Напомню вопрос.
Он заключался в том, имеют ли квадрат и его сторона равные мощности. То есть, равно ли в них "количество точек"? Сравнимы ли типы бесконечности для обозначения количества точек отрезка и количества точек двумерной фигуры?
На первый взгляд, ответ очевиден: "конечно же нет!" Ведь в квадрате помещается бесконечное число отрезков длиной в его сторону!
Однако, чтобы доказать, что это не так, что множества эти "соизмеримы", и более того, равномощны, ("имеют одинаковое количество точек", нам надо всего лишь задать взаимно однозначное соответствие из точек квадрата в точки его стороны (и обратно).
Оговорюсь сразу: я не могу найти, где я это вычитала, и поэтому не помню в точности, как там выглядит "предельный переход" — отображение точек, которые лежат на сторонах квадрата. С внутренней областью всё ясно. А насчет границы: это уже мой личный изворот.
Итак, доказательство.
Пусть у нас есть произвольный квадрат. Примем его сторону за единицу. Тогда в координатной плоскости каждая его точка будет иметь координаты (х,у) вида:
x = 0,x1x2x3...........
y = 0,y1y2y3...........
То есть, х и у будут представлять собой конечные или бесконечные десятичные дроби в диапазоне от 0 до 1.
Теперь обратимся к точкам на границе.
В одном из комментариев в этом сообществе я уже показывала, что когда речь идет от числах вещественных, две записи единицы полностью эквивалентны:
1,0000000000000000... = 0,999999999999999999999...
Поэтому точки на границах квадрата мы будем представлять с соответствующей координатой (у для верхней стороны и х — для правой) равной 0,9999999....
Тогда отображение ЛЮБОЙ точки квадрата на отрезок оси от 0 до 1 можно представить в следующем виде:
z = 0,x1y1x2y2x3y3............
То есть всего навсего зададим координаты точки зэт на отрезке [0;1], чередуя цифры записи икса и игрека.
Таким образом, КАЖДАЯ точка этого квадрата нашла свое уникальное место на его стороне.
Обратно, по каждой точке стороны можно единственным образом восстановить точку квадрата: цифры, стоящие на нечетных местах после запятой, образуют мантиссу (дробную часть) координаты х (абсциссы), а цифры, стоящие на местах четных, образуют мантиссу ординаты — у.
Сумбурно несколько вышло.
Поэтому, если что, — говорите сразу.