Кватернионы образуют четырехмерную ассоциативную (но не коммутативную) алгебру над полем действительных чисел.
Ассоциативность значит следующее (в школе это называется сочетательным законом):
X(YZ)=(XY)Z=XYZ
А некоммутативность вот это:
XY # YX
то есть от перемены мест множителей произведение меняется )))
Вот так-то! )))
Причем, это ЕДИНСТВЕННАЯ ассоциативная, некоммутативная алгебра над полем действительных чисел без делителей нуля.
Произвольный кватернион Х может быть записан следующим образом:
X=x0*1+ x1*i+ x2*j+ x3*k,
где 1, i, j, k – элементы базиса. Причем, 1 – единица алгебры кватернионов, а умножение для остальных элементов базиса задается таблицей:
ii = -1, ij = k, ik = -j
ji = -k, jj = -1, jk = i
ki = j, kj = -i, kk = -1
Из этой таблицы очень хорошо видна некоммутативность: от перемены мест базисных элементов их произведение меняется.
В кватернионах различают скалярную часть x0 и векторную – V = x1*i+ x2*j+ x3*k, так что:
X = x0 + V.
Кватернионы возникли в 19 веке при попытках построить многомерный аналог поля комплексных чисел.
А достаточно вскоре было найдено применение кватернионов в электродинамике и механике.
Вот, к примеру, «произвольное вращение 3-мерного пространства вокруг начала координат может быть задано при помощи некоторого кватерниона Р с нормой 1 (вращение, соответствующее Р, переводит вектор Х в вектор Р*Х*Р^(-1))» )))