Лямбда окрестность множества Жизни
3. Функции и операции над ними
читать дальшеСледующим за понятием числа и его обобщением, величины – исторически и логически, - объектом математики является понятие функции: результат некоторых действий над одной величиной x, приводящий к значению другой величины f(x), зависимость f от x. Уже упоминавшееся выше масштабирование позволяет существенно уменьшить число рассматриваемых параметров и сократить необходимую информацию, потому что один параметр требует задания строчки данных, два – таблицу (страницу), три – книгу, 4 – библиотеку книг, и т.д.
Действительность даёт неисчислимое множество таких объектов, зависимостей скорости и пути от времени, требуемой теплоты нагрева от температуры, затрат и прибыли от объёма выпуска продукции и т.п.
Неявно это понятие было освоено уже в древней Греции, но тогда же были обнаружены и некоторые парадоксы – знаменитые апории Зенона (догонит ли Ахиллес черепаху, летит ли стрела и др.).
Простейшей формой описания функции является график её – кривая на плоскости, где абсцисса - аргумент, а ордината – значение функции. Для работы с компьютером надо задать порядок действий вычисления f по x или достаточно «густую» таблицу значений f и x. Изучение возможных графиков функций и апорий Зенона привели (уже значительно позже) к понятию о непрерывности функции, формализованному с помощью теории пределов, связанной с изучением динамики изменения величин и функций.
Важной характеристикой функции, зависимости f(x) является быстрота, скорость изменения её при изменении аргумента, то есть отношение приращений Df/Dx или его предельная форма (при Dx->0) f'(x), введённая Ньютоном и Лейбницем в конце ХVII века. Правила вычисления производных составляют предмет дифференциального исчисления и, как всякий язык, имеют свою грамматику (общие правила) и словарь (таблицы производных). Эти правила позволяют вычислять производные практически всех обычно встречающихся функций (кроме исключительных случаев, важных для теории, но для практики не существенных). Знание производных позволяет применять их для решения важных прикладных задач: отличать рост функции от её убывания, оценивать приближённые значения прироста функций (Df ~ f'(x)*Dx), решать уравнения, искать экстремальные значения (максимум и минимум) функции, которые отвечают нулевым значениям производной.
Тот же аппарат позволил решать и ещё одну важную прикладную задачу: получать зависимость, отвечающую некоторым наблюдаемым данным. Зависимость выбранного вида (например, многочлен) с неопределёнными коэффициентами должна дать минимум сумме квадратов отклонений теоретических значений от наблюдаемых. Этот метод получил название метод наименьших квадратов.
Открытие и развитие дифференциального исчисления явилось очень важной вехой в развитии математики, дав общий метод решения этих задач (до тех пор каждая задача требовала индивидуального подхода). Как всякое крупное открытие, оно привлекло внимание философов, осмысливавших его – от самого Г. Лейбница до К. Маркса.
Можно отметить ещё один характерный момент исторического развития математики. В школе многим с трудом давалась геометрия, так как для решения геометрических задач нет «железных правил», требуется индивидуальный подход и пространственное воображение. Поэтому величайшей заслугой Рене Декарта было «сведение геометрии к алгебре», разработка основ аналитической геометрии. Но наука, как и всё познание мира человечеством, развивается по спирали! И в ХХ веке возник обратный процесс: далеко продвинутые отрасли математики (алгебра, функциональный анализ и т.п.) получили «геометрическую интерпретацию». Было введено, разработано и использовано понятие функционального пространства. Не давая здесь его определения, отметим, что при этом сложные математические объекты рассматриваются как точки обычного, привычного геометрического пространства. На этом языке удобно описывать и литературные произведения, отмечать сходство и различие классов статей и книг (например, характеризуя их длиной фраз и слов).
читать дальшеСледующим за понятием числа и его обобщением, величины – исторически и логически, - объектом математики является понятие функции: результат некоторых действий над одной величиной x, приводящий к значению другой величины f(x), зависимость f от x. Уже упоминавшееся выше масштабирование позволяет существенно уменьшить число рассматриваемых параметров и сократить необходимую информацию, потому что один параметр требует задания строчки данных, два – таблицу (страницу), три – книгу, 4 – библиотеку книг, и т.д.
Действительность даёт неисчислимое множество таких объектов, зависимостей скорости и пути от времени, требуемой теплоты нагрева от температуры, затрат и прибыли от объёма выпуска продукции и т.п.
Неявно это понятие было освоено уже в древней Греции, но тогда же были обнаружены и некоторые парадоксы – знаменитые апории Зенона (догонит ли Ахиллес черепаху, летит ли стрела и др.).
