[Organon]

Ответ на задачу

Всё-таки хочу написать несколько слов о парадоксах.
А до этого дам ответ на задачу, приведенную раньше.

Условие здесь

В тюрьме содержится заключенный, и при нем два стражника. Один говорит только правду, а другой всегда лжет. Дежурят они посменно: сутки один, сутки — другой.
Если заключенный узнает, кто из них кто, он сможет счастливо избежать своей участи; в противном случае его казнят. Он может задавать каждому стражнику любые вопросы, требующие односложного ответа: да/нет, касающиеся только одного аспекта: узнавания врет этот стражник и его напарник или нет.
И он узнал!
Как ему удалось?

Чем-то эта задача пересекается с парадоксом лжеца.
Поэтому я о ней и вспомнила.

А ответ таков.

...

У любого из стражников нужно спросить:

Если бы я спросил позавчера "ты лжешь?", ты бы ответил "да"? (Или, как вариант: "нет"? Но это сейчас трогать не будем: здесь всё абсолютно аналогично)

И тот и другой будут вынуждены дать "честный" ответ, то есть, их ответ будет соответствовать действительности, и не только на позавчерашний день, но и на сегодняшний.

Рассмотрим обе возможности.

1. Если мы спрашиваем честного стражника, то на наш вопрос мы получили бы ответ "нет". Так он ответил бы позавчера, так он отвечает и сейчас.

То есть, если у нас есть функция F, которая выдает значение истинности высказывания, содержащегося в вопросе, то имеем (обозначим такую функцию для первого стражника через F1):

F1(x) = x (какова истинность высказывания, таково и значение функции).
Применяя ее дважды (один раз к "позавчерашнему вопросу", другой раз к данному на него ответу), получим:

F1(F1(x)) = x

2. Если мы спрашиваем лживого стражника, мы имеем следующую картину.
Если бы мы задали позавчера ему тот же вопрос, мы получили бы лживый ответ. Т.е. на вопрос "ты лжешь?" он (как и честный стражник) ответил бы "нет"! Значит, теперь (когда мы спрашиваем про позавчерашний ответ), ему надо соврать нам еще раз и изменить свой тогдашний ответ на противоположный. Т.е. он ответит нам "да"! (По известному логическому закону — отрицание лжи есть правда).

Для этого стражника функция F уже имеет другой вид (обозначим ее через F2).
Если мы для любого значения истинности х обозначим противоположное ему значение как -х, получим:

F2(x) = -x

Зато применяя эту функцию дважды, мы получим совсем другую картину:

F2(F2(x)) = (вместо F2(x) подставим ее значение: -х) = F2(-x) = (вспомним, что каждое значение меняется на противоположное) = x

То есть:

F2(F2(x)) = x

И в первом и во втором случаях получили чистую правду!
)))