Возможно ли разрешение?

[devami]

Подскажите пожалуйста, правильно ли я понимаю проблему?

Есть два конечных множества. Это А и В. Мощность А = 5, а мощность В = 6.

Теперь берём 5 красных шариков и пронумеруем их натуральными числами начиная с 1. Это наше множество А.
Далее, берём 6 зелёных шариков и пронумеруем их натуральными числами начиная с 1. Это наше множество В.

Выкладываем шарики в один ряд. Вначале красные а потом зелёные.

Нумеруем все шарики независимо от цвета, и это будет множество С, с мощностью 11.

Множество С, состоит из 2-х подмножеств А и В. Каждое подмножество мы можем пронумеровать отдельно, независимо от общей нумерации множества С.

Далее, добавляем по 2 красных и по 2 зелёных шарика, и размещаем их в своём подмножестве. А и В увеличивается на 2 --А=7, В=8. Но общее с уже равно С=15.

И так далее.Бесконечно далее.

Мы видим, что можем образовать бесконечное множество С. Но где тогда будет граница между подмножествами А и В? Множество С счётно.

Моё мнение: Исходя из аксиом говорящих о том что два счётных множества вместе образуют только одно счётное множество, и то что натуральный ряд чисел един, то мы не можем 2 и более счётных множества, расположить друг за другом. Можно, но только в переплетении, как переплетены чётные и не чётные
натуральные числа.

И поэтому такой подход не корректен и не имеет разрешения. Корректно, когда красные шарики и зелёные располагать перемешивая. Красный-зелёный-красный-зелёный--и так бесконечно далее.

Правильно ли я сделал заключение, и если правильно, то как кратко эту сформулировать?

Спасибо, и прошу прощения за неуклюжесть изложения.

@темы: Теория множеств

Comments

[J.Random]

Я не математик, и теорию множеств проходил давно, но все-таки.

два счётных множества вместе образуют только одно счётное множество

При объединении двух множеств получается одно множество. Ваш Капитан Очевидность.

мы не можем 2 и более счётных множества, расположить друг за другом

Я сомневаюсь, что есть такой термин, как "расположение множеств". Расположить где? В пространстве? о_О Играет роль принадлежность элемента множеству, а не взаимное расположение элементов, а все эти сортировки-нумерации - для наглядности.

где тогда будет граница между подмножествами А и В

О какой границе речь? Каждый конкретный элемент множества С принадлежит либо множеству А, либо множеству В, вот и все.

Если говорить об эквивалентности, то:
A={a1,a2,a3,a4,...,aN} ~ D={2,4,6,8,...,2N}
B={b1,b2,b3,b4,...,bM} ~ E={1,3,5,7,...,2M-1}
Устремляем M и N в бесконечность и объединяем D и E. Получаем множество натуральных чисел (точнее, множество, эквивалентное множеству натуральных чисел).

И принцип нумерации тут совершенно безразличен. С тем же успехом мы можем элементы первого множества нумеровать простыми числами, а второго - составными. Или отрицательными и положительными. Результат будет тот же.

[devami]

Спасибо Вам за ответ

сумма двух счётных множеств счётна

Множество красных шариков(К) счётно. Множество зелёных шариков(З) счётно. Их сумма,(объединение) образуют счётное множество(С).

В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.

Не обязательно располагать, а можно нумеровать, вначале пронумеровать красные шарики, а потом зелёные, то какой порядковый номер натурального числа будет иметь первый зелёный шарик? Номер должен быть натуральным числом!

Лично мне кажется, что это невозможно! И противоречит аксиомам и теоремам счётных множеств. На вид как бы забавная затея, но, не имеет разрешения.

И как мне кажется это принцип устройства нашего МИРА, Все бесконечные множества в нём переплетены. А если мы попытаемся выложить в один ряд счётное множество атомов, то никогда не дойдём до других частиц. В мире они расположены разумно - в переплетении.

