Парадокс Банаха-Тарского

[Organon]

Продолжаю тему парадоксов.
На этот раз, похоже, опять не удастся обойтись одной записью.
Речь пойдет о парадоксе Банаха-Тарского. К нему я подбираюсь уже довольно давно.
Но дело в том, что парадокс этот, легко объясняемый на пальцах, не так-то просто "развенчивается"! Причём, "развенчивается" — тут не совсем правильное слово. Он скорее "объясняется". А еще точнее, "доказывается". Доказывается средствами высшей (или около-высшей) математики. Поэтому придётся сильно постараться, чтобы с одной стороны не пострадала содержательная часть, а с другой, чтобы записи остались в рамках сообщества, сиречь, в рамках школьного курса математики.
Ну-с. Начнём с истории. А точнее, с персоналий.

Как это часто бывает, когда множество людей думает об одном и том же, мысли начинают "материализоваться". В начале ХХ века многих математиков и логиков занимали мысли об аксиоматике теории множеств.
Этой теме в сообществе посвящена не одна запись.
И вот, как говорит народная мудрость, great minds think alike. Парадокс, о котором пойдет речь, был придуман двумя выдающимися математиками (а Тарский был еще и логиком и философом) Стефаном Банахом и Альфредом Тарским. И сделали они это независимо друг от друга!
Все мы знаем формулу Ньютона-Лейбница, тоже придуманную независимо двумя великими умами (однако же наверное знают не все, что сэр Исаак Ньютон просто уничтожил Готфрида Лейбница и морально и физически — буквально свёл его в могилу. Но это уже другая грустная тема), многие знают о машине Тьюринга и машине Поста — двух абстрактных вычислительных машинах, созданных также независимо друг от друга Аланом Матисоном Тьюрингом и Эмилем Леоном Постом. Обе машины были созданы для уточнения понятия «алгоритм». Тьюринг и Пост показали принципиальную возможность решения автоматами любой проблемы при условии возможности ее алгоритмизации. То есть любой алгоритм, который мы только можем себе вообразить, представим как с помощью машины Тьюринга, так и с помощью машины Поста. В этом плане они эквивалентны.

Так же и парадокс об удвоении шара (таково его второе название), Банах и Тарский открыли в 20-х годах ХХ века независимо друг от друга.
Неформально этот парадокс звучит так:

Любой шар можно разбить на конечное число кусков и составить из них два одинаковых шара того же радиуса, что и исходный.

Звучит совершенно невероятно!
Людям, близким к математике, очень рекомендую книгу Ященко "Парадоксы теории множеств", о которой я уже писала в сообществе. Вот глава про этот парадокс:
www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.ph...
Довольно полно, и вообще — понятно, об этом парадоксе написано в Википедии.
Ну а я, как всегда, постараюсь изложить это "своими словами".
Пока в качестве затравки картинка (правда она тяжёленькая получилась... простите):