Простота и совершенство

[Organon]

О простых числах я уже рассказывала, когда писала про решето Эратосфена.
Но древние греки, неутомимые исследователи, не остановились на такой скупой классификации чисел.
Они поделили их не только на простые и составные.
Нет, они пошли гораздо дальше!
Напомню, что простым числом называется число, которое не имеет делителей кроме единицы и себя самого. Все остальные числа называются составными.
Пример:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,.... — простые числа;
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ... — составные числа.

Число 1, в отличие от всех остальных, не является ни простым, ни составным. Потому что простое число по определению должно иметь два делителя: себя самого и единицу. А у единицы делитель всего один — она сама.

И простых и составных чисел бесконечное множество. То есть нет наибольшего простого числа — за ним обязательно существует еще большее простое.
Вы, может быть, не поверите, но многие люди занимаются этим и в наши дни: пишут программы для вычисления нового самого большого простого числа.

Вот, что пишет Википедия:
----------------------------------------------------------------------------------------
Наибольшим известным простым числом по состоянию на сентябрь 2006 года является
2^32582657 − 1.
Оно содержит 9 808 358 десятичных цифр и является 44-м известным простым числом Мерсенна (M_32582657).
...
За нахождение простого числа из более чем 10⁷ десятичных цифр EFF назначила награду в 100000 долларов США.
---------------------------------------------------------------------------------------
Древние греки, наделявшие все свои научные открытия мистическим смыслом, считали, что простые числа появились в мире раньше составных. Составные — уже вторичны, и в них нет божественного начала.
Теорему о том, что самого большого простого числа не существует, доказал Евклид в своих "Началах".

Но составные числа тоже оказались не такими уж безнадежными.
В них скрыто множество удивительных свойств.
Про число 142 857 я писала не так давно.
Но это единичное число. А мы сейчас посмотрим на некоторые общие закономерности.
Возьмем любое составное число и посчитаем сумму его делителей (всех, кроме его самого).

Возможны варианты:

1) сумма больше исходного числа.
Например, число 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6. Сумма делителей равна 16.
16>12.
Такие числа называются избыточными.

2) сумма меньше исходного числа.
Например, число 15 делится на 1, 3 и 5. 1+3+5=9
9<15
Такие числа называются неполными.

И наконец:
3) сумма делителей равна самому числу.
Например:
6=1+2+3;
28=1+2+4+7+14
Такие числа пользовались у греков особым уважением. Они называли их совершенными.

А есть числа-друзья. Такие, что сумма делителей одного из них равняется другому, и наоборот.
Самый известный пример — это 220 и 284.
Делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Их сумма равна 284.
Делители 284: 1, 2, 4, 71, 142. Их сумма даст нам 220.
Такие числа так и называются дружественные )))

Среди простых чисел тоже есть особенные. Они называются близнецами. Это такие пары простых чисел, которые отличаются на 2.
Например:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), и т.д.
Все пары близнецов, кроме самой первой, имеют вид: 6n+-1.
Существует гипотеза, что таких пар бесконечно много, но доказать это пока никому не удалось.