[J.Random]

Какой порядковый номер натурального числа будет иметь первый зелёный шарик?

Больший номера любого красного шарика. В чем проблема?
{1,2,3,...,N,N+1,N+2,...,N+M}, N и M устремляем в бесконечность, получаем все то же множество натуральных чисел.

[Amicus Plato]

Black_Diver


Начало вот здесь:
eek.diary.ru/p150197336.htm

devami
Вам ведь дали ссылку на запись в этом сообществе. Вы прочли ее? Вы не согласны с таким ответом на ваш вопрос? Или он вам непонятен? Ну, тогда задавайте уточняющие вопросы.
Иначе это перестает носить конструктивный характер.

Почитайте всю подборку целиком:
www.diary.ru/~Organon/p40149339.htm
www.diary.ru/~Organon/p40170872.htm
www.diary.ru/~Organon/p40175276.htm
www.diary.ru/~Organon/p40176144.htm

[mpl]

Amicus Plato

offtopic

Замучилась, но не могу исправить

`aleph_0`

[Amicus Plato]

mpl

оффтопик

Это было еще в те стародавние времена, когда скрипта не было)))

[mpl]

Amicus Plato

Понимаю.
Может быть в скрипт сразу прописать это сообщество? На случай, если возникнет желание пользоваться им.

[Amicus Plato]

mpl
Если несложно! Это было бы очень хорошо!
А я потом (правда, все мы знаем про благие намерения, но буду стараться) перепощу из еек ссылки на скрипт и хэлп по его использованию.

[mpl]

Amicus Plato

Напишу, когда поменяю файлы на народе

[devami]

Amicus Plato пишет:

Вам ведь дали ссылку на запись в этом сообществе. Вы прочли ее? Вы не согласны с таким ответом на ваш вопрос? Или он вам непонятен?

Black_Diver пишет:

Какой порядковый номер натурального числа будет иметь первый зелёный шарик?
Больший номера любого красного шарика. В чем проблема?
{1,2,3,...,N,N+1,N+2,...,N+M}, N и M устремляем в бесконечность, получаем все то же множество натуральных чисел.

Дилетант пишет( в Не решается алгебра/высшая математика? ... ПОМОЖЕМ!):

Совершенно верно. Если на множестве не задан порядок.
Вы решили задать порядок. Тогда переходите к ординальным числам или если не хотите, придумывайте свою теорию.
В терминах ординалов ваш зеленый шарик будет иметь номер омега+1. И не должен этот номер быть натуральным числом, если на множестве есть отношение порядка.

Как видите, два разных ответа!

И как они соотносятся с "сумма двух счётных множеств счётна".
"В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами."

Если принять ответ Дилетанта, то эти утверждения"сумма двух счётных множеств счётна".
"В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами."- не верны, так как получилось множество с не натуральными числами..

Если верен ответ Black_Dive(что более согласуется с "сумма двух счётных множеств счётна".
"В теории множеств счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами.") тогда первый зелёный шарик будет иметь номер N+1? А как же тогда быть с этим:

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N.

И тогда уже N+1 не входит в N?! Разве здесь не следы гросс-единицы Сергеева?!

Как я понимаю, если мы от точки А в бесконечность выложим парад планет. Без завершения естественно. То все номера которые мы дадим планетам, будут натуральные числа. И они все входят в N/

Здесь, я хочу рассматривать только счётные множества, без затрагивания трансфинитного ординального числа ω (омега)

И опять же, я хочу понять и получить ЗНАНИЕ. И не собираюсь кого то учить. Поэтому прошу Вас быть сдержанней к моему невежеству!

[J.Random]

первый зелёный шарик будет иметь номер N+1

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком N.

И тогда уже N+1 не входит в N?!

