Сказка о прекрасной РЕЗОЛЬВЕНТЕ, о трёх добрых молодцах и о злом волшебнике Иван –дер

[Organon]

Как 3 вектора один детерминант в ноль обратили

Как идут две параллели,
да не сходятся,
Как стоят два дуба,
да не наклонятся.

Из старинной песни

В некотором пространстве, в некотором подпространстве жило-было упорядоченное семейство ортонормированных векторов i1 , i2 , i3 . Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили они в чём мать-матрица родила. Из периода в период от - π до π гнули братья спины на базис богатого комплекса, эксплуататора-тунеядца, прожившего всю свою жизнь по принципу наименьшего действия. Не взлюбил их комплекс и начал вытворять над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобьёт, то другую. Собрались братья, стали совет держать: « Не будет нам житья от этого комплекса. Нет от него никаких ограничений». И решили они обойти все пространства и подпространства, все оболочки многообразия и найти правую систему координат.
Вышли они в чисто потенциальное поле и пошли шагом куда глаза глядят.
π идут, 2π идут, 3π идут…Глядь, перед ними голубым разрезом на
ровной комплексной плоскости струйное течение.
- Ане половить ли нам рыбки?, молвил i1.
- Отчего же нет?, сказали братья.
Закинули братья свою видавшую виды ортогональную сеть, и видят: в сети сигма-рыба бьётся, человеческим голосом просит:
- Не губите меня добрые молодцы! Я вам ещё пригожусь!
Послушались её братья, выпустили. А сами дальше пошли. И полпериода не прошли, видят: лежит на траектории малый параметр, худющий-худющий, от голода плачет. Пожалели его братья, накормили ядрами всвёртку. Стал тут параметр расти на глазах. А как достиг экстремальной величины, сказал:
- Я вам ещё пригожусь, добры молодцы!
Да пропал, будто и не было его вовсе.
А братья дальше пошли.
Долго ли шли, коротко ли, больше нуля, меньше бесконечности, смотрят: стоит избушка на курьих ножках.
- Избушка-избушка, стань к нам плюсом, а к лесу минусом!
Попереминалась избушка с ноги на ногу, да и повернулась. Вошли братья и возрадовались: на столе еда стоит. Сытно поели и спрашивают:
- Есть тут кто?
Слышат, из-под печки слабый голос доносится. Видят, лежит не то вектор, не то скаляр, цепными дробями закованный.
- Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади-Аб-Ата – Коши- Мак- Лорен. Вот уже полжизни сижу здесь. Заковала меня злая набла-яга ∇.
Не успел он договорить, зашумело, засвистело вокруг.
- Бежим!, - вскричал Ади- Аб -Ата.
Расковали его братья и пустились все вместе наутёк. Оглянулись назад: летит по небу прекрасная Δ. Ударилась о плоскость, встала на голову и обратилась в страшную набла-ягу ∇.
- Чую ,векторным духом пахнет!
Ан векторов и след простыл. Вывел их Ади-Аб- Ата на геодезическую линию и сказал на прощание:
- Спасибо, молодцы! Я вам ещё пригожусь.
И пропал-аннулировался.
Пошли братья дальше и увидели Divgrad , то бишь дивный город. И выросли перед ними стены высокие, подобно тому, как растёт tg x при x → π/2.
И расходилось от города сияние лучистое, как расходится гармонический ряд. Но охватывало тот город печаль великая, как охватывает все решения дифференциального уравнения
y'' = - k² y
y = C1 sin kx + C2 cos kx, где C1 и C2 произвольные константы.
Проголодались братья, зашли в харчевню и разговорились они с хозяйкой – дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город и его δ-окрестности.
- Долго мы жили счастливо. Но созвал как-то раз наш король Великий Тензор дважды Ковариантный и четырежды Контравариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери красавицы Резольвенты. Приехал граф Х в самосопряжённой коляске. Приехал князь Синус со своей синусоидой. И другие именитые гости. Дивные звуки n-мерной музыки, исполнявшиеся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце pa-dt. Вдруг погас свет, замелькали на стенах фигуры Лиссажу… А когда починили пробки, смотрят – нет красавицы Резольвенты… Как показало следствие Центральной Предельной Теоремы, её похитил злой волшебник Иван дер Монд. Он проник во дворец, нарушив условие Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в двойной ряд стражи… С тех пор, - вздохнула Тильда, - стала наша область открытой для всех несчастий.
