Честно говоря, давно уже собиралась (и давно надо было) написать про древнегреческих математиков.
Сегодня напишу про Пифагора. Напишу совсем чуть-чуть, гораздо меньше, чем можно было бы рассказать об этом удивительном человеке!
Само Пифагорейское учение — вещь очень загадочная и неоднозначная!
Учение это было одновременно научным, мистическим, религиозным, и я бы сказала "музыкальным". Интересы пифагорейцев были очень и очень обширны.
В некоторых современных исследованиях пишут, что все открытия, приписываемые Пифагору, — не его! Точнее, НЕ ВСЕ — его. Что у пифагорейцев было принято, дабы не давать поводов для проявления гордыни, смирять все свои амбиции, и, соответственно, своими открытиями возвеличивать единого Пифагора, и более никого: все остальные — просто анонимы.
А вообще, заповеди у них были весьма чуднЫе; и самые главные, основные из них, — вовсе не касались занятий наукой)))) Они носили скорее суеверно-обрядовый характер: типа перво-наперво не есть бобов. Уж не помню, где я об этом читала.
Затем: мешать золу в печке, чтобы не оставлять след от горшка; начинать обуваться всегда с правой ноги, а мыть сначала левую... Ну, и т.д. Куча всяких приятностей.
Но учение Пифагора о числах!!! Это блеск, независимо от того, кто до этого додумался — Пифагор, или его подвижники — какая разница.
Теософия пифагорейцев тоже была удивительна. Они верили в переселение душ и в освобождение от колеса сансары (цепи перерождений) с помощью
математики и
музыки...
Но всё же, рассказывать о числах мне чуть более привычно. У пифагорейцев к числам отношение было более чем уважительное. Они придавали числам мистический смысл. Знаменитое Пифагорово изречение гласит: "ВСЕ ВЕЩИ СУТЬ ЧИСЛА".
Пифагор же придумал так называемые треугольные и прямоугольные числа. (Но об этом я расскажу уже в следующий раз).
Сегодня напишу только всем известную историю про "Пифагоровы штаны".
Пифагоровы штаныСо школьных времен в нас сидит намертво: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".
a2 + b2 = c2
Однако же для Пифагора доказательство этой теоремы стало серьезнейшим ударом по всему его представлению о мироустройстве!
Бедный Пифагор! Как только он доказал эту теорему, полетели в тартарары все его теории о соизмеримости, сечениях, пропорциях, среднегармоническом и т.д. До этих самых пор он полагал, что геометрию можно описать арифметикой в ее тогдашнем виде. А оказалось — нет!
Даже такая простая вещь, как прямоугольный треугольник не может быть описана рациональными (соизмеримыми) числами!
Итак, несоизмеримость.
Это очень просто и очень красиво!
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.
Такой, как я специально нарисовала на картинке. В нем a=b.
Тогда теорема перепишется в виде:
a2 + а2 = c2
или
2a2 = c2
То есть квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату любого из катетов. Предположим, что каждый катет равен единице; какова в таком случае длина гипотенузы?
Про корень из двух и вообще про корни мы, естественно, ничего не знаем.
Допустим, что ее длину можно выразить в виде обыкновенной дроби: m/n.
Тогда квадрат этой гипотенузы равен m2/n2, и все это равно двум, так как длины катетов — единицы, и, соответственно,
12 + 12 = 2 ⇒
m2/n2 = 2 __________________________________________________ (1)
Если m и n имеют общий множитель, разделим их на него, и впредь будем считать, что m и n взаимно просты, то есть, общих множителей не имеют.
В таком случае по крайней мере или m, или n должно быть нечетным (если оба четные — значит, у них есть общий множитель двойка, а мы дробь уже сократили).
Из (1) вытекает:
m2 = 2*n2, ________________________________________________________ (2)
и, следовательно, m2 — четное и, стало быть, m — четное, a n — нечетное.
В таком случае, если m — четное, запишем его в следующем виде: m = 2*р.
Тогда подставим в (2) вместо m — (2*р). После возведения в квадрат получим:
4*p2=2*n2;
сократим на два: n2=2*p2, отсюда n — четное, что противоречит допущению.
Тогда, наше исходное предположение неверно!
Гипотенузу нельзя измерить дробным числом m/n!
Вот, без всяких корней, пришли к существованию иррациональных чисел!
Т.е. чисел, не представимых в виде обыкновенных дробей, и следовательно, в виде конечных или периодических десятичных дробей.
То есть, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетом 1 — это бесконечная десятичная дробь, которую никогда нельзя вычислить точно.
Стало быть, в самом простецком треугольнике длины сторон несоизмеримы!
А ведь вся теория мироустройства Пифагора была завязана на гармонии и на соизмеримости!
И вдруг — нельзя точно найти отношение гипотенузы к катету!
Это, конечно, стало сильным ударом для учения...
Однако... На самом деле я хотела рассказать даже не об этом.
Пифагор — одна из самых легендарных личностей античного мира. А уж историй про пифагорейцев — вообще не счесть! Одна из историй (о становлении его учения) такова:
Пифагор с самого начала был довольно-таки экстравагантен в своих взглядах. Это хорошо для большого ученого, но плохо для ученого никому не известного. И сперва учение его отталкивало и шокировало. И никто не хотел у него учиться. Ходят слухи, что первому своему ученику он сам предложил платить за то, чтобы только он у него учился!
Да. Именно с этого начиналась пифагорейская школа!А вот теперь задачка:
Ученики Пифагорачитать дальшеНа вопрос о том, сколько у него учеников, древнегреческий учёный Пифагор отвечал так: "Половина моих учеников изучает математику, четвертая часть изучает природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении, остальную часть составляют 3 девы". Сколько учеников было у Пифагора?