Вы путаете теплое с мягким. N и M в моем примере - просто мощности множеств A и B. Раз уж смущает буква N, то
берем множество A={a1,a2,a3,...,ak}, |A| = k.
B={b1,b2,b3,...,bp}, |B| = p.
Про индукцию слыхали?
Пусть k=1. Тогда множество C={a1,b1,...,bp}. Устремляем p в бесконечность. Получаем множество, равномощное N.
Пусть k=K, некоему натуральному числу. Любому. C={a1,...,aK,b1,...,bp}. Аналогично, устремяем p в бесконечность, результат тот же.
Теперь k=K+1. C={a1,...,a(K+1),b1,...,bp}. p->бесконечность, результат тот же.
Отсюда следует, что для любого натурального k результат будет аналогичен, и мы имеем полное право и k устремить в бесконечность вместе с p. Получаем два счетных множества, объединение которых дало счетное множество, и нам не пришлось их элементы нумеровать поочередно.

А за рассуждениями о "переплетенных" множествах Вам к философам, по-моему. No offence.

[devami]

Спасибо Вам за профессиональный ответ!
Согласен с Вами. Переплетенные множества---это похоже на околонаучный фольклор. Кстати, Кантор, в своих математических трудах говорил о силе свыше и о Фоме Аквинском. Что ему чести не делает! А.Пуанкаре вообще считал трансфинитные числа болезнью, от которых математика рано или поздно но излечится.

Объясните мне пожалуйста, как вот можно вот это уложить в логическую взаимосвязь.
Взято из:www.px-pict.com/9/3/1/4.html

Последовательность (2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, ...) имеет два бесконечных пробела, и её ординальное число равно ω + ω или 2ω.


1. Числовая последовательность считается заданной, если указано правило или закон,
с помощью которого по номеру места в последовательности всегда можно назвать число, сто-
ящее на этом месте.

Вопрос: Как найти такое правило или же закон для этой последовательности?!

2. Если переменная имеет предел, то он единственный. Иначе
говоря, переменная не может иметь двух различных пределов

Вопрос.: Какой здесь предел? У последовательности 2,4,6...беск. предел плюс-беск. У посл. 1,3,5...беск. предел плюс беск. Одна последовательность имеет как бы 2 предела? пусть и одинаковых...Или первый предел уже не предел, так как есть переход к 1,3,5?! (Начало)Первый член посл. 1,3,5,...беск. то есть 1, зависит от конца последовательности 2,4,6,...беск. Но конца же нет здесь! Разве могут две последовательности соединяться одной последовательностью?!

3. Последовательность 2,4,6,...беск. располагается в натуральном ряду чисел. Это можно записать так 1,2,3,4,5,6,7,...бес.
Последовательность 1,3,5,...беск. располагается в натуральном ряду чисел. Это можно записать так 1,2,3,4,5,6,...беск.

Вопрос: На одном или же двух натуральных рядах(а натуральный ряд един) расположена последовательность 2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, ...???По логике на одном, получается.


4. "сумма двух счётных множеств счётна". Счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Множество всех чётных натуральных чисел счётно, множество всех не чётных натуральных чисел счётно. Почему при объединении этих множеств, мы получаем не натуральные числа, для нумерации членов этого объединения(ω+1,ω+2,...)? Объединение в одну последовательность тогда не равно сумме?!


Простите за невежество, но вот непонятны мне эти вещи.

И вопрос практический.Он касается моего вопроса об объединении, сумме счётных множеств.

Государство берёт в долг деньги. У 1 человека берёт по 10 единиц. Обещает отдать.Из каждого раза когда произведена операция взятия в долг, 1 рубль откладывают в графу"Отдача долга" а 9 рублей в "Доходы". Так взяв у первых 10 человек, долг возвращается первому. 10 взяли и 10 отдали. Таким образом, можно просчитать что каждый человек давший в долг, обязательно получит деньги назад(пусть и не он но потомки. Но долг вернут).

