Мощность множества натуральных чисел

[Amicus Plato]

Мой вопрос: каких же чисел больше: четных или нечетных — не вызвал большого ажиотажа )))
Отвечаю на него сама.
Начну с теории.
И этот вопрос подведет нас к понятию самой «простой» бесконечности.
Истоки того, о чем сейчас пойдет речь, лежат в теории множеств, но в нее я сейчас углубляться не буду.
Расскажу только, что любое множество состоит из некоторых элементов. Количество элементов может быть конечным или бесконечным. Множество яблок в корзинке, множество квартир в доме, множество книг на полке… — всё это примеры конечных множеств. Если в корзинке 10 яблок, — число элементов множества яблок в корзинке равно десяти.
Как же определяется число элементов в бесконечном множестве?
Обобщенным понятием количества элементов на произвольные множества является понятие мощности.
Т.е. в примере с корзинкой речь идет о мощности множества яблок. И эта мощность равна 10.
Мощность множества на самом деле — это абстракция. Она определяется как то общее, что есть у всех множеств, (количественно) эквивалентных данному.
И вот тут самое главное:

Два множества называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие.

Помните пример с овцами?

Первая вышедшая овца — 1
Вторая вышедшая овца — 2
Третья вышедшая овца — 3
Четвертая вышедшая овца — 4
Пятая вышедшая овца — 5
Шестая вышедшая овца — 6

Это и есть пример взаимнооднозначного соответствия между множеством, состоящим из шести овец и множеством чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
*Это нам пригодится чуть ниже, как только мы закончим с теорией.

Мощности часто называются кардинальными числами.

Наименьшей бесконечной мощностью является мощность НАТУРАЛЬНЫХ чисел. Обозначается она алеф-нуль.

Так вот, теперь посмотрим, что мы можем сказать о четных, нечетных и других числах.
Согласно очень красивой теории бесконечных чисел, автором которой является отец-основатель теории множеств Георг Кантор, мощности множеств четных чисел, нечетных чисел, чисел делящихся на три, пять, десять, сто, миллион, и т.д., СОВПАДАЮТ и равны алеф-нуль!
То есть, «количество» всех этих чисел одинаково!
Невероятно?
Это еще не всё.
Может создаться впечатление, что, скажем, целых чисел больше, чем натуральных, потому что целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными, а натуральные только положительны! А еще более «очевидным» кажется тот «факт», что ДРОБЕЙ больше, чем натуральных чисел!
НЕТ!

Общее количество всех целых чисел, натуральных чисел и дробей равны одному и тому же бесконечному кардинальному числу алеф-нуль!

Чтобы доказать любое из этих утверждений достаточно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством натуральных чисел и конкретным множеством, мощность которого мы хотим найти. Если такое соответствие есть, множества эквивалентны по данному выше определению.

Построим соответствие, предположим, для четных чисел.
Получим (Ч — четные числа; Ц — целые):


Ч — Ц
2 — 1
4 — 2
6 — 3
8 — 4
10 — 5
…
2n — n
…

Заметим, что каждое число в левом и правом столбцах встречаются один и только один раз. Соответствие взаимнооднозначно.
Это и доказывает ОДИНАКОВОСТЬ количества элементов множества четных и всех натуральных чисел.
Со всеми остальными множествами (кроме дробей) разобраться столь же легко.
С дробями (рациональными числами) разбираться будем потом. Но их количество, как это ни парадоксально, — тоже равно алеф-нуль.

@темы: Бесконечность, Натуральные числа, Теория множеств, Amicus Plato

Comments

[Гость]

Это всё, конечно, весьма занимательно, однако, не соблаговолили ли бы вы рассказать про такназываемую "Лестницу алефов", т.е. алеф1, алеф2, и т.д., об их замечательных свойствах?

