Теорема: ln 2 = 0.
Доказательство.
Рассмотрим разложение ln 2 в бесконечный ряд:
ln 2 = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …
Перегруппируем слагаемые:
ln 2 = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
Тогда получаем, что
ln 2 = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) – 2∙(1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...).
Скомбинируем первые слагаемые в ряд:
ln 2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...) – 2∙(1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...),
ln 2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...).
Следовательно, ln 2 = 0, что и требовалось доказать.