1. Получаем что всем долг отдадут. Если всем, то сумма взятая в долг равна сумме "Отдачи долга".
2. Мы видим, что сумма "Доходы" растёт и имеет пределом плюс-бесконечность.

Вопрос: Откуда могут взяться доходы, если пункт 1 считается верным?

[mpl]

Последовательность (2, 4, 6, ..., 1, 3, 5, ...)

Является ли эта конструкция числовой последовательностью?

[devami]

С одной стороны :
числовая последовательность это последовательность элементов числового пространства.

Но с другой стороны, если имеется бесконечность(как часть этой последовательности), то бесконечность это не число, и тогда последовательность не может быть числовой! Я так понимаю!

В принципе все мои вопросы были бы исчерпаны, если бы можно было объяснить как начало 1,3,5....беск. может зависить от от того что не имеет конца. 2,4,6,..беск. не имеет конца.Допустим что это начало не в конкретном месте , а в бесконечности.Начало 1,3,5..беск.---бесконечно далеко.
Есть такое понятие натурального числа, где есть аксиома "Число, следующее за натуральным, также является натуральным", как может быть тогда иначе? ТОгда как я понимаю, за натуральными числами нет других чисел.

[mpl]

Так как последовательность не числовая (это верно?), то применять к ней (предполагать верными) многие из аксиом, свойств числовых п. не получится.

[devami]

И тогда, как я понимаю. Вот есть натуральный ряд чисел 1,2,3,4,5,.....беск.

Берём столько же шариков и нумеруем их. Все шарики"натуральные числа". Теперь, красим чётные красным цветом а не чётные зелёным, и располагаем вначале красные а за ними зелёные, и тогда уже только красные шарики "натуральные числа", а зелёные иные. Они выброшены за пределы понятия о натуральных числах?!

Если последовательность не числовая, то естественно и аксиомы о числовых последовательностях не годятся. Как я понимаю, эти последовательности дал Кантор. И вот как за натуральным числом с одной стороны не может быть иных чисел, но они есть , он не объяснил. Или же я чего то не понимаю?1

[mpl]

Множества разноцветных шариков счетны.
Для того, чтобы расположить их друг за другом, нужно или ввести некоторое ненатуральное обозначение, символ, или "пронумеровать" их элементами других счетных множеств, естественно расположенных друг за другом на числовой прямой.
До сих пор не могу понять цели Ваших вопросов и построений.

[devami]

Наверное, я не ясно выражаюсь.

Возвращаемся к началу. И попробую изложить по другому.

У нас имеется натуральный ряд чисел. Аксиомы касательно его никто не отменял.

Простое задание: Из каждых двух членов натурального ряда, выделить один.

В конечном множестве, к примеру с мощностью 10, можно выделять любые 5 членов натурального ряда. Можно и первые 1,2,3,4,5. То есть отмерить половину.
Задача будет решена.

В счётном множестве, уже иначе. Можно поочерёдно продвигаясь по всему ряду. Но никак нельзя вначале отмерить половину.

Все множество натуральных чисел, можно пронумеровать всеми натуральными числами. Все подмножество нечётных чисел можно также пронумеровать всеми натуральными числами. Это правило относится и к чётным числам, и к любому счётному подмножеству натуральных чисел.
Натуральные числа, это числа имеющие 1(начало) и не имеющие конца.

Мы можем в натуральном ряду чисел выделить любое подмножество счётное, и соединить с другим(ми) счётными подмножествами...и в любом случае можем переименовать от начала всеми натуральными числами.

Располагая друг за другом, уже не можем эти два(и более) счётных множества переименовать всеми натуральными числами.Применяя иное счисление, мы с одной стороны решаем проблему как Кантор, а с другой стороны входим в противоречие с аксиомой натуральных чисел "Число, следующее за натуральным, также является натуральным", так как видим множество чисел, которые следуют за натуральными и не являются натуральными.

