Никак не дойду до аксиом...
Никто, небось, уже и не помнит, что цель была разобрать аксиому выбора, чтобы потом можно было плавно перейти к доказательству парадокса Банаха-Тарского
Боюсь, впереди у нас еще долгая дорога.)
Тем более, что почти ни одна запись не остается без критики)))
Что я могу поделать? Видимо, это планида теории множеств
читать дальшеПродолжаю ровно с того места, на котором остановилась.
Мы ввели предикатный символ ∈ и ввели отношение включения ⊆.
А теперь нам всё-таки нужно ввести отношение равенства.
Перехожу к цитированию (если где-то отступаю от текста, то стараюсь не искажать смысл).
Равенство мы можем определить любым из двух следующих способов.
Определение IIа. х называется равным у (х=у) тогда и только тогда, когда для всех z x ∈ z влечет за собой y ∈ z, и обратно, y ∈ z влечет х ∈ z, то есть, если каждое множество, содержащее одно из множеств х и у, содержит также и другое. Если х не равно у, оно называется отличным от у (х ≠ у) (или множества х и у называются различными).
Определение IIb. х называется равным у (х=у) тогда и только тогда, когда x ⊆ y и y ⊆ x одновременно, то есть каждое из множеств х и у есть подмножество другого. Иначе говоря (формулируя в первоначальных терминах), х=у, если каждый член одного из этих множеств есть также и член другого. В противном случае х отлично от у (х ≠ у) (или х и у различны).
Согласно любому из этих определений отношение равенства рефлексивно, транзитивно, симметрично и подстановочно (substitutive) по отношению к правому аргументу ∈, т.е. z ∈ х, х=у влечет z ∈ у.
Тем не менее, определяемое в IIb свойство равнообъемности (экстенсиональности) не может быть выведено из IIa, так же как левосторонняя подстановочность (свойство состоящее в том, что x ∈ z, х=у влечет y ∈ z) не выводима из IIb даже при помощи приводимых ниже аксиом.
Поэтому в дополнение к определениям IIa и IIb мы вводим специальную аксиому, каждый из двух вариантов которой приспособлен к соответствующему определению.
Аксиома Ia. x ⊆ y и y ⊆ x вместе влекут х=у; иначе говоря, множества, содержащие одни и те же члены, равны.
Аксиома Ib. x ∈ z и х=у вместе влекут y ∈ z; иначе говоря, равные множества содержатся в одних и тех же множествах.
Для последующего изложения несущественно, взять ли IIa в качестве определения равенства и Ia в качестве соответствующей аксиомы или же IIb в качестве определения и Ib в качестве аксиомы. Поэтому мы будем просто говорить об определении II (определении равенства) и аксиоме I (аксиоме объемности или экстенсиональности).