Всё, что я сейчас напишу, защищено моим копирайтом, и является моим же личным взглядом на проблему деления на ноль.
Поэтому относиться к написанному призываю с должным пиететом, но не возводить это в ранг истины.
Сие есть сугубо приватное мнение частного (моего) лица.

Итак, о том, что нули бывают разные, я прочитала в глубоком детстве — не помню где, и не помню точно, как там было описано их отличие. В общих чертах получалось, что зеленый ноль, полученный вычитанием, никак не равен голубому нулю, полученному умножением на ноль, который, в свою очередь тоже имел свой цвет. Эти нули действительно в каком-то смысле "не равны", но это их неравноправие никак не поможет нам решить проблему снятия неопределенности при делении нуля на нуль.

Поэтому я начну свой рассказ о нулях совсем не так.
В качестве предмета своего повествования (чтобы не быть голословной) возьму яблоко.
Одно Яблоко будет символизировать то, что ЕСТЬ. Бытие.
Его отсутствие — то, чего нет. Отсутствие бытия. Или нуль.
Попробуем посмотреть, что мы можем извлечь из этой оппозиции.

Представим Большое Красное Яблоко. Оно Есть.
Оно перестанет быть сразу только в одном случае: если мы его проглотим.
Как только мы сделаем это, у нас останется НУЛЬ. И вот это и есть тот самый нуль, на который действительно нельзя делить. (Для математиков сразу оговорюсь: "нельзя" в рамках множества действительных чисел, в которое не входит актуальная бесконечность).
Но это крайний (предельный) случай. Яблоки ведь редко глотают целиком...

Представим теперь, что мы всё-таки собираемся съесть яблоко, но не просто так, а придерживаясь определенного правила.
Например, отрежем от него половину и съедим. Затем от остатка опять отрежем половину и опять съедим. Потом опять, еще и еще... Представим себе, что у нас очень острый нож и очень острое зрение... Тогда мы можем половинить остатки яблока какое-то количество шагов...
Но, тем не менее, настанет время, когда у нас "практически" ничего не останется... Остаток станет меньше любого маленького наперед заданного числа! Это значит, что остаток яблока стремится к нулю. И с некоторого шага его практически можно считать этим самым нулем.

Теперь же представим, что мы едим яблоко с другом (у каждого из нас по яблоку).
Наш закон остается прежним: на каждом следующем шаге мы съедаем половину остатка. Друг же делает иначе: он съедает одну треть. Его остаток тоже стремится к нулю. Но с тою же скоростью? Очевидно, ответ будет отрицательным. Друг ест яблоко медленнее.
Во сколько раз? Это легко посчитать.
У нас с каждым шагом остаток уменьшается вдвое. Т.е. от х яблока остается х/2 или 1/2x.
У друга от х яблока остается (х – x/3) или 2/3х.
При х --> 0 и первая и вторая последовательности тоже стремятся к нулю, но не их отношение!
(1/2х)/(2/3х) =3/4
То есть яблоко друга уменьшается быстрее нашего в ¾ раза. Я не оговорилась: «быстрее», а не «медленнее», потому что "быстрее в ¾ раза" это и означает «медленнее».

Таким образом, если у нас есть две стремящиеся к нулю последовательности, то отношением их предельных (казалось бы, нулевых) значений будет не что иное, как соотношение СКОРОСТЕЙ приближения к нулю.
Вот, пожалуй, и всё, что я могу сказать об этом разделе математического анализа средствами младшей школы. Но, думаю, это полное описание этой части теории пределов.