Наконец-то перейду к сути парадокса.
А потом всё же еще напишу, почему же он оказался такой важной вехой в истории развития математики в целом и теории множеств в частности.
Именно благодаря этому парадоксу была сформулирована аксиоматическая теория множеств.
Аксиоматик на сегодняшний день существует несколько. Самой распространенной системой аксиом для теории множеств является система аксиом Цермело — Френкеля (ZF), к которой кроме Эрнста Цермело и Адольфа Френкеля приложил руку и норвежский математик Торальф Сколем.

Парадокс был открыт Расселом по одним источникам в 1902, по другим — в 1903 году. Позднее независимо от него этот же парадокс открыл Эрнст Цермело.
Именно этот парадокс наглядно продемонстрировал противоречивость наивной теории множеств Георга Кантора.

Его формулировка никого из нас не удивит. Разбиравшийся здесь парадокс брадобрея — лишь его альтернативная интерпретация.

Парадокс Рассела
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента?
Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие.
Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Как мы видим, если бы речь шла о брадобрее, а не о математических понятиях, мы бы сказали, что здесь у нас слова, принадлежащие разным уровням иерархии: "множество всех множеств" — это слово метаязыка, в то время как "множество" слово предметного языка.
Если мы уберем путаницу в терминах, парадокс исчезнет.
Всё бы хорошо, но в Mengenlehre Кантора множество множеств тоже является множеством и такие рассуждения попросту неприменимы!

О том, каким ударом по самым основам математики стал этот парадокс, я расскажу позже.

Для его преодоления было предложено несколько способов.

Первым способом стал поиск непротиворечивой формализации теории множеств, которая определяла бы какие именно операции применимы к множествам; какие являются легитимными, а какие таковыми не являются. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.

В процессе поиска такой формализации теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций.
Однако ирония судьбы состоит в том, что ни для одной из них нельзя найти доказательства непротиворечивости.
По теореме Гёделя о неполноте, такого доказательства просто не существует!

Совершенно иной реакцией на открытие парадокса Рассела явилось новое течение в математике (и философии) — интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра.
Интуиционизм — это такая система идей и методов, которая признает только «интуитивно убедительные» построения. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением.
Интуиционизм отверг напрочь теоретико-множественный подход к определению математических понятий, потому что объект "множество" относится к объектам с "интуитивно не ясной природой".
Например, что такое натуральное число — интуитивно ясно. Кроме того мы можем мысленно представить себе определенное количество предметов, соответствующее заданному натуральному числу. А вот термину "множество" не соответствует никакой мысленной конструкции. Значит, множество не имеет права на существование!
Из моего рассказа может показаться, что интуиционизм просто убог, однако это не так.
Интуиционисты добились определенных успехов в разных разделах математики, таких, например, как функциональный анализ, дифференциальные уравнения и др.
Кроме того, была разработана специальная интуиционистская логика, законы которой отличались от классической. То есть в некоторых областях математики интуиционизм оказался вполне жизнеспособным.

Однако я сейчас делаю упор на "психологический аспект". Парадоксом Рассела математике был нанесен удар такой силы, что многим ученым было гораздо легче "вычеркнуть из жизни" огромные разделы этой науки, полностью отказать им в праве на существование, чем смириться с возможностью подобных парадоксов.
Почему такой невинный парадокс вызвал целую бурю, попробую написать в следующий раз.