"Начала"

[Organon]

"Начала" Евклида написаны в 300 г. до нашей эры. И, как следует из цитаты Рассела в прошлой записи, вплоть до конца XIX века они были единственным классическим учебником по геометрии.
Вот как выглядят дошедшие до нас греческие папирусы.
Папирус из Оксиринха:

А вот Ватиканский манускрипт, т.2, Euclid XI prop. 31, 32 и 33.

(Картинки все взяты из Википедии, и поэтому я спокойна за копирайт)

"Начала" и постулаты

Сейчас нас будет интересовать только первая книга "Начал". Именно в ней приведены постулаты "евклидовой геометрии".
Но начну я не с постулатов.
Структура первой книги такова.
Сначала идут определения, за ними постулаты, за ними общие понятия (аксиомы), а за ними предложения.
"Предложения" очень похожи на теоремы и утверждения из современных школьных учебников по геометрии. Даже язык не слишком изменился.
Вот, например, первый признак равенства треугольников:

Но это я забегаю вперед. И вообще, предложений касаться больше не буду.
Нас интересуют начала "Начал".

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
(Определений всего 23. Все, естественно, я выписывать не буду. Вот первые семь)
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия — длина без ширины.
3. Края же линии — точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно лежит на всех своих точках.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Края же поверхности — линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях.
...
А вот очень понравившееся:
22. Из четырёхсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонний же — прямоугольная, но не равносторонняя, ромб — равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) — имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной. Остальные же четырёхсторонники будем называть трапециями.
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой «стороны» между собой не встречаются.

Следом за определениями идут постулаты.
Следом за постулатами — аксиомы. (Постулатами я закончу, поэтому порядок меняю местами).

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
(Аксиомы)
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
[4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой].
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
[9. И две прямые не содержат пространства.]

ПОСТУЛАТЫ
Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг.

4. (Акс. 10.) И что все прямые углы равны между собой.

5. (Акс. 11.) И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньшие двух
прямых.
(А здесь картинка будет потом)

И вот тут я уже начинаю потихоньку запутываться.
В аналитических текстах написано, что Евклид отделяет аксиомы от постулатов, и по тексту "Начал" это хорошо видно, потому что постулаты прямо так и начинаются со слова "допустим". Но однако четвертый и пятый постулаты обозначены как аксиомы 10 и 11. (Про это в той литературе, которую я смотрела, вообще ни слова не говорится).
Тогда не совсем понятно отличие постулатов от аксиом, и почему вообще всё так странно.
В той последовательности, в какой это выстроила я, получается, кстати, более логично, чем в оригинале. Если постулаты идут перед аксиомами, аксиомы 10 и 11 оказываются впереди планеты всей.