Просветите меня...

[Тимурио]

Еще со школьной скамьи меня мучает вопрос. Всем известны операции дифференцирования, то есть нахождения производной и интегрирования, которые, по сути, являются обратными друг другу. И вот я никак не могу понять, почему у этих обратных операций различный геометрический смысл? В первом случае – это тангенс наклона касательной к функции, а во втором (конечно, когда рассматриваем определенный интеграл) – площадь. Ведь, если следовать логике, у обратных операций должен быть обратный смысл.
И на это вопрос я не знаю как ответить. Я вижу, что никакой связи между смыслами нет. А вообще должна ли быть она?

@темы: Вопросы

Comments

[Amicus Plato]

Тимурио Связь между смыслами — вещь тонкая )))

Постараюсь в скором времени Вам ответить. Извините, если получится не слишком быстро)))



* Для всех желающих — вопрос открыт!

Высказывайтесь!

[lyambda]

Тимурио В первом случае – это тангенс наклона касательной к функции, все это тангенс угла наклона касательной

Вопрос очень хороший, но я пас

[Мореяшма]

Немного не поняла вопрос, а какая операция является обратной к операции нахождения площади?

[Тимурио]

Мореяшма Я немного о другом спрашиваю. Вот, например, почему интегрирование - это не нахождение котангенса угла наклона касательной, а площадь? Хотя первое было бы логичнее. Не так ли? Хотя тут логика просматривается весьма условная...

[Amicus Plato]

Тимурио

Хотя первое было бы логичнее. Не так ли?

Ни в коем случае! Откуда же там котангенс?
Начнем с определений.
Что такое производная? Это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента.
f'(x) = lim Δ(f(x)) / Δ(x) при х стремящемся к нулю.

Что такое интеграл (определенный)? Это тоже предел, но не отношения, а суммы произведений:

∫f(x)dx = lim (Σ(Δ(f(x)) * Δ(x))) при х стремящемся к нулю.

Непосредственно из этих двух формул вытекает, что операции не обратны одна другой, в том смысле, который вы в это вкладываете.

Это две операции, первая из которых показывает возрастание (убывание) функции, а также выявляет особые точки, а вторая — позволяет найти площадь криволинейной фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя опущенными на нее перпендикулярами.
Связаны эти операции формулами для нахождения производных и первообразных функций.

*Вопрос про это?

[Мореяшма]

Ну ладно. Подождем, что умные люди скажут.

Наверное, я не разобралась.

Вот, например, почему интегрирование - это не нахождение котангенса угла наклона касательной, а площадь? Хотя первое было бы логичнее.

Имхо, нет разницы что искать - тангенс или котангенс.

Все, я с вами - жду ответа уважаемого модератора.

[Amicus Plato]

Мореяшма Модератор уже давно пришел )))

[Мореяшма]

Мелкие фокусы дайрей.

И спасибо за подробный ответ.

[Amicus Plato]

Мореяшма Да, дайри теперь любят подурачить нас всех )))

[Тимурио]

Amicus Plato В принципе, я получил исчерпывающий ответ. Спасибо. По сути эти операции не обратны и по этому нету смысла искать что-то глубже.

[Amicus Plato]

Тимурио Что-то глубже всегда есть смысл поискать ))))

А вопрос у вас получился очень хороший! Нестандартные вопросы редко кто может сформулировать ))))

[Тимурио]

Amicus Plato Вот именно, надо было просто копнуть немного поглубже. И все сразу разрешилось. И оказалось все не так уж сложно.

[chebur12]

Amicus Plato члушай про интеграл... признаться... для меня откровение... с производными как с родными

а интригалы оне иесть интригалы

кстати у меня тут идея появилась...

ты когда про простые дроби раскажешь... я иллюстрировать хачу... для младших классов

[Amicus Plato]

chebur12 Про дрооби?.. Не знаю, когда
мне кажется, я с золотым сечением увязла навсегда... А ведь даже не начинала еще! (((

Но обязательно свистну тебе )))

[Amicus Plato]

chebur12 так, а ты сама про дроби напиши ))) с иллюстрациями!

[chebur12]

Amicus Plato да боюсь не осилю

[Amicus Plato]

chebur12 а ты начни! А там поглядишь ))) Глаза боятся, а руки делают...)))

[Amicus Plato]

Тимурио По сути эти операции не обратны и по этому нету смысла искать что-то глубже.

Перечитала комментарии, и поняла, что мы всё-таки друг друга не поняли )))))

Сейчас попробую объяснить еще раз более формально — не сочтите за занудство. Может, в жизни пригодится!

Пишу специально в "свободном жанре", чтобы как можно лучше выявить суть, а не правильность написания.

Здесь произошла путаница сразу в трех определениях "обратного".



1. Есть понятие обратного числа. Для любого х, не равного нулю, обратным ему будет число 1/x;

и верно равенство:



х * (1/x) = 1



2. Есть понятие обратной функции. Что такое обратная функция? Для данной функции f это такая функция f^(-1), что для любого (неособенного) числа х выполняется:



f^(-1)(f(x)) = f(f^(-1)(x)) = x . . . . . . . . . . . . . . . (1)



*Если ввести знак суперпозиции функций (он нам еще пригодится), то запись станет несколько проще.

Пусть у нас есть две функции f и g, тогда запись f(g(x)) можно представить в следующем виде:



f(g(x)) = f o g (x),



где о — знак суперпозиции, который и означает, что функции применяются последовательно друг за другом.

