрелочка от нуля до точки - сё рекут комплексным числом.
Вот.
Соответственно если b=0 то Z=a - действительное число.
Если а=0 то Z=b - мнимое число.

Модулем же комплексного числа, как это ни странно, называется расстояние от начала кооординат до комплесного числа. Т.е. точно так же как модуль вектора. И считается точно так же.
(Связи с временным отсутствием ворда пишу так... уж не обессудьте)
r = |Z| = Корень квадратный из (а² + b² = (а² + b²^1\2
Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением оси ReZ и вектором r. Причем угол отсчитывается против часовой стрелки, ну или для самых шустрых можно и по часовой, но тады брать со знаком "-".
Т.е. запись выглядит так:
φ = arg Z (0 ≤ φ ≤ 2п)
Или:
tg φ = b/a
Соответственно φ выразим:
φ = arctg b/a, но это такая хитрая формула, что соответствует только для первой и четвертой четверти.
φ = (arctg b/a) + П, это для второй и третьей.

Решим простую задачку. (r, φ известно найти (a, b)
а = r * cos φ
b = r * sin φ
Зная, что Z = a + ib получим
Z = r * cos φ + r * sin φ * i = r * (cos φ + sin φ * i) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Пример:
Z = -3 -3i
a = -3
b = -3
r = (а² + b²^1\2 = 3 * (2)^1\2 (три корня вторых)
φ = arctg (-3/-3) + П = 5П/4
Ответ: Z = -3 -3i = (18)^1/2 * (cos 5П/4 + i * sin 5П/4)
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

Формула Эйлера.
е^iφ = cos φ + sin φ
В общем-то опять бред, да? Экспонента - график-то как у показательной, а синус, косинус - кривая косинусоида. Ничего общего. Ан нет. Не все так просто.
Доказательство позже.
Z = r * (cos φ + sin φ * i) = r * е^iφ - показательная форма записи комплексного числа.

Действия над комплексными числами.
1) Два комплексных числа равны, ежели равны их действительные и мнимые части.
2) Чтобы сложить(вычесть) два комплексных числа нужно сложить(вычесть) соответственно их действительные и мнимые части.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -3 - 3i
Z = 10 + 2i
Z + Z = (10 + (-3)) + (-3 + 2)i = 7 - 1i
Z - Z = (-3 - 10) + (-3 - 2)i = -13 -5i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

3) Умножение.
(a1 + b1*i)*(a2 + b2*i) = a1*a2 + b1*a2*i + a1*b2*i + b1*b2*i² = (a1*a2 - b1*b2) + (a2*b1 + a1*b2)i
Первая часть (a1*a2 - b1*b2) - это действительная часть комплексного числа (там стоит разность, потому что i² , как мы помним, равно -1), а это (a2*b1 + a1*b2) - мнимая часть комплексного числа.

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -3 - 3i
Z = 10 + 2i
Z * Z = ((-3)*10 - (-3)*2) + ((-3)*10 + (-3)*2)i = -24 -36i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

4) Деление.
Числитель и знаменатель надо умножить на комплексное сопряженное к знаменателю.
(a1 + b1*i)/(a2 + b2*i) = (a1 + b1*i)*(a2 - b2*i) / (a2 + b2*i)*(a2 - b2*i) = (a1*a2 + b1*b2)/(а2² + b2² + (a2*b1 - a1*b2)/(а2² + b2²i

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = -24 -36i
Z = 10 + 2i
Z / Z = ((-24)*10 + (-36)*2)/(10² + 2² + ((-36)*10 - (-24)*2)/(10² + 2²i = -3 -3i
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

Свойства операций.
1) Комутативность Z1 + Z2 = Z2 + Z1
Z1 * Z2 = Z2 * Z1
2) Ассоциативность (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3)
(Z1 * Z2) * Z3 = Z1 * (Z2 * Z3)
3) Диструбутивность (Z1 + Z2) * Z3 = Z1 *Z3 + Z2 * Z3

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) При перемножении двух коплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Z1 = r1 * (cos φ1 + sin φ1 * i)
Z2 = r2 * (cos φ2 + sin φ2 * i)
Z1*Z2 = r1*r2 (cos (φ1 + φ2) + sin (φ1 + φ2)*i)2
2) При делении двух коплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Z1/Z2 = r1/r2 * (cos (φ1 - φ2) + sin (φ1 - φ2)*i)2
3) При возведении в степень коплексное число в тригонометрической форме модуль возводится в степень, а аргументы умножаются на степень.
Zª = rª (cos (φ*a) + sin (φ*a) * i)
4) Извлечение корня.
Z^1/n = r^1/n * (cos ((φ + 2Пk)/n) + sin ((φ + 2Пk)/n))
Где к = 0,1,....,n-1

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
Z = 2 (cos 10 + i sin 10)
Возведем в шестую степень.
Z^6 = 64 (cos 60 + i sin 60) = 32 + 32* 3^1/2 * i

1^1/3 = ..
r = 1 φ = 0
k = 0,1,2
k=0
Z = 1 (cos 0/3 + i sin 0/3) = 1
k=1
Z = 1 (cos 2П/3 + i sin 2П/3) = -1/2 + (3^1/2)/ 2 * i
k=2
Z = 1 (cos 4П/3 + i sin 4П/3) = -1/2 - (3^1/2)/ 2 * i

Т.е. у корня в третьей степени будут три корня. Так и должно быть если бы раскладывать по формуле Бинома-Ньютона.
-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

Действия над комплексными числами в показательной форме.
Z = r * е^iφ
1) Z1*Z2 = r1*r2 * е^((φ1+φ2)*i)
2) Z1/Z2 = r1/r2 * е^((φ1-φ2)*i)
3) Zª = rª * е^iφa
4) Z^1/n = r^1/n * е^(i(φ + 2Пk)/n), где к = 0,1,..,n-1

Уж необессудьте но геометрическое отображение на плоскости и доказательство формула Эейлера мне лень писать. Точно так же мне лень было писать доказательства всех тех формул, что приведены мной выше.

Но если случилось невероятное - кто-то это понял и больше того заинтересовался, то могу выложить.