Простейшей формой описания функции является график её – кривая на плоскости, где абсцисса - аргумент, а ордината – значение функции. Для работы с компьютером надо задать порядок действий вычисления f по x или достаточно «густую» таблицу значений f и x. Изучение возможных графиков функций и апорий Зенона привели (уже значительно позже) к понятию о непрерывности функции, формализованному с помощью теории пределов, связанной с изучением динамики изменения величин и функций.
Важной характеристикой функции, зависимости f(x) является быстрота, скорость изменения её при изменении аргумента, то есть отношение приращений Df/Dx или его предельная форма (при Dx->0) f'(x), введённая Ньютоном и Лейбницем в конце ХVII века. Правила вычисления производных составляют предмет дифференциального исчисления и, как всякий язык, имеют свою грамматику (общие правила) и словарь (таблицы производных). Эти правила позволяют вычислять производные практически всех обычно встречающихся функций (кроме исключительных случаев, важных для теории, но для практики не существенных). Знание производных позволяет применять их для решения важных прикладных задач: отличать рост функции от её убывания, оценивать приближённые значения прироста функций (Df ~ f'(x)*Dx), решать уравнения, искать экстремальные значения (максимум и минимум) функции, которые отвечают нулевым значениям производной.
Тот же аппарат позволил решать и ещё одну важную прикладную задачу: получать зависимость, отвечающую некоторым наблюдаемым данным. Зависимость выбранного вида (например, многочлен) с неопределёнными коэффициентами должна дать минимум сумме квадратов отклонений теоретических значений от наблюдаемых. Этот метод получил название метод наименьших квадратов.
Открытие и развитие дифференциального исчисления явилось очень важной вехой в развитии математики, дав общий метод решения этих задач (до тех пор каждая задача требовала индивидуального подхода). Как всякое крупное открытие, оно привлекло внимание философов, осмысливавших его – от самого Г. Лейбница до К. Маркса.
Можно отметить ещё один характерный момент исторического развития математики. В школе многим с трудом давалась геометрия, так как для решения геометрических задач нет «железных правил», требуется индивидуальный подход и пространственное воображение. Поэтому величайшей заслугой Рене Декарта было «сведение геометрии к алгебре», разработка основ аналитической геометрии. Но наука, как и всё познание мира человечеством, развивается по спирали! И в ХХ веке возник обратный процесс: далеко продвинутые отрасли математики (алгебра, функциональный анализ и т.п.) получили «геометрическую интерпретацию». Было введено, разработано и использовано понятие функционального пространства. Не давая здесь его определения, отметим, что при этом сложные математические объекты рассматриваются как точки обычного, привычного геометрического пространства. На этом языке удобно описывать и литературные произведения, отмечать сходство и различие классов статей и книг (например, характеризуя их длиной фраз и слов).
@темы: С.В. Жак, Публикации
-
-
15.11.2006 в 21:50-
-
15.11.2006 в 21:51-
-
15.11.2006 в 21:54-
-
15.11.2006 в 22:03Слушай, хочу спросить: а практика у них есть? И если есть, то какая? И как экзамены проходят?
-
-
15.11.2006 в 22:14-
-
15.11.2006 в 22:15-
-
15.11.2006 в 22:16-
-
15.11.2006 в 22:20-
-
20.11.2006 в 16:20Amicus Plato Что такое "подмена континуальных понятий дискретными"?
-
-
20.11.2006 в 20:08Написать про апории?
-
-
20.11.2006 в 21:41-
-
21.11.2006 в 11:44lyambda Да мне не принципиально, кто ответит. Видимо, это было где-то в комментариях, я не видела.
-
-
21.11.2006 в 11:45lyambda Да мне не принципиально, кто ответит. Видимо, это было где-то в комментариях, я не видела.
-
-
21.11.2006 в 15:03Там очень длинная дискуссия (и в некоторых местах интересная))) Но суть проблемы изложена довольно туманно... Конечно, надо сначала начинать писать!
lyambda Отвечай! Мне это крайне интересно, но я сейчас бегаю с бумажками между РИИЖТом и своей работой — как ужаленная... И не знаю, сколько это будет продолжаться. А со след. недели у меня уже занятия на первом курсе
Но я всё равно потом напишу про апории — думаю, нам всем тут места хватит )))) Я не с математической точки зрения писать буду, а скорее с "логической"... и плюс немного античной философии. Так что — не подеремся )))
-
-
21.11.2006 в 18:37-
-
21.11.2006 в 18:52-
-
21.11.2006 в 18:59-
-
21.11.2006 в 19:47подмена континуальных понятий дискретными имеется введу замена непрерывных дискретными. Функция непрерывна, а множество стульев дискретно
-
-
21.11.2006 в 19:52