И тут же опровергая себя, пишу ответ на вопрос про аксиому.
Обратимся к терминологии:
Аксиома — это утверждение, принимаемое без доказательства.
Аксиоматизация теории — явное указание конечного набора аксиом.
Утверждения, вытекающие из аксиом, называются теоремами.
То есть неформально говоря, аксиомой может быть ВСЕ, ЧТО УГОДНО, что мы СОГЛАСИМСЯ считать верным. То есть, во что мы согласимся ПОВЕРИТЬ.
Вот, Киже, например, мы с тобой согласились, что деление на ноль дает ноль.
И на этом построили свою математику. И очень успешно живем и ею пользуемся. И она нас не подводит никогда. Но это получилась наша с тобой вдвоем частная теория.
А если мы убедим всех, что так и есть, теория станет общей. А в основе наша аксиома. Хоть и неверная, но зато принятая всеми как данность.