[takigiro]

Ранее неоднократно поднималась тема деления на ноля на ноль, возведения ноля в нулевую степень, и часто появлялось понятие неопределенность.
Но что это за зверь такой, не разъяснялось.
Интересно, а что означает непоределенность с позиции теории множеств, есть ли у нее свойства, признаки и т.д.?

@темы: Бесконечность, Теория множеств

Comments

[Vovanium]

Ну, множество значений выражения 0/0 можно считать, что множество действительных (или комплексных, если угодно) чисел. Со степенями аналогично. Рассматриваются уравнения типа 0·x = 0 и т. п. — у него бесконечное число решений. Но решая «обычным» способом, имеем x=0/0, однако принято считать, что операции (деления, возведения в степень) обладают свойствами функций, то есть имеют только одно число результатом, что приводит к противоречию, его то и называют неопределённостью — ну не определён единстенный результат вычисления. Хотя понятие неопределённости всё же из теории пределов, когда x/y при одновременном устремлении к нулю может сходиться к любому числу, там и рассматривается это подробнее.

[takigiro]

Получается, что неопределенность - это когда не определен единственный результат вычислений.
То-есть, определен неединственный (множественный)! И результат должен принадлежать некоему множеству.

Тогда неопределенность - это опять-таки множество, а раз так, то есть ли у него свойства,и можно ли его описать с помощью аксиоматики теории множеств.

В теории пределов, если я правильно формулирую)), исследуются непределенность вида 0/0 и бесконечность/бесконечность, как предел отношения соответствующих функций. Это отношение можно дифференцировать. А раз так, то над неопределенным (из самого значения слова) отношением можно производить математические операции.

Из вики: "непределенность - это выражения, которые при определенных значениях аргумента теряют смысл,
по ним невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы функций,
не говоря уже о нахождении их значений.
Здесь получается, что непределенность - это выражение, не имеющее смысла?

[Vovanium]

Я бы сказал так: не имеют смысл в рамках используемых понятий. Если считать, что результатом деления должно быть число, являющееся единственным решением уравнения ax=b, то раз условие единственности не выполняется, то дальнейшие рассуждения бессмысленны. Есть ещё вещь типа 1/0, и хотя она тоже бессмысленна на множестве действительных (да и комплексных) чисел, но неопределённостью это не называют — см. оставшуюся часть определения. Хотя и к тому и к друому можно сказать: результат операции не определён (в том смысле, что нет определения).

Дла сравнения могу привести пример такой: есть арифметический квадратный корень. Его результат — одно единственное действительное число. И хотя оно определяется через корень укравнения x^2 = a, у которого бывает аж два решения, делается оговорка, что берётся только одно — неотрицательное. Выкрутились.