Для того, чтобы разобраться в доказательстве парадокса Банаха-Тарского, или хотя бы просто посмотреть, на чем оно строится, нужно понять, что же представляет собой
аксиома выбора.
Можно было бы просто сформулировать ее, но всё же я считаю, что надо немножко расширить контекст. Аксиома выбора — это хоть и стоящая особняком, но всё же часть целостной системы.
Системы аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Предварительные соображения )Поэтому, думаю, будет уместным рассказать хоть немного об аксиоматике теории множеств ZF и потом непосредственно обратиться к аксиоме выбора.
Наивная теория множеств, основанная Георгом Кантором, кратко описана в сообществе вот здесь.
Все аксиомы системы Цермело-Френкеля я беру из книжки Френкеля, Бар-Хиллела "Основания теории множеств". Но постараюсь всё-таки немного облегчить их нотацию (и понимание).
Самое интересное в этом деле — это определение множества.
Множество, как многим известно, понятие первичное, неопределяемое.
Но всё-таки надо попытаться по каким-то косвенным признакам догадаться, с чем мы имеем дело)))
Сейчас мы этим и займемся.
Представьте себе, что мы демиурги, и начинаем создавать некую теорию, имея очень небольшой "стратегический запас". Нам дали:
1) бесконечный список индивидных переменных: x, y, z, w, t, p,... ("а в случае надобности, — как пишет Френкель, — и других букв")));
2) логические связки: ~ (не), ∧ (конъюнкция, логическое умножение, И), ∨ (дизъюнкция, логическое сложение, ИЛИ), → (импликация, следование, ЕСЛИ-ТО);
3) два квантора: ∀ (квантор всеобщности; "∀х" читается: "для любого икс"), ∃ (квантор существования; "∃у" читается: "существует игрек")
4) одно единственное отношение, отношение принадлежности, обозначаемое двухместным предикатным символом: ∈.
Что такое двухместный? Что такое предикатный?
Предикатом можно без особого зазрения совести считать функцию, которая принимает только два значения: истина и ложь. А вот сколько переменных у этого предиката, такова его и "местность" (еще часто говорят "арность"). Таким образом, отношение принадлежности задается бинарным предикатом.
Выражение х &isin у читается как "х принадлежит у", "х содержится в у".
Если х при этом и вправду содержится в у, то выражение х &isin у истинно, в противном случае, оно ложно.
Каждая формула вида ". &isin --", где "." и "--" замещены переменными, является правильно построенной.
Вот, собственно, и всё, что у нас есть.
Кроме того, у нас есть вопросы, на которые мы хотим получить ответы:
1. Что мы называем именами x, y, z, w, t, p,...? Что это за индивидные переменные? Откуда они берутся? Чем являются?
2. Что стоит слева и справа от знака &isin в правильной формуле: ". &isin --"? Переменные, имеющие один и тот же статус? Или разные? Как они называются? Накладываются ли на них какие-нибудь ограничения?
Об этом я напишу в следующий раз )))
Как оказывается, теория множеств проста, только если не копать вглубь.
Мы сильно не углубимся, но всё же небольшой пласт снимем.