[Organon]

Прежде чем ответить на вопрос, можно ли однозначно отобразить квадрат на его сторону, приведу вольные выдержки из работы Павла Флоренского "Обратная перспектива", где я впервые и прочитала об этой проблеме.
Кстати, у Флоренского решения не дается.
Решение я вычитала через несколько лет совсем в другом месте. Оно меня восхитило своей простотой.
Но однако, ГДЕ я об этом читала, — хоть убейте не помню. А сама это самое "простое решение" помню весьма приблизительно...
Поэтому пока только лирика.
Советую от всей души: прочитайте!
Речь вначале идет, собственно, о живописи.

П. Флоренский. Обратная перспектива.

Что значит воспроизвести некоторую реальность?
Это значит привести точки воспринимаемого пространства в соответствие с точками некоторого другого пространства, в данном случае – плоскости. Но действительность по меньшей мере трехмерна, – даже если забыть о четвертом измерении, времени, – плоскость только двухмерна. Возможно ли такое соответствие? Возможно ли трехмерный образ отобразить на двухмерном протяжении, хватит ли в последнем точек, соответствующих точкам первого, или, математически говоря: мощность образа трехмерного и таковая же двухмерного могут ли быть сравнимы? — Ответ, естественно напрашивающийся на ум, — «Конечно, нет», — «Конечно, нет, ибо в трехмерном образе — бесконечное множество двумерных разрезов, и, следовательно, мощность его бесконечно больше мощности каждого отдельного разреза». Но данный выше ответ, по-видимому, естественный, не может быть признан правильным. Определеннее: мощность всякого трех- и даже многомерного образа точно такая же, как и мощность любого двух- и даже одномерного образа. Изобразить четырех- или трехмерную действительность на плоскости можно, и можно не только на плоскости, но и на любом отрезке прямой или кривой линии. При этом такое отображение можно установить БЕСЧИСЛЕННЫМ множеством соответствий!
...
Ограничимся случаем изображения квадрата со стороною в одну единицу длины на прямолинейном отрезке, равном стороне вышеозначенного квадрата, — т.е. СЛУЧАЕМ ИЗОБРАЖЕНИЯ КВАДРАТА НА ЕГО СОБСТВЕННОЙ СТОРОНЕ; все другие случаи легко могут быть рассмотрены по образцу этого. Так вот, Георг Кантор указал аналитический прием, при помощи которого устанавливается соответствие между каждой точкой квадрата и каждой точкой его стороны: это значит, что если нам даны х и у - местоположение в любой точке квадрата, то некоторым единообразным приемом мы отыщем z, определяющую некоторую точку стороны квадрата, изображение вышеозначенной точки самого квадрата; и наоборот, если указана произвольная точка на отрезке — изображении квадрата, то отыщется и изображаемая этою точкою точка самого квадрата. Таким образом, ни одна точка квадрата не останется неотображенной, и ни одна точка изображения не будет пустой, ничему не соответствующей: КВАДРАТ БУДЕТ ОТОБРАЖЕН НА СВОЕЙ СТОРОНЕ. Подобно этому может быть отображен на стороне квадрата и на самом квадрате – куб, гиперкуб и вообще квадратовидное геометрическое образование ЛЮБОГО и даже БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОГО числа измерений.
…
Итак, непрерывные множества все между собою равномощны. Но, обладая одинаковой мощностью, они не имеют одних и тех же «умопостигаемых» или «идеальных» чисел в смысле Кантора, т.е. не «подобны» между собою.
Иначе говоря, нельзя отображать их друг в друге, не затрагивая их СТРОЕНИЯ. При установке соответствия нарушается либо непрерывность изображаемого образа (- это когда хотят соблюсти взаимную однозначность изображаемого и изображения-), либо взаимная однозначность того и другого (-когда сохраняется непрерывность изображаемого-).
…
Иначе говоря, изображение квадрата на линии, или объема на поверхности, передает все точки, но неспособно передать форму изображаемого, как целого, как внутренне определенного в своем строении предмета: передается содержание пространства, но не его организация. Чтобы изобразить некоторое пространство со всем его точечным содержанием, необходимо, образно говоря, или столочь его в бесконечно тонкий порошок и, тщательно размешав его, рассыпать по изобразительной плоскости, так чтобы от первоначальной организации не осталось и помину, или же разрезать на множество слоев, так что нечто от формы останется, но расположить эти слои с повторениями одних и тех же элементов формы, а с другой стороны с взаимным проникновением этих элементов друг через друга, следствием чего оказывается воплощенность нескольких элементов формы в одних и тех же точках изображения.
В итоге: ИЗОБРАЗИТЬ ПРОСТРАНСТВО НА ПЛОСКОСТИ ВОЗМОЖНО, НО НЕ ИНАЧЕ КАК РАЗРУШАЯ ФОРМУ ИЗОБРАЖАЕМОГО.