Ординалы и кардиналы III

[Organon]

Выстроим цепочку ординальных чисел:
0 → ∅ (пустое множество)
1 → {1}
2 → {1, 2}
3 → {1, 2, 3}
4 → {1, 2, 3, 4}
5 → {1, 2, 3, 4, 5}
6 → {1, 2, 3, 4, 5, 6}
...
Можем ли мы построить такое число, которое соответствовало бы множеству всех натуральных чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}?
Наибольшего ординального числа, ассоциированного с последовательностью конечных множеств просто не существует, как не существует и наибольшего натурального числа.
Но так же, как мы вводим понятие бесконечности: ∞, мы определим новое, трансфинитное ординальное число ω (омега) как первое число, следующее за всей последовательностью ординальных чисел чисел 1, 2, 3, ... .

ω → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Омега является порядковым типом множества всех натуральных чисел.

А теперь сделаем вот такой хитрый ход...

А теперь сделаем вот такой хитрый ход: возьмем и перенесем единичку в самый конец, после многоточия (когда все натуральные числа мы уже перечислили). Вот так:

{2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}

Сначала заметим, что у множества без единички на конце: {2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} ординальное число ω, потому это множество изоморфно всему натуральному ряду:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
_↑_↑_↑_↑_↑_ ↑_↑
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Множество же {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1} натуральному ряду не изоморфно, потому что для последней единички (наибольшего элемента множества) в натуральном ряду нет соответствующего элемента.

Этому множеству (также вполне упорядоченному, только порядок мы слегка поменяли) будет соответствовать ординальное число ω+1, потому что "после всего" у нас стоит еще один элемент!

ω+1 → {2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 1}

Эту цепочку нетрудно продолжить:

ω+2 → {3, 4, 5, 6, 7, ..., 1, 2}
ω+3 → {4, 5, 6, 7, ..., 1, 2, 3}
...

И снова сделаем хитрый ход: вспомним, что натуральный ряд состоит из четных и нечетных чисел, и что мощность натурального ряда, множества четных чисел и множества нечетных чисел одинаковы и равны алеф₀
Оставим впереди все нечетные числа, а все четные числа перенесем за многоточие:

{1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,.... }

Это множество вполне упорядочено. Первой его части (включая первое многоточие) соответствует ординал ω, и второй части — тоже ω!
Значит, это можно записать в следующем виде:

ω+ω = 2ω → {1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,.... }

Я пишу так подробно (может и зря) потому, что все эти переходы в более-менее серьезной литературе пропускаются, и от этого остается чувство, что где-то тебя глубоко надули! Ловкость рук и никакого мошенничества! Трудно поверить, что всё по-честному! Мне, во всяком случае, — трудно!

Следом за 2ω цепочка строится дальше:

2ω+1 → {3, 5, 7, ... , 2, 4, 6,....,1}
2ω+2 → {3, 5, 7, ... , 4, 6,....,1, 2}

Если мы поделим теперь натуральный ряд не на два бесконечных подмножества: четные-нечетные числа, а на три — по остатку от деления на три: 0, 1 или 2, получим:

ω+ω+ω = 3ω → {3, 6, 9, ... , 1, 4, 7,...., 2, 5, 8,... }

Продолжая дробить натуральный ряд, можем получить:
3ω+1
3ω+2
...
3ω+ω=4ω
...
ω ⋅ ω = ω²
ω²+1
...
ω²+ω
...
ω²+ω+1
...
ω²+2ω
...
ω²+ω ⋅ ω = 2ω²
2ω²+1
...
ω² ⋅ ω =ω³
...
ω^ω
...
Дальше у нас получится:
ω^ω в степени ω
...
ω^ω в степени ω в степени ω
...
ω^ω в степени ω в степени ω в степени ω........
...
И все эти ординальные числа получаются для множеств, по-разному составленных из одного и того же множества натуральных чисел!

Всё это бесконечное число ординалов соответствует одному единственному кардиналу: алеф-ноль!