Крепко запала в душу братьев эта страшная история, решили они освободить красавицу Резольвенту. Как услышала об этом добрая Тильда, стало ей жалко молодых неколлинеарных векторов:
- Вы же совсем единичные, - вскричала она, - но братья дружно в один голос ответили:
- Нас мало, но мы образуем базис!
Отправились братья в торговые ряды Тейлора, снарядились, погадали на годографе, и тронулись в путь. Скоро сказка сказывается, но не скоро доказывается.
Тяжёлые граничные условия не позволили векторам проникнуть в соседнюю область, где господствовало классовое неравенство Коши-Буняковского. И тут перед ними, как из-под земли, вырос Ади-Абу-Ата- Коши- Мак- Лорен. И сказал он братьям:
- Я знаю, что вы задумали. Трудное это дело. Смерть Иван Дер Монда в его детерминанте. Детерминант в додекаэдре, додекаэдр в икосаэдре, а икосаэдр привязан тремя узлами к корням полинома Лежандра: один узел простой, другой двойной, а третий логарифмический. Полином тот растёт в изолированной точке за 3х9 земель в пространстве великого хана Банаха. И охраняет его чудовище Декремент с трансцендентным числом ног. Тот детерминант надо достать и приравнять к нулю. Тут и будет конец Иван Дер Монду. Идите по следам матриц и придёте прямо к изолированной точке.
Пошли братья векторы по следам матриц и через три периода оказались перед выпуклым непустым множеством, заполненным несжимаемой вязкой жидкостью. Стоят и гадают, как им быть не знают.
Вдруг вынырнула Σ-рыба, хвостом бьёт, приговаривает:
- Вот я вам и пригодилась.
Перевезла она векторов на другую сторону. Поблагодарили они и пошли дальше. Глядь – перед ними разрыв 2-го рода. А тут откуда ни возьмись – малый параметр! Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли по нему братья на другую сторону. Дошли братья до точки ветвления. Смотрят, столб стоит, а на том столбе написано:
- Направо пойдёшь – в бесконечность уйдёшь, налево пойдёшь – координат не соберёшь, прямо пойдёшь – транспонируешься!
Подумали братья- подумали, да и пошли в разные стороны.
Рассмотрим вектор i1 . Шёл-шёл i1 , видит: перед ним, как из-под земли вырастают неисчислимые орты хана Банаха, все, кроме, может быть, одного, одеты в Жорданову форму, подстрижены под скобку Пуассона.
- Ах, опечалился вектор, нет со мной моих любимых братьев. Да ничего, i1 в поле воин!
Храбро бросился на врагов. Тут подоспели i2 , i3 . И дрогнули супостаты. Пробили братья себе дорогу. Пошли они дальше.
Вдруг слышат страшный рёв. Заметались в воздухе вихри, зарезонировало и появилось перед ними чудовище Декремент. Не растерялись братья, набросили на него сеть, запутался Декремент своими трансцендентными ногами в узлах и умер в страшных мучениях. Тихо стало в чисто потенциальном поле. Только старый полином Лежандра шумел своими ветвями. Подошли братья к изолированной точке, разрыли корни и достали икосаэдр. Вынули они додекаэдр, извлекли детерминант и приравняли его к нулю. Раздался тут грохот великий, потемнело небо, исчезло солнышко, полетели листья Мёбиуса. Огненные разрывы молний раскололи небесную сферу Римана. Умер Иван Дер Монд. И очутилась перед братьями прекрасная Резольвента, живая и невредимая, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Сказка написана для случая n =3. Но, пользуясь методом математической индукции, читатель без труда обобщит её на случай любого n.
Замечание 2. Сказка доступна студентам, аспирантам и преподавателям мехмата. Знание математической логики и алгебраической топологии не обязательно.