Еще чуть-чуть того же самого другими словами.
Каким образом можно провести различие между ординальными числами ω и ω+1?
Сами элементы множеств с такими ординалами могут быть одинаковыми (а могут и нет)! Важно лишь то, каким образом мы задаем отношение порядка!

Например, множество натуральных чисел в "обычном виде": {1, 2, 3, ...} имеет ординальное число ω, представляющее всю последовательность натуральных чисел в её обычном порядке.
Также ординальное число ω имеют множества:
{10, 20, 30, ...}
{100, 200, 300, ...}
{1, 2, 4, 8, 16, ...}
...
Однако множество всех натуральных чисел в перестроенной последовательности {2, 3, 4, ..., 1} или же множество чисел в последовательности {20, 30, 40, ..., 10} имеет ординальное число ω+1.
И не обязательно первое число переставлять назад. Это можно сделать с абсолютно любым элементом множества:
{100, 200, 400, ... 300}
{1, 2, 4, 8, 16, ..., 32}
также имеют ординальное число ω+1.

Другими словами, значение кардинального числа зависит от задания порядка на множестве, а если неформально: от размещения бесконечно длинных пробелов, помеченных многоточием.

0) Если многоточие стоит в самом конце, то ординальным числом бесконечного множества будет ω.
1) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится одно число, то ординальным числом новой последовательности будет ω+1.
2) Если мы задали такой порядок, что в конце последовательности находится два числа (например {3, 4, 5, ..., 1, 2}), то ординальным числом новой последовательности будет ω+2.
...
ω Множество {1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ...} имеет два бесконечных пробела, поэтому его ординальное число равно ω+ω или 2ω.
И т.д.
Таким образом, сколько бесконечных пробелов, столько и омег в нашем ординале!

Важно, что все эти множества имеют одно и то же число элементов. То есть между любыми двумя из вышеперечисленных множеств, а также между каждым из этих множеств и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.
Только оно не будет изоморфизмом, потому что порядок при таком соответствии не сохраняется.
Поэтому кардинальные числа всех этих множеств одинаковы, хотя их ординальные числа различны.