Никак не дойду до описания парадокса Рассела, хотя, казалось бы, все предпосылки уже налицо.
Но всё-таки придется сначала чуть-чуть остановиться на истории. Иначе не будет очевидным весь драматизм ситуации: парадокс Рассела у многих ученых выбил твердую почву из-под ног. Некоторые после этого так и не смогли оправиться от депрессии...

***
Все мы привыкли со школьных лет пользоваться привычными математическими обозначениями и нотациями. И нам кажется (мне, во всяком случае, казалось) что так было если не "всегда", то очень и очень долго.
Однако же нет!
Вплоть до конца XIX века, к примеру, арифметика не была формализована (что уж говорить про другие разделы математики!).
Только на рубеже девятнадцатого и двадцатого веков итальянский математик Джузеппе Пеано предложил систему аксиом, определяющих натуральный ряд.
Только с помощью аксиом Пеано стало возможным формализовать арифметику.
И только после их введения у математиков появился инструмент для доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также возможность использовать целые числа для построения чисел рациональных и вещественных.

Джузеппе Пеано

Вот как выглядят аксиомы Пеано в словесной форме:

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Конечно же, существует и их формулировка в математическом виде, но здесь я ее приводить не буду.

*На самом деле когда-то очень давно меня сразило теоретико-множественное определение натуральных чисел: определение через ординальные числа.
Когда я впервые его прочитала, мне казалось, что просто мир переворачивается.... Казалось бы самое простое, что есть в математике, имеет такое двойное дно, такие бездонные глубины, что просто руки опускаются, и сознание отказывается с этим хоть как-то мириться.
Если интересно, то очень кратко можно посмотреть в Википедии:

Здесь я пишу про аксиоматику Пеано с тем чтобы плавно перейти к наивной теории множеств Георга Кантора, чтобы затем написать как с ней разделался Бертран Рассел. Человек с абсолютно холодным сердцем и очень живым умом.