Тогда (1) запишется так:



f^(-1) о f (x) = f о f^(-1) (x) = x . . . . . . . . . . . . . . . (1')



Это все очень простые вещи. Для косинуса обратная функция — арккосинус, для квадрата положительного числа — квадратный корень, для экспоненты — логарифм, и т.д.



И, наконец,

3. Понятие обратного оператора.

Здесь вдаваться в подробности не буду. Просто скажу, что оператор обозначает "операцию", производимую над функцией (как то: дифференцирование, интегрирование, и т.д.).

В отличие от функций, аргументами которых являются переменные, аргументами операторов являются сами функции.

И для обратных операторов равенство (1') примет следующий вид (операторы, чтобы не путаться будем обозначать прописными буквами):



F^(-1) о F (f(x)) = F о F^(-1) (f(x)) = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . (1'')



То есть, если подействовать на функцию сначала прямым оператором, а затем обратным (или наоборот), то в результате получим саму эту функцию без всяких изменений.



Точно так же, как если умножить величину на любое число и число обратное к нему, исходное значение не изменится.

Параллель между всеми тремя случаями прямая, но их надо четко различать.

И операции дифференцирования и интегрирования являются действительно обратными в "третьем" смысле.

Если мы продифференцируем любую функцию, а потом найдем первообразную от результата, получим ту же самую функцию.



Да и с "физическим смыслом" тоже всё просто.

Вот, например, возьмем движение материальной точки. Если мы продифференцируем расстояние по времени, получим скорость. Проинтегрируем скорость — получим опять расстояние.



Вот, кажется, теперь, все точки над i расставлены )))

[Безумный Бог Безумия]

Странно, что никто не дал самый простой и очевидный ответ. Обратная функция к производной функции - неопределённый интеграл. У них действительно обратный геометрический смысл, если рассматривать их как преобразовании одной линии в другую. Производная переводит параболу в наклонную прямую, интеграл возвращает параболу из прямой. И так далее. Площадь и наклон прямой в точке - само собой необратимы, так как убирают переменные из уравнений. Всё что угодно может иметь площадь равную 5.

Да, это некромантия.

[Amicus Plato]

Безумный Бог Безумия, всё дело в том, что здесь очень много тонкостей, и нужно следить чтобы всё было корректно.
Когда речь идет о площади и угле наклона, мы переходим к определенным интегралам и производным в точке, а это просто числа. К функциям это никакого отношения не имеет.
Вот смотрите. Притом, что по сути ваш комментарий верен:

Обратная функция к производной функции - неопределённый интеграл.

Правильно ли это?
Обратная операция к взятию производной - нахождение первообразной или интегрирование.

(Формула Ньютона-Лейбница видимо всех сбивает с толку)

Всё что угодно может иметь площадь равную 5.

С этим не поспоришь.

[All_ex]

Можно я внесу немного сумбура в Ваши стройные ряды... ...

Всё что угодно может иметь площадь равную 5.
Говоря про площадь, Вы фиксируете отрезок... как уже отмечено выше, избавляясь от переменных... попробуем обойти это неудобство...
Для определённости будем рассматривать непрерывные и положительные функции `f(x)` при `x in [0; infty)` (чтобы дальше по смыслу определённого интеграла площадь возникала) ...

Обратная функция к производной функции - неопределённый интеграл.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом `int_{0}^{x} f(z)*dz`... при каждом икс это площадь под графиком на отрезке `[0; x]`... и как доказывается в курсе анализа, он же является первообразной `F(x)`, которая удовлетворяет условию `F(0) = 0`... . Первообразных у много, поэтому для некоторой однозначности будем рассматривать только эту первообразную.. (зафиксировав выбор первообразной, я как бы "стёр" различия между определённым и неопределённым интегралом... ... )

Итого мы имеем две функции `F(x)` и `f(x)`, которые получаются друг из друга "обратными" (в кавычках, поскольку много допущений) операциями.. то есть `F'(x) = f(x)` и `int_{0}^{x} f(z)*dz = F(x)` ... и теперь надо говорить, какой смысл имеют эти две функции...

На мой взгляд, рассматривая смыслы, ТС попытался смешать тёплое и мягкое... то есть рассматривает смыслы из разных областей и, естественно, они не совпадают...

Если говорить про площадь...
`=>` Если нам известна `f`, то её "интеграл" `F(x)` - определяет значение площади на отрезке...
`< =` А теперь пусть нам известна положительная возрастающая функция `F`... и она соответствует переменной площади некоторой фигуры... тогда `f` - мгновенное изменение площади (там конечно правильнее писать дифференциал... но можно приплести какой-нибудь "атомизм" Демокрита... ) ...

Если говорить про касательную...
`=>` Если нам известна `F`, то её производная `f(x)` - это касательная...
`< =` Пусть известна `f`... то есть в каждой точке нам дан наклон касательной... и мы отыскиваем функцию `F`, которые имеют такие касательные... В начале изучения дифференциальных уравнений, рассматривают приближённый графический метод решения уравнений 1-го порядка - метод изоклин... в учебниках и картинки красивые можно посмотреть...

Ну, вот как-то так... ... давно так много не писал...

[Amicus Plato]

All_ex, только что перелогинилась и увидела этот коммент... ((
Простите.
А по существу:
У меня начался паралич воли, когда я только подумала о том, что хорошо бы такое объяснение написать )))
Да и если бы не начался, у меня бы не вышло такой стройности мысли

[All_ex]

Простите. - А за что?... я не ожидал скорого ответа... особенно учитывая, что топик создан в 2006 году ....

у меня бы не вышло такой стройности мысли - У Вас бы ещё стройнее получилось...