[Amicus Plato]

Гость
кажется, я про это уже начала "соблаговолять", но далеко пока так и не продвинулась...
вот, где есть упоминания про кардинальные числа.
А заодно и про ординалы. Их цепочка описана здесь достаточно подробно.
www.diary.ru/~Organon/?query=%E0%EB%E5%F4
Или Вы по этой ссылке (из записи про ординалы) сюда и попали?
Если нет, то про ординалы (собранное в кучу) вот:
www.diary.ru/~Organon/?query=%EE%F0%E4%E8%ED%E0...

[Гость]

Сообщение от Вторник, 18 декабря 2007
Неверно. Вы доказали лишь эквивалентность счетных подмножеств множеств точек на отрезке и поверхности. Эквивалентность их самих недоказуема, т.к. они несчетны. Различать несчетности пока не хотят, хотя это различие очевидно и имеет топологическую природу.

[Amicus Plato]

Гость
доказательство не мое. Доказательство Кантора.

[Notions]

Вопрос: на столе лежат два яблока; образуют ли они тем самым множество?

[Amicus Plato]

Notions
Встречный вопрос: что значит: "тем самым"? Фактом лежания на столе?

"Множество" ведь понятие первичное. У него нет определения.
Есть только способы задания. Один из них: перечисление всех входящих в него элементов.
Если мы скажем, что эти два яблока образуют множество, они и будут его образовывать

[Notions]

Т.е. получается, что для кого-то (кто эти магические слова сказал) эти два яблока являются множеством, а для кого-то - нет?

[Amicus Plato]

Notions
совершенно верно.
Пришел ребенок, взял яблоко и съел.
И чихать он хотел на ваши множества

[Notions]

Этому ребенку, наверное, хорошо, чего не скажешь про математиков с такими вот множествами. На самом деле, как Вы справедливо (хотя и не совсем осознанно заметили) множества - это понятие, а не совокупности, хотя и математики это недостаточно осознают; а работать с понятиями надлежит не так, как работают с совокупностями; понятия - это более фундаментальная сущность, нежели множества; технология работы с понятиями излагается, например, в ТЕОРИИ ПОНЯТИЙ: www.publicant.ru/book.aspx?id_d=747613
С уважением, Notions.

[Amicus Plato]

Notions
В Вашем профиле написано, что Вы кандидат наук.
Не находите ли Вы, что ведение научной дискуссии с той позиции, что оппонент не до конца осознает свои высказывания, несколько профанирует сам процесс?
Я знакома с теорией формальных понятий.
Вы тоже можете ознакомиться. К примеру вот:
www.citforum.ru/consulting/BI/biclustering/3.sh...

Однако речь идет о теории множеств.
Это четкий математический аппарат, и математики очень успешно с ним работают, возможно, и не придавая значения тем тонкостям, которые Вы находите столь важными.

С уважением, Amicus Plato.

[Notions]

Уважаемая Amicus Plato.
Прошу меня великодушно извинить, если машинальное использование выражения
"(хотя и не совсем осознанно)" Вас обидело; я употребил его в смысле "машинально".

Что касается тонкостей теории множеств: меня интересовала теория множеств не как предмет времяпрепровождения (чем она, похоже, для многих математиков и является), а как некоторая технология,
которая могла бы оказаться полезной для некоторых моих разработок; к сожалению, теория множеств не содержит средств, которые бы опроеделяли технологию ее применения; к еще большему сожалению, когда требуется ее применение при ее собственных построениях, не все используемые приемы оказываются
удовлетворительными и приемлемыми. К слову, как представляется, Г.Кантор, ставя проблему разработки теории множеств, преследовал сугубо прагматическую цель - "многое мыслить как единое", но аспект применимости теории оказался упущенным.

Когда я упомянул ТЕОРИЮ ПОНЯТИЙ, то я имел в виду не теорию, построенную на основе и с использованием теории множеств (ибо, как только что было замечено, в теории множеств не имеется средств для ее применения),
а некоторую теорию, которая может быть рассмотрена в качестве более фундаментальной (в том смысле, что некоторые не определенные аспекты теории множеств могли бы быть доопределены) теории.

С уважением, Notions.