Оооо!
Я, например, открыла для себя много нового.
Отношение равенстваВ книге Френкеля, Бар-Хиллела отношение равенства понимается в одном определенном смысле. Но сначала они говорят, что во взгляде на то, какое место в системе занимает это отношение и какова же его роль, можно занять одну из трех существующих позиций.
Вот эти-то позиции я сейчас и перечислю. Цитировать буду только местами, потому что изложение достаточно громоздко; где это возможно, ограничусь пересказом.
Итак, три позиции.
а) Отношение равенства считается принадлежащим к лежащей в основе логике. У Ф.и Б-Х, как я уже писала, в основе теории взято функциональное исчисление первого порядка. Так вот, вместо него можно взять функциональное исчисление первого порядка с равенством. И всё. ))) Тогда: х и у считаются равными, если «они обозначают одну и ту же вещь» (с) Цермело.
Это иногда приводит к смещению употребления и упоминания знаков, но от этой путаницы можно избавиться при помощи тавтологического замечания, что х и у равны, если они суть одна и та же вещь.
На мой взгляд, всё это с одной стороны слишком просто, с другой же, если мы будем относиться к этому серьезно, слишком сложно. Корни всего этого нужно искать в дебрях феноменологии (это опять же мнение частное и спорное). Так что тут можно подискутировать, если будет желание, а мы переходим ко второй позиции.
б) Равенство рассматривается в качестве одного из первоначальных отношений системы (наряду с ∈ ). То есть знак «=» можно было бы взять в качестве второго первоначального двухместного предиката. При этом нужно было бы ввести аксиомы, которые обеспечили бы рефлексивность, транзитивность и симметричность равенства.
(Я сейчас их быстренько перечислю (полуформально), потому что не все же помнят их навскидку:
1) рефлексивность: х=х
2) симметричность: х=у ⇒ у=х
3) транзитивность: х=у и у=z ⇒ х=z
В каждом из этих выражений по всем переменным кванторы всеобщности. Т.е. это выполняется для любых индивидных имен нашей модели).
Из этих трех аксиом следует, что равенство является отношением эквивалентности, а также его подстановочность по отношению к другому первоначальному отношению ∈.
То есть: из того, что х ∈ у и х=х' следует х' ∈ у;
а из х ∈ у и y=y' следует х ∈ у'.
с) Знак равенства вводится посредством определения.
(И вот тут начинается то, что либо просто вышло из употребления, либо я с этим никогда не сталкивалась. Но очень интересно!)
В нашем случае это можно сделать двумя различными способами: либо в соответствии с традицией, идущей по крайней мере от Лейбница, согласно которой два предмета считаются равными, если каждый предмет, содержащий один из них в качестве члена, содержит и другой, либо же предметы считаются равными, если они имеют одни и те же члены.
(Выделение жирным мое)))
Далее идет обсуждение обоих из перечисленных в с) способов. Оно очень интересно, но оставлю его на потом.