Предлагаю вашему вниманию парадокс, который изложил в энциклопедии «Аванта+» Владимир Дубровский.
Рассмотрим бесконечную ступенчатую пластинку (рис. 1), состоящую из прямоугольников: первый из них — квадрат со стороной 1 см, второй имеет размеры 0,5 × 2 см, а каждый следующий вдвое уже и вдвое длиннее предыдущего. Площадь каждого прямоугольника равна 1 см2, а общая площадь пластинки бесконечна. Разумеется, чтобы всю ее покрасить, потребуется бесконечное (по объему или массе) количество краски. Но представьте себе «сосуд» (рис. 2), получаемый при вращении пластинки вокруг ее прямого бесконечного края. Сосуд состоит из цилиндров. Высота k-го цилиндра равна 2k – 1 см, радиус — 21 – k см, а значит, его объем равен π∙21 – k см3. Таким образом, объемы цилиндров образуют убывающую геометрическую прогрессию, их сумма конечна и равна 2π см3. Заполним этот сосуд краской. Погрузим в него пластинку и вытащим ее; конечно, она вся будет окрашена с двух сторон.
Так все же, можно окрасить пластинку?!