Вот об этом вначале я хотел поговорить. О не стыковках. Я допускаю что эти не стыковки может быть только в моей голове, поэтому и решил обсудить.Потому что как я понимаю, математика не должна иметь противоречий.

[devami]

Black_Diver, внимательно изучил Ваше последнее сообщение. Вы правы во всех случаях, вот вопрос относительно выводов.
Вы вначале предлагаете варианты для конечного К, и бесконечного Р. И там всё правильно, эти множества(конечное-счётное) идут без проблем подряд.
И так можно сделать вывод для любого К. Как числа. Так как в этом случае первое множество всегда конечно. Но вот если К бесконечно? Здесь как мне кажется аналогия с увеличением бесконечно-малой величины. Увеличение на ЛЮБУЮ конечную величину всегда одно и тоже, равно б.м.величина. Но вот при увеличении бесконечном, уже результат неопределённость. Какой угодно может быть.

Теперь предлагаю посмотреть на мою проблему с иной стороны:

Вариант 1.
Есть конечное множество N с мощностью 10.|N|=10. Его можно пронумеровать натуральными числами. Увеливаем до бесконечности. Превращаем его в бесконечное множество, то есть счётное.Его можно пронумеровать натуральными числами.

Вариант 2. Аналог Варианта 1, правда с некоторыми вывертами.

Есть конечное множество N, с мощностью 10.|N| = 10. Разбиваем его на подмножества А и В. А=1,2,3,4,5 |A| =5.; В = 6,7,8,9,10. |B| = 5. Нумеруем члены этих подмножеств по порядку.А=1(1),2(2),3(3),4(4),5(5).; В = 6(1),7(2),8(3),9(4),10(5). И отдельно члены множества N = 1(1),2(2),3(3),4(4),5(5),6(6),7(7),8(8),9(9),10(10).

ХХХПодмножество А не равномощно множеству N.

Увеличиваем N до 20, соответственно А и В до 10.Теперь А 1-10, а В 11-20. И при этом множество членов множеств А и В увеличилось.

ХХХ Подмножество А не равномощно множеству N.

И доводим множество N до бесконечности.Как в варианте 1. Теперь мы это ВСЁ множество можем начиная с 1 пронумеровать всеми натуральными числами.

ХХХВопрос: Подмножество А, равномощно ли множеству N?

Если подмножество А бесконечно, тогда пронумеровав это подмножество ВСЕМИ натуральными числами, КАКИМИ мы будем нумеровать подмножество В, что бы пронумеровать ВСЁ множество N, которое у нас счётно. Изначально правильно то что множество N счётно.

Если подмножеству В дадим канторовские числа, то как тогда они могут быть в множестве N?

Вот как размотать этот клубок? Что здесь изначально не правильно?

[J.Random]

Во-первых, на мои рассуждения особо опираться не стоит.  Amicus Plato лучше слушайте. Или ту же  Дилетант - я, в отличие от них, тут как раз дилетант и есть.
Во-вторых, по-моему, основная проблема тут - Ваше понимание такой штуки, как бесконечность. Вы, кажется, считаете, что это такое число, которое реально входит в какое бы там ни было множество. И если мы бьем множество C на подмножества A и B, и отдаем эту самую бесконечность множеству А, то по-Вашему, множество B уже не имеет права быть бесконечным.

Я правильно понял?

[devami]

Спасибо Вам за ответ. Бесконечность я рассматриваю как КАЧЕСТВО множества а не как КОЛИЧЕСТВО! Как я лично понимаю по качеству множество может быть конечным или же бесконечным. Бесконечность это не число. Дать бесконечности число это пытался Сергеев со своей гросс-единицей, и я также считаю что Кантор обозначая множество бесконечное как ω, он ввёл новое число, и как бы он его не называл но это число. Он назвал это числом трансфинитным, но не все аксиомы числа с этим числом работают. И я лично не вижу разницы у Кантора и Сергеева. И там и здесь, на бесконечность одеваются путы численного обозначения.